Simulation du champ magnétique appliqué

Nous avons évalué le champ magnétique Bex créé par la bobine pour calculer numériquement

les intégrales (5.20) et (5.21) portant sur le champ magnétique à l’interféromètre B (ou son carré) le long des chemins atomiques. Nous en déduisons les valeurs numériques des quantités J1et J2

pour chaque isotope, puis l’expression de la visibilité et du déphasage des franges atomiques, en présence du champ magnétique.

Modélisation du champ magnétique B Nous analysons dans ce paragraphe les deux contribu- tions B0et Bexqui interviennent dans l’expression du champ magnétique total B.

Champ magnétique résiduel B0 Dans notre expérience, le champ magnétique terrestre n’est

pas compensé et les pompes à vide sont soutenues par bâti très rigide en acier. Nous avons mesuré le champ magnétique B0 en déplaçant un Gaussmètre le long des deux chemins atomiques. Nos

mesures sont représentées sur la figure (5.6) où l’on a distingué les composantes longitudinale B_k=

B0zet transverse B⊥=

q

B2

0x+ B20ydu champ résiduel B0. Ce champ magnétique est grossièrement

homogène (Bk= (0,16 ± 0,01) × 10−4 Tesla et B⊥ = (0,36 ± 0,03) × 10−4 Tesla et son module,

voisin de 4 ×10−5Tesla, est proche de celui du champ magnétique terrestre.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3

Position de la sonde sur le banc (m) B

0 (x 10

-4 Tesla)

FIG. 5.6 – Mesures du champ magnétique résiduel B0 dans l’interféromètre. Pour différentes

positions du Gaussmètre sur le banc soutenant les trois miroirs, nous mesurons la composante B_k

de B0selon l’axe z du jet atomique et sa composante B⊥dans le plan transverse (x,y).

Ce champ B0 a peu d’importance car un interféromètre de Mach - Zehnder est pratiquement

insensible à l’application d’un faible champ magnétique homogène. Toutefois, nous avons vu au chapitre 4 que les gradients associés à ce champ résiduel ne sont pas complètement négligeables et nous allons préciser ce point un peu plus loin dans ce chapitre.

134 CHAPITRE 5. INTERACTIONS AVEC UN CHAMP MAGNÉTIQUE

Champ magnétique créé par la bobine Bex Nous remplaçons la bobine réelle formée de

N spires de rayon a parcourues par un courant Iel par une seule spire infiniment fine parcourue

par le courant NIel et située dans le plan x = 0. Avec cette approximation, le champ magnétique

Bex peut être exprimé de manière analytique [193] (voir pages 30 à 35). Nous allons utiliser des

coordonnées cylindriques (ρ,ϕ,x). La direction x désigne l’axe de la bobine, parallèle à la direction des ondes lasers stationnaires et les coordonnées ρ et ϕ sont situées dans le plan (y,z). Dans ce repère, le champ magnétique Bexn’a pas de composante orthoradiale par raison de symétrie et les

autres composantes s’écrivent :

Bex,ρ(ρ,x) = µ0NIel 2π µ −

I

1(k) + a 2_{+ ρ}2_{+ x}2 (a − ρ)2_{+ x}2

I

2(k) ¶ Ã x/ρ p (a + ρ)2_{+ x}2 ! (5.40) Bex,x(ρ,x) = µ0NIel 2π µ

I

1(k) + a 2_{− ρ}2_{− x}2 (a − ρ)2_{+ x}2

I

2(k) ¶ Ã 1 p (a + ρ)2_{+ x}2 ! (5.41) Les fonctions

I

1(k) et

I

2(k) représentant respectivement les intégrales elliptiques de Legendre

d’ordre 1 et 2 et leur argument k est une fonction de a, de ρ et de x:

k =

s

4aρ

(a + ρ)2_{+ x}2 (5.42)

Le module du champ magnétique total B est représenté sur la figure (5.7) pour le courant élec- trique appliqué maximal (Iel = 9,0 A) correspondant à un gradient de champ magnétique de 0,16

Tesla/m. -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 10 12 B a (x 10 -4 T) z (cm) -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 12,0 12,2 12,4 12,6 12,8 13,0 13,2 B a (x 10 -4 T) z (cm)

FIG. 5.7 – Module B du champ magnétique total B, résultant du champ de la bobine Bex et du

champ résiduel B0. Le plan de la spire qui représente la bobine est à une distance moyenne x0= 7,5

mm des deux chemins atomiques qui sont séparés de ∆x = 93 micromètres et le calcul est fait pour

un courant de 9,0 A et N = 4,5 tours. Le champ maximal atteint la valeur de 1,305 × 10−3 T sur

