Surface avec erreur gaussienne se déplaçant vers le bord
4.3.2 Description mathématique des erreurs sur la surface frontale
Les sections précédentes ont servi à montrer qu'il est en effet plus difficile de tolérancer les surfaces frontales des systèmes avec distorsion étant donné qu'une certaine erreur n'a pas le même effet partout sur la surface. Pour bien décrire ce type d'erreur, il faut alors un modèle mathématique qui prédit les déplacements produits dans l'image en fonction des erreurs de surface et c'est ce dont cette sous-section traite. Puisqu'on s'intéresse qu'à la distorsion pour le moment, c'est-à-dire le déplacement du rayon-chef, on approxime les erreurs de surface par un prisme ayant la même pente pour tout le faisceau, soit la pente de l'erreur où le rayon-chef frappe la surface. Le problème est illustré à la figure 4.18.
4.3 Tolérancement des systèmes avec distorsion 69
Figure 4.18 Illustration du problème mathématique de trouver le déplacement A H pro duit par une erreur de surface ayant une pente ae ■
On sépare le problème en 3 étapes : 1- Trouver la pente réelle qui dévie le rayon-chef à partir de l'équation de l'erreur zerreur(r), 2- Calculer la déflexion angulaire A9 du côté objet
qu'aurait causé cette pente à un rayon partant de l'image, 3- Inverser le problème et calculer le déplacement de l'image AH résultant.
Angle ae produit par l'erreur de surface zerreur(r)
On cherche tout d'abord l'angle ae du prisme par lequel on approxime l'erreur, visible à la
figure 4.18. Pour ce problème, on considère seulement l'axe tangentiel (la direction radiale r). Une généralisation dans l'axe sagittal s'obtiendrait de la même façon. L'équation de la surface réelle, soit la surface parfaite superposée de l'erreur, est donnée par zr(sei(r) = zparfait(r) +
Zerreur(r)- La pente de la surface réelle dans la direction perpendiculaire à l'axe optique est alors donnée par la dérivée de la surface par rapport à la coordonnée radiale r et l'angle résultant peut être obtenu en prenant l'arc tangente de cette pente. Puisque le prisme qui produit la déflexion angulaire est le résultat de la différence entre la surface réelle et la surface parfaite, permettant de conclure que l'angle ae du prisme est donné par la soustraction de
l'angle final de l'angle initial comme à l'équation 4.4.
ae = arctan(dZpZfait + __£___) _ arctan(dZp°rfait) (4.4)
or or or Si la pente de l'erreur âsescmi e st petite, la définition de la dérivée d'une fonction permet
es
de simplifier cela à l'équation 4.5, où pagrfait est égal à la tangente de l'angle normal de la
surface idéale, soit tan($N). Cette dernière approximation est souvent plus pratique, car si on connaît l'angle de la normale à la surface, on peut avoir une relation linéaire entre l'angle ae et la pente de l'erreur, ce qui sera utile ultérieurement si on veut faire le processus inverse.
Également, à titre de référence pour plus tard, la figure 4.19 montre l'angle que fait la normale par rapport à l'axe optique pour les surfaces frontales des quatre systèmes précédents.
dze
a -^ §L = OL (4 5)
e 1 + (dzparfaity i + tan2($N)
Déflexion angulaire A9
Ensuite, il faut associer l'angle ae de ce prisme à la déflexion angulaire produite. Pour le
4.3 Tolérancement des systèmes avec distorsion 71
20 40 60 Champ de vue (degrés)
Figure 4.19 - Angle de la normale sur la surface frontale par rapport à l'axe optique pour les quatre systèmes, a) La surface sphérique de la lentille double-gauss. b) La surface sphérique de la lentille fisheye. c) La surface asphérique du système catadioptrique. d) La surface asphérique de la lentille Panomorphe.
A9 causée dans l'espace objet par cette erreur de surface, soit un rayon qui voyage de droite à gauche sur le schéma de la figure 4.18.
Dans le cas d'un miroir, en appliquant la loi de la réflexion, ajouter une erreur ayant un angle ae crée une déviation angulaire du double comme décrit par l'équation 4.6, quel que
soit l'angle d'incidence du rayon par rapport à la normale.
A0„ = 2ae (4.6)
Pour le cas réfractif, l'équation est plus complexe, mais elle est le résultat de l'application aux deux surfaces de l'équation de la réfraction de Snell-Descartes. Il peut sembler étrange d'utiliser la réfraction sur les deux surfaces du prisme étant donné que l'erreur change l'angle sur une seule surface de la lentille, mais puisqu'on veut la déflexion angulaire dans l'air, par
rapport à l'angle initial également dans l'air contrairement à l'angle du rayon dans la lentille, ce choix est approprié. La preuve est faite dans plusieurs ouvrages de référence [5] et on obtient l'équation exacte 4.7, où 9 — <&N est l'angle d'incidence par rapport à la normale et n
est l'indice de réfraction de la lentille.
