30 degrés sur
2.3 Aberrations optiques
Dans un système réel, tous les rayons d'un front d'onde donné ne parcourent pas néces- sairement la même distance optique et ne frappent pas la même position dans le plan image. Ce phénomène est bien visible avec les rayons rouges de la figure 2.6. On peut quantifier la qualité du système en fonction de ces différences de parcours optique (DPO). Une ex- pansion en série de puissance du front d'onde réel comparé à un front d'onde sphérique de référence permet de quantifier en coefficients d'aberrations la forme du front d'onde dans un système optique [10]. En symétrie de révolution, pour les aberrations transverses, seulement les coefficients impairs sont présents. On divise ici les coefficients obtenus lors de l'expan- sion en série de puissance en 3 catégories. Tout d'abord, les aberrations au premier ordre, la défocalisation (defocus) et l'inclinaison (tilt) sont généralement ajustables simplement en modifiant la position et l'orientation des éléments optiques. Leurs caractéristiques sont pré- sentées au tableau 2.1. Ensuite, au 3e ordre viennent les aberrations communément dites de
Seidel, également énumérées au tableau 2.1. Finalement, toutes les aberrations dont l'ordre est plus élevé que 3 sont parmi les aberrations dites d'ordres supérieurs. Dans cette section, on discute principalement de la distorsion et de la défocalisation, soit les deux aberrations les plus importantes dans ce projet.
Objet Lentille (Stop) Image
Figure 2.6 - Une lentille simple produisant des aberrations géométriques. Pour le champ tracé en bleu, les rayons marginaux focalisent en un point sur l'image. Pour les deux autres champs, des aberrations sont présentes.
2.3.1 Distorsion
Certaines aberrations transverses ne dépendent pas de la coordonnée du rayon dans la pupille y p. Si on modifie la valeur de ces aberrations, on affecte tous les rayons pour un champ 9 donné de la même façon. On provoque ainsi une translation dans le plan image, quelle que soit la position des rayons dans le stop. Ces aberrations n'affectent pas la qualité d'image en modifiant la dimension de la tache focale (spot size), mais changent seulement la position où cette tache est située sur le plan image.
2.3 Aberrations optiques 17
Tableau 2.1 - Les 2 aberrations au 1er ordre et les 5 aberrations de Seidel au 3e ordre. Pour
chaque aberration, en plus des équations sur le front d'onde et sur l'aberration transverse, les dépendances envers la dimension de la pupille DEP et du champ de vue total Omax sont
indiquées.
Aberration Front d'onde W= Aberration transverse Abr. trans, vs DEP Abr. trans, vs &UAX
fondre
Défocalisation W~2 0<xp2+y,2) £I 4fM WgigXp D_p -
Défocalisation W~2 0<xp2+y,2) ey = -4fm W0 2 0yp Dfp - Inclinaison (tilt) WmH yp e, = 0 - - Inclinaison (tilt) WmH yp sy = - 2 f M WmH - 9UÂX 3 ordre
Abr Sphénque W o u t x p ' + y p2)1 sx = -&fmwtnxps D E ,3 .
Abr Sphénque W o u t x p ' + y p2)1
ey = - 8 0 WO 4 CyP 3 D E P3 -
Astigmatisme Wn 2H2yp 2 ex = 0 - -
Astigmatisme Wn 2H2yp 2
e > = - 4 f m WmH2yP D_p OUAX'
Coma W1,1H(xp2+y,2)yp sx = 0 - .
Coma W1,1H(xp2+y,2)yp
e> = -6jmwwifyP2 D E P2 •_*r
Courbure de champ W2 2oH2(Xp2+yp2) sx = -4fl# WmH2xp D E P &mx~ Courbure de champ W2 2oH2(Xp2+yp2)
ey = -4fmwmH2yP D E P 0\ilT~
Distorsion WmH3yP e. = o - -
Distorsion WmH3yP
sy = -2fmWillH3 - dj_r
Tel que visible au tableau 2.1, l'inclinaison (également parfois appelée le grandissement) (magnification) [11]) et la distorsion de Seidel respectent cette condition. La figure 2.7 montre un exemple de distorsion de Seidel positive et négative. Visuellement, à cause du grandisse- ment variable à travers l'image, de la distorsion fait qu'une ligne droite dans l'objet apparaît courbée dans l'image.
