3.3.2 ALGÈBRE DE CONVO LUTION L1('Jl')
125
La convolution sur le tore T = !R/27rZ offre un outil important pour l'étude des séries de Fourier. Elle est définie, pour f et g E L1 (T), par
(f * g) (x) =
fo2"
f(y)g(x - y) dy(voir la remarque 3.53) . Le produit de convolution munit L1 (T) tout comme L1 (JR) d'une structure d'algèbre normée (voir la proposition 3.54). La remarque 3.55 fait le lien entre la convolution sur lR et la transformée de Fourier ; cette sous-section étudie des propriétés similaires entre la convolution sur T et les séries de Fourier.
Grâce à l'inclusion LP(T) C L1 (T) pour tout p ;::: 1, la manipulation de la convo lution est plus aisée sur T que sur R Par ailleurs, les fonctions en se comportent de façon agréable vis-à-vis de la convolution puisqu'on a
Autrement dit, les en sont des vecteurs propres pour les opérateurs de convolution
{
L1 (T). - L1 (T)�r
g 1--+ f * 9 ·
Cette propriété permet d'exprimer SN (!) et aN (f) comme des convolutions (voir la sous-section 3.3.3).
Soit So l'espace vectoriel des suites qui tendent vers 0 en +oo et -oo. Muni du produit terme à terme et de la norme li · 1100, l'espace So est une algèbre normée.
Théorème 3.71 - Convolution et séries de Fourier. L'application
§ :
{
Ll (T) -f 1--+�N
f = { Cn}nEZest un morphisme d'algèbres de (L1 (T), +, * , Il · 11 1) dans (So , +, · , Il · 1100) qui est injectif, continu et de norme 1 .
Dans la suite de cette sous-section, on étudie point par point les différentes pro priétés de § énoncées dans le théorèmé.
La linéarité de § résulte simplement de la linéarité de l'intégrale. La proposi tion IVJ.5 de [zQ] donne une liste de propriétés simples de l'application §. Le fait que § transforme convolution en produit terme à terme (voir [zQ, IVl.7]) repose sur le théorème de Fubini.
CONTINUITÉ
L'intégrale du module étant plus grande que le module de l'intégrale, on a
'V n E Z, 'V f E L1 (T),
Ces inégalités démontrent que la suite (cn(f))nez est bornée et que ll§(f) lloo ::;; llfll i ·
On obtient donc à la fois la continuité de § et l'inégalité 11§11 ::;; 1. Pour vérifier que 11§11 = 1, il suffit de constater que l'égalité 11§(!) 1100 = 11!11 1 est réalisée pour les fonctions constantes.
126 CHAPITRE 3 - ANALYSE FONCTIONNELLE 3.3.2
LEMME DE RIEMANN-LEBESGUE
Le lemme 3.73 de Riemann�Lebesgue indique que les coefficients de Fourier d'une fonction intégrable tendent vers 0 en ±oo, ou, autrement dit, que l'application § est à valeurs dans So . Il existe un analogue de ce lemme pour la transformée de Fourier (voir la remarque 3.55).
Les démonstrations du lemme de Riemann-Lebesgue utilisent un argument d'ap proximation. On commence par démontrer le théorème sur une classe de fonctions pour laquelle on sait faire les calculs, comme par exemple
- les fonctions de classe 'if1 , voir [GAS, 5.1.1] ;
- les combinaisons linéaires de fonctions indicatrices de segments, voir [ZQ, IV.1.6] ; - les polynômes trigonométriques, voir [RUD, 5.14].
On utilise ensuite la densité de l'espace choisi dans L1 {T) pour conclure.
Donnons une autre démonstration du lemme de Riemann-Lebesgue, qui utilise la continuité de l'opérateur de translation.
Proposition 3. 72 - Continuité de la translation. Soit 1 :::;; p < +oo, on note
Ta(!) = f( · - a) la translation de f par a. Pour f E Ll'{T), l'application
est uniformément continue.
