Influence des erreurs de surface sur la distorsion
4.2 Particularités des systèmes à distorsion
4.2.1 Longueur focale locale
Pour une lentille présentant peu de distorsion, l'équation 2.3 permet de faire un lien rapide entre la hauteur H d'un rayon-chef dans le plan image et son angle 9 en entrant dans le système. Cette équation est valide tant qu'on utilise la définition usuelle de la longueur focale, soit la distance d'un élément optique à laquelle le focus est atteint pour des rayons provenant de l'infini comme à l'équation 4.1. Dans cette dernière, y\ est la hauteur d'un rayon provenant de l'infini et parallèle à l'axe optique avant la première surface et un est l'angle du même
rayon en frappant le plan image. Par contre, directement de la définition de la distorsion donnée à l'équation 2.2, il apparaît que l'équation 2.3 n'est plus valide quand le système possède une forte distorsion et que 9 > 90°.
/ = —pTT (4.D
D serait possible de définir une fonction f(9) qui dépend du champ de vue tel que les équations 2.3 ou 2.4 demeurent valides, mais puisque ces dernières n'ont déjà plus vraiment de signification en présence de distorsion contrôlée, une meilleure option s'impose. Par ana- logie aux systèmes à zoom, où la longueur focale est un indicateur du grandissement produit, on définit alors une longueur focale locale qui dépend de l'angle du champ de vue, offrant ainsi une mesure du grandissement angulaire local. Cette nouvelle définition représente la pente de la courbe de la position H sur l'image en fonction de l'angle 9 du côté objet et on obtient alors l'équation 4.2, où 9 est mesuré en radians. De cette façon, on retrouve comme prévu que pour de petits angles, Ifl « / puisque H varie linéairement en fonction de 9 près de l'axe optique. Pour bien observer le comportement de la longueur focale locale en fonc- tion de l'angle du champ de vue, la figure 4.2 montre le graphique de cette variable dans l'axe tangentiel pour les quatre systèmes optiques présentés précédemment. Pour la lentille
4.2 Particularités des systèmes à distorsion Al
double-gauss, on remarque tel qu'envisagé un très léger changement de longueur focale lo- cale avec le champ de vue, soit un rapport de 1.03 entre le maximum et le minimum. Pour la lentille fisheye, la longueur focale locale (le grandissement) diminue continuellement en augmentant le champ de vue, donnant un rapport de 1.77 entre le maximum et le minimum de grandissement. Avec le système catadioptrique, le signe du champ de vue est inversé étant donné le miroir, assurant de garder le signe positif à sa longueur focale. Dans ce cas, le gran- dissement est maximal près du champ de vue de 58 degrés, produisant un rapport de 3.18 entre le maximum et le minimum. Finalement, la lentille Panomorphe engendre elle aussi un maximum qui n'est pas aux extrémités, cette fois-ci autour de 62 degrés, ayant ainsi un rapport de 3.94 entre le maximum et le minimum.
a u
if m = - ^ (4.2)
Cette définition de la longueur focale locale, en plus d'être un indicateur du grandisse- ment local et ainsi de la distorsion, permet également de vérifier qualitativement l'affirmation que les variations locales de grandissement sont généralement produites loin du stop. En ef- fet, selon les équations des variations d'aberrations en déplaçant le stop [5], un élément ne produit aucune distorsion s'il est positionné sur le stop et la contribution augmente rapide- ment lorsque le rapport de la hauteur du rayon principal sur la hauteur du rayon axial aug- mente. Pour bien voir que les différences locales de courbure sur la surface peuvent affecter le grandissement pour le système au complet, on regarde les deux cas où la surface frontale est asphérique, soit pour le système catadioptrique et pour la lentille Panomorphe. La raison pour ce choix est qu'une surface asphérique offre des changements de courbure contraire- ment à une surface sphérique. Il est donc possible de comparer ces variations de courbure aux courbes de la figure 4.2 pour voir si elles influencent bien le grandissement. La figure 4.3 présente pour ces deux systèmes la dérivée seconde de la surface frontale (la courbure lo- cale) en fonction de la position radiale r. N'étant pas en fonction de 9, ces courbes dépendent uniquement de la forme de la surface, indépendamment des autres composants optiques.