Plus généralement, tous les termes du front d'onde en W = Wn\\Hnyp pour n >= 1
peuvent être appelés de la distorsion localisée, soit une variation du grandissement à travers l'image. Cela n'inclut pas seulement les termes à symétrie de révolution, mais toute forme générale d'aberrations qui modifient le grandissement sans affecter la qualité d'image. Ceci est représenté avec plusieurs types de distorsion localisée à la figure 2.8
De façon numérique, un logiciel de conception optique peut facilement donner une valeur du pourcentage de distorsion à l'aide de la formule 2.2 [9], où HCfief est la hauteur réelle par
" j
— ■ a .
— ■ a .
j
1
1
a)
Figure 2.7 Distorsion de Seidel. a) De la distorsion négative ou de type barillet b) De la distorsion positive ou de type coussinet.
rapport à l'axe optique dans le plan image du rayonchef pour le champ 9 choisi et Href est la
hauteur prévue par les équations au premier ordre. On utilise l'équation 2.3 pour la distorsion transverse (projection rectilinéaire), où l'absence de distorsion signifie une relation directe entre la hauteur transverse de l'objet et sa hauteur transverse sur l'image, soit un grandisse ment transverse constant. On remplace parfois l'équation 2.3 par l'équation 2.4 (projection équidistante) lorsqu'on veut la distorsion angulaire, où l'absence de ce type de distorsion si gnifie une relation directe entre la hauteur angulaire de l'objet et sa hauteur transverse sur l'image, soit un grandissement angulaire constant [12].
Distorsion(%) = 100% Hchef
H
refH, ref (2.2)
Href = f t a n ( 9 ) (2.3)
2.3 Aberrations optiques 19
a)
d)
Figure 2.8 - Exemple de plusieurs types de distorsion localisée, a) L'image originale, où toutes les lignes sont droites, b) De la distorsion radiale négative au centre de l'image, ou de type barillet (barrel) c) De la distorsion radiale positive au centre de l'image, ou de type coussinet (pincushion) d) De la distorsion sans symétrie radiale positive et négative. Dans tous les cas, les carrés rouges sont de la même taille que ceux de l'image originale, montrant que la distorsion est bel et bien un changement de grandissement local.
Calibration
Bien que la distorsion soit souvent perçue comme une aberration indésirable que l'on tend à garder sous un certain % dans un design optique, il faut comprendre qu'elle peut également être une propriété désirée. Des images déformées comme à la figure 2.8 ne sont pas problématiques si on connaît bien la distorsion que produit le système optique. La raison est que la distorsion n'affecte pas la qualité d'image pour un point objet et on peut alors la corriger au niveau logiciel, à condition d'avoir bien calibré l'optique, c'est-à-dire connaître le mieux possible la fonction de transfert des positions entre l'objet et l'image. La figure 2.9 montre un exemple simulé de zone de grandissement augmenté par distorsion de l'image ainsi que l'image redressée. Etant donné la grande utilité de pouvoir redresser une image avant de la présenter à un observateur, plusieurs travaux ont été effectués sur la calibration, incluant des systèmes où la distorsion change avec le temps [13].
2.3 Aberrations optiques 21 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 \ V \ \ \ \ \ \ \ M 1 1 I j*Àf IKS ■■ 1 i *^B.Br-X-
■p • <
H W S K I G I Z ^ ^ ^
* ' ' ^ — 1 1 1 L Ï rf fc • ' . " T *- "~ 1 1 1 1 1 " T *- "~ 1 1 1 1 1**1
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... ., • _Figure 2.9 Zone de grandissement augmenté et redressement de l'image grâce à ia distor sion bien calibrée. Cette figure n'est qu'une simulation faite à l'aide d'un logiciel de dessin, mais il faut comprendre que si l'image avait été capturée avec une distorsion locale comme à l'image du haut, après un redressement pour obtenir l'image du bas, la quantité d'infor mation dans la zone avec le quadrillé vert serait supérieure à si on avait capturé l'image du bas directement.