^■9ientuie = (9 — $N) — ae + arcsin[(n2 — sin2(9 — $//))1//2sm(ae) — cos(ae)sin(9 — $ N ) ]
(4.7) Puisque l'angle ae est souvent petit, cette dernière équation peut se simplifier en posant
que sin(ae) w ae et cos(ae) « 1. On fait ensuite une expansion en série de puissance sur
l'angle d'incidence 9 — 3>AT. Le but de cette manoeuvre est d'éliminer la racine ainsi que
l'arcsinus et on obtient ainsi l'équation 4.8. Encore une fois, la force de cette approximation est la relation linéaire entre la déviation A9 et l'angle ae. Par contre, dans le cas des lentilles
grand angle, il faut faire attention au nombre de termes à conserver étant donné que l'angle d'incidence 9 — $N peut être de l'ordre d'un radian et la série converge alors lentement.
A W « «.(n1)[1
+ {6~ *»£»
+ 1K ^ *»
) 4 { n 2;j
) { 5 n 2+
3)+0((g *„)*)]
(4.8)
Déplacement de l'image AH
L'idée d'utiliser des rayons partant de l'image et quittant du côté objet a permis de trouver la déviation angulaire Ad produite par l'erreur. Par contre, dans un système réel, les rayons voyagent de l'objet vers l'image et il est faux de dire que seulement les angles du côté objet sont affectés par l'erreur. Le problème inverse devient alors intéressant, soit de déterminer comment l'erreur angulaire va modifier la position H de l'image quand un rayonchef frappe avec le même angle qu'avec une surface parfaite. Pour de petites erreurs, en utilisant la dé finition antérieure de la longueur focale locale décrite à l'équation 4.2, on suppose que le déplacement de l'image AH est donné par l'équation 4.9, un choix qui sera vérifié ciaprès.
AH = lfl(9)A9 (4.9) Pour voir comment chacune des trois étapes précédentes influence l'erreur, on trace l'er
reur AH obtenue avec les pentes du tableau 4.2 et on obtient ainsi la figure 4.20. Premiè rement, pour bien comparer les résultats obtenus à ceux simulés en ZEMAX en déplaçant
4.3 Tolérancement des systèmes avec distorsion 73
des erreurs gaussiennes, on combine les figures 4.17 et 4.20 à la figure 4.21. On remarque que l'enveloppe calculée à partir de la pente maximale des erreurs encadre bien les points de pente maximale comme prévu, démontrant ainsi que les choix effectués dans ce modèle mathématique sont valides.
20 40 60 Champ de vue (degrés) C)
20 40 60 80 Champ de vue (degrés) t l )
Figure 4.20 - Déplacement de la hauteur H de l'image selon le modèle mathématique pour les pentes des déformations gaussiennes. a) Avec la lentille double-gauss, l'impact est presque indépendant du champ de vue. b) Pour la lentille fisheye, l'influence s'aggrave lorsque le champ de vue augmente, c) Avec le système catadioptrique, l'impact maximal est autour de la zone de grandissement maximal autour de 58 degrés, d) Avec la lentille Pano- morphe, il y a deux endroits où l'impact atteint un maximum, autour de 35 et de 60 degrés. Ensuite, si on regarde plus en détail la forme de la courbe pour chaque système, on re- marque que pour la lentille double-gauss, l'erreur est presque constante. Ce résultat était prévisible étant donné le faible angle de la normale sur toute la surface, les faibles angles d'incidence par rapport à la normale et la longueur focale locale relativement constante et les 3 effets sont alors faibles. Pour la lentille fisheye, la longueur focale locale diminue en augmentant le champ de vue, mais l'effet de l'angle d'incidence rapidement croissant (> 70 degrés pour le champ de vue à 85 degrés) domine et les erreurs sont plus importantes vers les grands champs de vue. Pour le système catadioptrique et la lentille Panomorphe, l'angle
4 6 8 10 Champ de vue (degrés)
20 40 60 Champ de vue (degrés)
12 14
a)
c)
0) * O) ra .Ei o
■£ a E JD Q. •CD Q -2 " ^ V ^ \ \ N. ' >* X s \ \ \ 3 r " * ^ > 20 40 60 80 Champ de vue (degrés) mî 2
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S. Q 2 20 40 60 Champ de vue (degrés)80
d)
Figure 4.21 Comparaison entre le déplacement de la hauteur H del 'image selon le modèle mathématique et avec les erreurs gaussiennes. a) Pour la lentille doublegauss. b) Pour la lentille fisheye. c) Pour le système catadioptrique. d) Pour la lentille Panomorphe.
normal augmente considérablement avec le champ de vue, impliquant que les angles d'inci dence sont moins importants que pour la lentille fisheye. L'effet principal pour ces deux cas est alors la longueur focale locale qui varie rapidement avec le champ de vue.
Sommairement, dans les systèmes avec de la distorsion, le tolérancement ne peut pas s'effectuer de la même façon sur toute la surface frontale étant donné que les erreurs ont des influences différentes selon leur position. Cette constatation oblige d'apporter de nouveaux moyens de tolérancer ces surfaces comme expliqué à la prochaine soussection.
4.3 Tolérancement des systèmes avec distorsion 75