5.3. ETUDE EXPÉRIMENTALE 135 Calcul numérique de la visibilité et du déphasage induits par le champ B

La connaissance du champ magnétique B(x,z) appliqué sur l’interféromètre permet de calculer les perturbations U(6Li)(z) et U(7Li)(z) de chaque sous - niveau hyperfin, données par les équations (5.9-a) et (5.9-b). Un programme numérique sous Fortran effectue le calcul des perturbations pour différents courants électriques appliqués puis intègre ces perturbations le long de chaque chemin atomique pour en déduire le déphasage φ des franges atomiques défini à l’équation (5.16). Alter- nativement, le programme peut effectuer un calcul similaire en utilisant le developpement limité de l’effet Zeeman en gardant soit seulement le terme linéaire, soit les termes linéaire et quadra- tique. Le déphasage d’un sous - niveau (F,MF) est alors calculé en utilisant les équations (5.19-a)

et (5.19-b), les facteurs J1et J2étant déterminés numériquement. Nous exprimons ce résultat nu-

mérique en donnant les valeurs de J1/Ielet J2/Iel2. Au premier ordre de diffraction, nous obtenons

pour chaque isotope :

J₁(6Li)/Iel = 5,03 rad/A, J( 6_Li) 2 /Iel2 = 0,0725 rad/A2 (5.43-a) J₁(7Li)/Iel = 4,79 rad/A, J( 7_Li) 2 /Iel2 = 0,0206 rad/A2 (5.43-b)

Ces résultats sont en bon accord avec l’étude menée au paragraphe (5.2) : J1 et J2 sont plus éle-

vés pour l’isotope bosonique d’angle de diffraction plus élevé. J2 est également plus élevé pour

l’isotope 6Li car l’écartement hyperfin est plus faible pour cet isotope. Les déphasages φ(F,MF)

permettent de calculer numériquement la visibilité complexe des franges atomiques et suivant l’ex- périence effectuée, nous utilisons les expressions (5.27-a), (5.27-b) ou (5.28) pour y parvenir. En pondérant ces visibilités par les facteurs exponentiels qui traduisent la distribution de vitesse du jet, nous obtenons la visibilité et le déphasage des franges atomiques, pour différents courants électriques Iel appliqués.

En calculant le champ magnétique appliqué B, nous faisons intervenir la distance (x0± ∆x/2)

qui sépare la bobine des deux bras de l’interféromètre. Il est difficile de mesurer la distance x0,

voisine de 7,4 mm, avec une grande précision. D’autre part, pour prendre en compte les effets de la distribution de vitesse du jet atomique, nous utilisons le rapport de vitesse parallèle Sk des

atomes qui contribuent au signal d’interférence. Comme nous l’avons déjà dit, la distribution de ces atomes diffère un peu de la distribution de vitesse du jet atomique incident, à cause de la sélectivité en vitesse de la diffraction dans le régime de Bragg, et nous devons donc utiliser une valeur de Sk plus élevée que celle que nous avons mesurée sur le jet atomique au chapitre 2 et

cette valeur peut dépendre de l’ordre de diffraction, puisque la sélectivité de la diffraction n’est pas la même aux différents ordres. Dans les conditions de référence du jet atomique (température du four T0= 1080 K, pression d’argon P0de 330 millibars) qui correspondent aux mesures effectuées

dans ce chapitre, la valeur de S_k mesurée sur le jet atomique est égale à S_k= 8,6 avec une vitesse moyenne u = 1070 m/s.

Les trois quantités x0, u et Sk ne sont connues que de manière approximative. L’idéal serait

d’ajuster nos points expérimentaux et de déterminer ainsi le triplet (x0,u,Sk) le plus adapté. Tou-

tefois, compte tenu de notre modélisation plutôt grossière du champ magnétique Bex et que notre

objectif n’est pas d’effectuer une mesure de précision de l’effet Zeeman, nous avons choisi d’utili- ser les trois valeurs suivantes x0= 7,4 mm, u = 1070 m/s et Sk= 9,0 pour une diffraction au premier

ordre. Nous allons voir que l’accord entre les points expérimentaux et la simulation est ainsi très satisfaisant.

136 CHAPITRE 5. INTERACTIONS AVEC UN CHAMP MAGNÉTIQUE

Dans le document Expériences d'interférométrie atomique avec le lithium. Mesure de précision de la polarisabilité électrique (Page 168-171)