2.3.2 Défocalisation
À la section 2.3, la défocalisation a été présentée comme une aberration transverse du premier ordre, signifiant qu'elle n'est pas causée par la dimension transverse des lentilles ou l'angle du champ de vue. Elle peut ainsi être présente même avec un faisceau optique paraxial. La figure 2.10 montre que si le plan image est devant ou derrière la position optimale, la dimension de la tache image augmente, créant visuellement une image floue.
Lentille paraxiale ■ Li;w.i- ' ■ ■ ■ ' ■ - ' : : ■ : ■ : ■ ' : ■ ■ ' ■ ' ■ - ' : : ■ : ■ : ■ ' : ■ ■ ' - . . . ■ • I ■ ' ■ - ' : : ■ : ■ : ■ ' : ■ ■ ' * • ' * , ■ ' ■ - ' : : ■ : ■ : ■ ' : ■ ■ ' ■ ' ■ - ' : : ■ : ■ : ■ ' : ■ ■ ' Défocalisation
positive Défocalisation négative Figure 2.10 De la défocalisation positive, nulle et négative. Au dessus du schéma, les graphiques de tranche de rayon montrent le déplacement transverse en fonction de la posi tion yp dans la pupille de sortie. Sous le schéma, l'empreinte de faisceau pour chacune des positions du plan image.
2.3.3 Diffraction
Un système optique, même s'il est complètement libre d'aberrations géométriques, ne peut jamais donner une image parfaite d'un objet à cause de la diffraction produite par la largeur finie de ses composants optiques. Un point objet est alors imagé comme une tache ayant une certaine dimension. Dans le cas des systèmes stigmatiques à pupille circulaire, cette tache est d'une forme souvent appelée la tache d'Airy. Cette dernière est visible à la figure 2.11. Une dimension utile pour quantifier cette tache est la distance entre le centre et le premier minimum d'intensité donné par l'équation 2.5. Selon le critère de résolution de Rayleigh, on peut résoudre deux objets différents s'ils sont séparés d'au moins cette distance au plan image [5].
2.3 Aberrations optiques 23
1.22 Xf/# a) 1.22 Xf/# H b)
Figure 2.11 - Tache d'Airy causée par la diffraction d'une ouverture circulaire. La distance entre le maximum et le premier minimum est donné par l'équation 2.5. a) Vue en deux dimensions, b) Coupe en une dimension.
En plus de causer qu'un faisceau passant dans une ouverture circulaire ne produit pas une image ponctuelle, la diffraction crée également des pertes de lumière en la dirigeant dans plusieurs directions lorsqu'un faisceau traverse une structure se répétant avec une période A. L'angle 9m à laquelle la lumière est dirigée pour un ordre m est déterminé par la loi de dif-
fraction des réseaux dont la formule est visible à l'équation 2.6, où $% est l'angle d'incidence
sur le réseau. Il y a alors de la lumière dispersée dans tous les ordres m entiers qui respectent l'équation. Cependant, en choisissant efficacement la structure périodique, il existe des straté- gies pour maximiser l'énergie dans un ordre choisi et ainsi réduire les pertes. Par exemple, en une dimension, si on utilise une structure périodique en escalier à quatre niveaux tel qu'illus- tré à la figure 2.12, on a une efficacité de diffraction de 81% [14]. Avec 8 ou 16 niveaux, on obtient respectivement 95% et 99% d'efficacité.
A(sin(9m) + sin(9i)) = m \ (2.6)
Figure 2.12 - Structure périodique à quatre niveaux. Dans ce cas, l'efficacité de diffraction dans Tordre principal est de 81%.