{
T - LP{T)�r
a 1--+ Ta(!)
Preuve. La démonstration de ce résultat utilise un argument de densité qui consiste à approcher f E LP par une fonction uniformément continue. Le cas des fonctions définies sur IR. est traité dans [HIR, Ch. 4.3) .
Soient é > 0 et g une fonction continue sur T. Comme T est compact, g est uniformément continue et donc il existe a > 0 tel que
Vx, y E T, d(x, y) < a ===> lg(x) - g(y) I :::;; é.
On en déduit que
ll �g(b) - �9 (a) llp =
(fo2.,.
lg(x - a) - g(x - bW dx)
l/p :::;; e lorsque d{ a, b) < a. La fonction � 9 est donc uniformément continue.Soit f E LP{T) ; par densité des fonctions continues dans LP{T) (voir la sous section 3.3.3), il existe une fonction continue g telle que Il ! - gll :::;; e, d'où
ll�1(b) - �1 (a) llp :::;; ll�1 (b) - �9 (b) llp + ll�9(b) - �9(a) llp + ll�9(a) � �1(a) llP' Or ll�1(b) - �9(b) llp = Il! - gllp :::;; e
et ll�1(a) - �9 (a) llp = Il! - gllp :::;; e, et donc
Comme �9 est uniformément continue, on en déduit que �/ l'est aussi. • La preuve du lemme de Riemann-Lebesgue repose à présent sur un simple chan gement de variables, l'argument d'approximation ayant été « déplacé » dans la pro position précédente.
1
Proposition 3.73 - Lemme de Riemann-Lebesgue. Soit f E L1 {T), alors (en(f))n tend vers 0 lorsque n tend vers ±oo.3.3.3
Preuve. Comme ei1r = - 1,
SÉRIES DE FOURIER
en(!) = - f(x)e-in(x+?r/n) dx = -
1
211"-?r/nf(x - 7r/n)e-inx dx, -?r/nComme les fonctions considérées sont 27r-périodiques, on obtient
Cn(f) = -
1
211" f(x - 7r/n)e-inx dx.Ainsi 2 cn(f) =
fo
21r (f(x) - f(x - 7r/n))e-inx dx,de sorte que 2 Jcn(f) J :::; Il / - T1r/n(f) JJ 1 .
La proposition 3. 72 permet alors de conclure.
INJECTIVITÉ DE !#"
127
Pour prouver l'injectivité de l'application !#", on utilise un argument d'approxi mation par convolution (voir la remarque 3.77). Ce résultat permet d'identifier des fonctions de L1 (T) dont les coefficients de Fourier sont les mêmes. En particulier, si f
est continue et a tous ses coefficients de Fourier nuls, alors f = 0 partout.
En utilisant le théorème d'isomorphisme de Banach, on montre que l'application !#" : L1 (T) --t So n'est pas surjective (voir IRUD, 5.15)). Par ailleurs, la série
2:: sin(nx)
n�2 ln(n)
donne un exemple explicite de série trigonométrique qui converge partout mais n'est pas la série de Fourier d'une fonction de L1 (T) (voir l'exercice 17 lzQ, Ch.IV)). Ce contre-exemple fournit donc une autre démonstration de la non surjectivité de !#".
3.3.3 CONVERGENCE AU SENS DE CESÀRO
L'étude de la convergence des sommes partielles SN (!) est difficile.
- Il existe des fonctions continues dont la série de Fourier diverge en un point (voir [zQ, IV.IIl.1) et l'exercice 4 de !Gou2, p.262)).
- Kolmogorov a montré l'existence de fonctions intégrables dont les séries de Fourier divergent partout.
- La démonstration (donnée par Carleson) de la convergence presque partout pour les fonctions de L2(T) est complexe.
Grâce à la convolution, les sommes de Cesàro définies par 1 N-1
O"N (J) = N n�O Sn(!)
sont au contraire d'étude plus aisée (voir le théorème de Fejér). Une fois les théorèmes de convergence obtenus pour aN(f), on tente alors de revenir à SN(!).
