Concept de l'imageur à grandissement localisé

5.2 Concept de l'imageur à grandissement localisé

5.2.1 Idée du fonctionnement

Une des conclusions du chapitre 4 est que certains défauts de surface sur la frontale d'un dispositif optique ayant une empreinte de faible diamètre comparativement au diamètre de l'élément peuvent produire de grands changements de distorsion. De plus, conséquence de la différence entre la réflexion et la réfraction, l'équation 4.6 montre que pour une variation de pente sur la surface frontale d'un miroir, on produit un plus important déplacement de l'image qu'avec le cas réfractif. Cette propriété est utile pour produire un système à distorsion contrôlée. Pour cette raison, le modèle et le prototype d'imageur à grandissement localisé présenté dans ce chapitre est construit à base d'un miroir déformable.

Le schéma de la figure 5.2 montre le fonctionnement de 1TGL. Lorsque le miroir défor- mable est complètement plat, les trois rayons-chefs en rouge sont réfléchis sur les rayons bleus et visent le centre de la pupille d'entrée d'un imageur de focale fQ. Ensuite, à un instant

donné, on veut produire une zone de grandissement augmenté entre r = 0 et r = a, en com- pensant par une zone de grandissement diminué entre r = a et r = b, tel que le grandissement original est conservé entre r = b et r = Dm/2. Il est possible de calculer la forme du miroir

qui produirait maintenant la réflexion des rayons verts en direction des rayons bleus, créant ainsi comme voulu une zone au centre de l'image où le grandissement est plus élevé étant donné qu'on image un plus petit cône angulaire sur le même nombre de pixels.

Pour pouvoir produire cet effet sur les faisceaux d'un champ donné, sans trop affecter les champs voisins, il apparaît que la surface optique active doit être placée loin du stop. Que ce soit du côté objet ou du côté image, cette propriété est essentielle si on veut produire de la distorsion localisée avec ce composant.

Pour utiliser au maximum la surface du miroir, la distance L0 entre la pupille d'entrée

de l'imageur et le miroir déformable est une valeur qui dépend du diamètre du miroir et de l'angle 9max, lequel dépend de la focale f0 de l'imageur et de la demi-dimension i/max du

détecteur. Cette relation est décrite par l'équation 5.1.

H D

— j ^ - = tan(9max) = - y - (5.1)

Jo t ^ o

Les prochaines sous-sections montrent comment obtenir la forme de cette surface mathé- matiquement, ainsi que les limites fondamentales d'un tel imageur.

K » o r=o r=a r=b Grandissement Grandissement | augmenté | diminué | T^Dm2 Granckssement

Figure 5.2 - Schéma du concept de l'imageur à grandissement localisé. En changeant la forme du miroir déformable, ce sont maintenant les rayons verts au lieu des rayons rouges qui sont réfléchis en direction des bleus.

5.2.2 Équation entre la forme de la surface et le rapport de grandisse-

ment

On cherche une équation reliant la forme du miron: déformable au rapport de grandisse- ment (RdG) produit. Le problème est schématisé à la figure 5.3, où les angles affectant le rayon-chef qui frappe la surface en r portent l'indice r alors que pour le rayon-chef en r + 5r, ils portent l'indice r + . Tout d'abord, puisque la surface active est un miroir, la relation entre l'angle du champ de vue 9 et l'angle du rayon qui entre dans l'imageur (p est donnée par l'équation 5.2.

5.2 Concept de l'imageur à grandissement localisé 85

r-o

r r+ôr

Figure 5.3 - Schéma du problème mathématique reliant la forme de la surface au rapport de grandissement obtenu.

9T = <pT — 2ipT (5.2)

On insère ce résultat dans l'équation 4.2 donnant la résolution originale et on obtient l'équation 5.3.

i m , d H , ,. H(r + ô r ) - H ( r )

J {T) ' m Ir «7™ [<p(r + Sr) - 2xP(r + Sr)} - [<P(r) - 2tp(r)] (5.3)

On définit le RdG comme le rapport du grandissement final sur l'original. Puisque rien n'est changé après le stop, on peut simplifier le terme en AH pour obtenir l'équation 5.4. Ce choix permet donc de trouver un rapport indépendant de la distorsion originalement présente dans l'imageur.

RdG(r) = lim 4>(r + 5r) — (p(r)

*r-»o [<p(r + ôr) - 2ip(r + Sr)] - [<p(r) - 2ip(r)] (5.4) En écrivant les angles en fonction des dimensions physiques avec l'arc tangente, on ob- tient l'équation 5.5, où LQ est la distance minimale entre la pupille d'entrée de l'imageur et

RdG(r) = lim arctanC^j^1-) — arctan(j--)

ôr-rO [arctQn(i±i2:) _ 2arctan(z'(r + Sr))] — \arctan(j--) — 2arctan(z'(r))]

(5.5) Si on considère que l'angle de déviation ip est petit tel que arctan(z'(r)) « z'(r), en réarrangant les termes, cela se réécrit comme à l'équation 5.6.

RdG(r) = lim ,, * , ,, , (5.6)

V ' Sr^O l _ 2 z'(r+Sr)-z'(r)

arctan( T~£ ) —arctan{ -jr- )

Ensuite, en multipliant le numérateur avec les z'() et le dénominateur avec les arctanÇ) par ^ et en appliquant deux fois la définition de la dérivée d'une fonction, on obtient l'équa- tion 5.7.

^ w - i - 2^

r)[i

tn

Si l'angle dans l'imageur est faible, ou pareillement si r << L0, cette équation se réduit

à l'équation 5.8.

M G { r )

= T^L^V)

-

Finalement, à titre de référence, un développement similaire avec une surface refractive au lieu de reflective donnerait l'équation 5.9, où le signe positif signifie qu'une pente positive sur la surface active éloigne les rayons de l'axe optique contrairement au cas par réflexion.

""W-l-Kn-DI^r)

'

Cas où le composant actif est entre un système de focale fe et l'imageur de focale f0

Placer le composant déformable en premier dans le système requiert de fortes dévia- tions angulaires de celui-ci et il peut être utile d'amplifier cette déformation angulaire en

■

5.2 Concept de l'imageur à grandissement localisé 87

ajoutant un ou plusieurs autres composants optiques devant la surface active. Un développe­ ment similaire à celui de la section précédente, avec les approximations paraxiales pour avoir une formule simple, permet d'obtenir les équations 5.10 et 5.11 respectivement pour les cas d'une surface reflective et refractive. Tous les éléments optiques placés devant sont réduits à une focale équivalente fe se trouvant à une distance Le de la surface déformable. Le schéma

représentant la situation pour le cas d'un miron est représenté à la figure 5.4.

fe­Le (5.10) RdG(r) = l + ( n ­ l ) L0z » ( r ) \r­ ^r­ ] f e — L e (5.11)

SL

Elément de focale f

Figure 5.4 ­ Schéma du problème mathématique reliant la forme de la surface au rapport de grandissement obtenu lorsqu 'il y a d'autres composants optiques devant le miroir.