Puisqu'on connaît le système optique au complet, grâce au tracé de rayons, on peut ensuite faire la correspondance entre 9 et r, permettant ainsi d'obtenir la figure 4.4 montrant la même courbure, mais en fonction de l'angle 9 du rayon-chef qui frappe la surface à cette position. À titre de référence pour plus tard, la courbe de la position r sur la surface frontale en fonction de l'angle du champ de vue est également présentée pour les quatre systèmes à la figure 4.5. Cette analyse est qualitative, mais on remarque une correspondance entre les changements de courbure sur la surface frontale et les variations de grandissement produites. On peut alors affirmer que dans ces deux systèmes, c'est en effet la surface frontale qui détermine principalement la forme de la distorsion. Pour d'autres systèmes, on pourrait bien sûr placer cette surface asphérique à un autre endroit que sur la frontale. Cependant, d'autres simulations
2 4 6 8 10 12 14 Champ de vue (degrés) j | )
20 40 60 Champ de vue (degrés) C)
20 40 60
Champ de vue (degrés) b )
20 40 60 Champ de vue (degrés)
d)
Figure 4.2 - Longueur focale locale tangentielle pour les quatre systèmes optiques consi- dérés, a) La lentille double-gauss possède un grandissement qui est assez constant comme prévu par la faible distorsion, b) La lentille fisheye a un grandissement local qui diminue continuellement avec le champ de vue. c) Le système catadioptrique possède un maximum de grandissement autour de 58 degrés, d) La lentille Panomorphe a également un maximum de grandissement qui n 'est pas aux extrémités, cette fois autour de 62 degrés.
ont montré qu'elle aurait un impact significatif sur la distorsion seulement à condition qu'elle soit loin du stop, du côté de l'objet ou de l'image.
Modifier la courbure est un bon moyen de varier localement la distorsion, mais ce n'est pas le seul. Par exemple, la distorsion en barillet présente dans les systèmes grand angle, incluant la lentille fisheye présentée ici avec sa frontale sphérique, n'est pas produite par des variations directes de la courbure sur une surface. Pour expliquer cette distorsion, il faut notamment regarder les variations apparentes de la courbure causées par l'angle d'incidence croissant par rapport à la normale.
4.2 Particularités des systèmes à distorsion 49
5 10
Position radiale r (mm) H ) 5 10 15 Position radiale r (mm)
b)
20 Figure 4.3 - Courbure de la surface asphérique en fonction de la position radiale r. a) Le miroir frontal du système catadioptrique a une courbure minimale à une distance radiale de 9 mm. b) La frontale de la lentille Panomorphe a une courbure maximale autour de 17 mm.20 40 60
Champ de vue (degrés) a )
20 40 60 80 Champ de vue (degrés) D )
Figure 4.4 - Courbure de la surface frontale asphérique en fonction de l'angle 6 du rayon- chef qui frappe la surface à cette position, a) Pour le miroir du système catadioptrique, le minimum de courbure est près de 58 degrés, b) Pour la frontale de la lentille Panomorphe, le maximum de courbure est autour de 62 degrés. Ces résultats sont similaires à ceux pour les courbes de la longueur focale locale où les maximums de grandissement étaient également respectivement à 58 et à 62 degrés.
50 4. Influence des erreurs de surface sur la distorsion
4 6 8 10
Champ de vue (degrés) 12 14
a)
20 40 60 Champ de vue (degrés) C)
Champ de vue (degrés)
b)
20 20 L_ 0) m "S 10 . 2 c o '55 o 5 j r . Q. n 20 40 60 Champ de vue (degrés)80
d)
Figure 4.5 - Position radiale r sur la surface frontale en fonction du champ de vue 6 pour les quatre systèmes, a) La relation est presque parfaitement linéaire sur la surface frontale sphérique de la lentille double-gauss. b) Elle est aussi presque linéaire pour la surface fron- tale sphérique de la lentille fisheye. c) Pour le système catadioptrique, le miroir asphérique produit une certaine courbure, d) Il y a également une courbure pour la lentille frontale
4.2 Particularités des systèmes à distorsion 51