Les sommes SN(!) et aN(f) s'écl'.ivent comme des produits de convolution entre f
et des fonctions que l'on appelle noyaux : - le noyau de Dirichlet - le noyau de Fejér DN =
Ï:
en = sin ((N + 1/2)x) , n=-N sin(x/2) KN = �NË1Dn =Ï: (
1 - �)
en = � � O. N n=O n=-N N N sm(x/2)128
CHAPITRE
3 -ANALYSE
FONCTIONNELLE 3.3.3En utilisant le fait que les en sont vecteurs propres pour l'opérateur de convolution (voir la sous-section 3.3.2), on obtient les deux relations fondamentales :
et CTN(f) = f * KN = n
E
N N(
1 - N lnl)
en(f)en.Remarque 3.74 - Sommes de Cesàro et régularisation. Le noyau de Dirichlet DN a un effet simple : il tronque la suite des coefficients de Fourier aux rangs N et -N.
À l'opposé, pour obtenir aN (f), le noyau de Fejér tronque la série de Fourier de f et multiplie les coefficients par 0 � (1 - lnl/N) � 1. Les coefficients décroissent donc plus rapidement {plus n est grand, plus le coefficient multiplicateur {1 - lnl/N) est petit). Ceci traduit l'effet régularisant des moyennes de Cesàro. •
Intuitivement, cet effet régularisant explique les résultats généraux de convergence du théorème 3.75. Concrètement, ces résultats proviennent du fait que le noyau de Fejér est une identité approchée forte sur 1'. Ces théorèmes de convergence ne sont ainsi que des cas particuliers de résultats sur les identités approchées.
Théorème 3.75 - Théorème de Fejér.
(i) Si f est continue, alors aN{f) converge uniformément vers f.
{ii) Si f E LP(T), 1 � p < +oo, alors aN {f) converge vers f pour 11 · llv·
( iii) Si f E L1 (1') admet en un point xo une limite à droite et à gauche, alors 1
aN(f)(xo) ---+ N--++oo -2 {f(xo)+ + f(xo)-) .
Le théorème 3.63 s'adapte sur 1' et entraîne donc les points {i) et (ii) de ce théorème. Le point (iii) provient de la parité de l'identité approchée forte KN.
Application 3. 7 6 - Densité des polynômes trigonométriques. Comme, pour tout f, CTN (!) est un polynôme trigonométrique, le théorème précédent implique la densité des polynômes trigonométriques dans l'espace des fonctions continues muni de la norme uniforme, et dans les espaces LP(1'). En particulier, on en déduit que la famille (en)nEZ est une base hilbertienne de L2(1l'). De plus, ce procédé donne explicitement une suite de polynômes trigonométriques convergeant vers f.
Remarque 3.77 - Injectivité de §. La densité des polynômes trigonométriques
permet de démontrer l'injectivité de §. Si §{!) = (en(f))n = 0, on a aN(f) = n
f;_
N(
1 - en(!) en = O.Le théorème 3.75 assure que aN (f) -+ f dans L1 {1l'). On obtient donc f = O. Application 3. 78 - Approximation polynomiale. Soit [ a , b ) un intervalle compact de R Le théorème de Stone-Weierstrass affirme que l'ensemble des polynômes est dense dans (�([ a , b ]), Il · 1100). On trouve dans [zQ, IVJII.2) une démonstration du théorème de Stone-Weierstrass comme conséquence du théorème de Fejér. On peut cependant adopter la démarche inverse et démontrer en premier lieu le théorème de Stone-Weierstrass et en déduire la densité des polynômes trigonométriques (voir
(aou2, IV.3.3J et (ccM, VIII.41). ·
Remarque 3.79 - Convergence normale. Dans certains cas, l'injectivité de § permet de résoudre le problème de la représentation de f sous forme de série de Fourier. Par exemple, si la série E en(!) en converge normalement c'est-à-dire si
+oo
E len{f) I < +oo, n=-oo