b) Remarquons tout d'abord que an ;;,: 0 pour tout n E N et que
+oo
2: an = IP'(X E N) = 1 .
n=O
Ainsi, d'après le lemme d'Abel (voir [RD04, 3.1.2.1°1), la série entière l: anzn est de rayon de convergence R ;;,: 1 . De plus, elle converge normalement sur tout le disque izl � 1 . On en déduit que Gx est définie et continue sur [ 0 , 1 ] et �00 sur
( 0 , 1 ( avec
+oo +oo
Gx (x) = l: nanxn-l = l: (n + l)an+1xn , pour tout x E [ 0 , 1 (.
n=O n=O
Commençons par le cas r = 1. La variable aléatoire X admet un moment d'ordre 1 si, et seulement si, la série I: nan converge. D'après la question a, on en déduit que X admet un moment d'ordre 1 si, et seulement si, Gx a une limite (finie) lorsque x --+ 1 .
Il ne reste plus qu'à montrer que Gx a une limite (finie) lorsque x --+ 1 si, et seulement si, Gx est dérivable à gauche en 1 . Si Gx admet une limite f, lorsque
x --+ 1 , la proposition 6 [GOU2, 11. 1 .4] assure que Gx est dérivable à gauche en
x = 1 et que G� (l) =
f.
Supposons à présent que Gx soit dérivable à gauche en x = 1 . En tant que limite de fonctions croissantes, Gx est croissante sur [ 0 , 1 [ , et donc Gx admet une limite f, E lR. U { +oo} lorsque x --+ 1 . Montrons que f, =f. + oo . Si f, = +oo, alors
'v' B e lR.+, 3 c e [ 0 , 1 [ , 'v' x e ] c , 1 ( , Gx (x) ;;,: B.
On en déduit alors avec l'égalité des accroissements finis que
c'est-à-dire
1 [ Gx (x) - Gx (l) >-: B
'v' x E c , 1 , x - l r ,
----+ +00 . X - 1 X->l
La fonction Gx n'est donc pas dérivable à gauche en x = 1 et on aboutit à une contradiction. Donc Gx admet une limite finie et le cas r = 1 est résolu. De plus, on a montré que si X admet un moment d'ordre 1 alors
IE(X) = G� (l)
et Gx est continue sur [ 0 , 1 ] .
Si r > 1 . On raisonne par récurrence sur r. On applique le raisonnement pré cédent à la fonction G�-l) qui est bien continue sur [ 0 , 1 ] par hypothèse de récurrence. On obtient alors que G�- l) est dérivable en 1 si, et seulement si,
X(X- 1) · · · (X-r+ l) a un moment d'ordre 1. Par hypothèse de récurrence, X ad met un moment d'ordre j pour tout j dans [ 1 , r - 1 l On obtient donc le résultat souhaité, avec en plus l'égalité
IE(X(X - 1) · · · (X - r + 1)) = G�)9(1).
Exercice 2 . 1 4 - Fonctions méromorphes : u n e identité. Considérons sur <C " Z,
les deux fonctions
f : z 1----> 7T2 cos( 7T z)
sin2 ( 1TZ) et
+oo (-1r
g : z 1----> I: ( )2 . -OO Z - n
88 CHAPITRE 2 - FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE 2.7
a) Montrer que f et g sont deux fonctions méromorphes sur <C.
b) Montrer que pour z E <C " Z, on a f(z + 1) = -f(z) et g(z + 1) = -g(z) .
c) Montrer que f et g sont deux fonctions paires.
d) Montrer que ô = f - g se prolonge en une fonction holomorphe sur <C.
e) Montrer que ô est bornée.
f) Montrer que pour tout z E <C " Z, f(z) = g(z) .
Commentaires. Comme l'exercice 2.10, celui-ci met en œuvre de nombreuses techniques d'analyse complexe (méromorphie, prolongement analytique, théorème de Liouville). La démarche est la même que celle de l'exemple de [CAR, V.2.2) .
Corrigé.
a) Considérons le sous-ensemble discret Z de <C. Sur <C " Z, la fonction f est un quotient de deux fonctions holomorphes dont le dénominateur ne s'annule pas. Elle définit donc une fonction holomorphe sur <C " Z. De plus, au voisinage de
n E Z, on a
f(z) ,..,, (-l)n . z-n (z - n)2
On en déduit que f est une fonction méromorphe sur <C dont les pôles (tous doubles) sont les entiers.
Intéressons-nous à présent à g. Appliquons le théorème 2.42 sur les séries de fonctions méromorphes pour démontrer la méromorphie de g sur <C. Pour tout n E Z, la fonction
(-1r
9n : Z t--+ ( )2 z - n
est méromorphe sur <C et son seul pôle est double et situé en n. Soit K un compact de <C, il existe N E N tel que K C D(O, N) . Pour tout lnl > N, 9n n'a pas de pôle dans K. De plus, pour tout z E K,
lz - ni � lnl - lzl � lnl - N > O. Cela conduit à la majoration
'Vz E K, Vlnl > N, 1 1 lz - nl2 � (lnl - N)2 .
La série
E
1/(lnl - N)2 est convergente. On a montré que sur tout compact de <C, seul un nombre fini de termes de la série a un pôle et aussi que la série converge normalement (dont uniformément) sur un tel compact. Le théorème 2.42 de mé romorphie affirme que g est méromorphe sur <C.b) Les propriétés habituelles des fonctions sinus et cosinus assurent que pour tout
z E <C " Z, f(z + 1 ) = -f(z) . Pour vérifier cette propriété sur g, le plus sür est peut-être de repasser aux sommes partielles. On écrit pour tout m, n E N et tout
z E <C "- Z,
m (- l)k m (-l)k (- 1r (-l)m
E
+E
-k=-n ((z + 1) - k)2 -k=-n (z - k)2 - (z + l + n)2 (z - m)2 .
Il suffit maintenant de passer à la limite lorsque n et m tendent vers l'infini :
(-1)n (- 1r
2.7 EXERCICES CORRIGÉS 89 c) L'ensemble c,z est bien symétrique par rapport à l'axe imaginaire. Les propriétés habituelles des fonctions sinus et cosinus assurent la parité de la fonction f. Pour vérifier cette propriété sur g, le plus sür est encore une fois de repasser aux sommes partielles. On écrit pour tous m, n E N et tout z E C '- Z,
m (-l)k n (-l)k
E - E = O.
k=-n (-z - k)2 k=-m(Z - k)2
Il suffit maintenant de passer à la limite lorsque n et m tendent vers l'infini pour obtenir la parité de g .
d) On a vu dans la question a que les seuls coefficients d'indice négatif non nul du développement en série de Laurent en 0 de f et de g sont les coefficients d'indices -1 et -2. Les parités de f et g d'une part et l'unicité du développement de Laurent d'autre part assurent la nullité du coefficient d'indice -1. De plus, toujours dans la question a, on a vu que le coefficient d'indice -2 était égal à 1 pour f et pour g. Cela montre donc qu'au voisinage de 0, f -g est développable en série entière et donc holomorphe. La question b assure un comportement identique en chacun des entiers. Ceci implique l'existence d'un prolongement holomorphe de c5
sur C. Ce prolongement est bien sür unique d'après le théorème de prolongement analytique et d'après la connexité de C.
e) Commençons par montrer la relation ô(z + 1) = -ô(z) pour tout z E C. D'après la question b, la relation est vraie pour z E C '- Z. Une fois encore, on se sert du théorème de prolongement analytique : les fonctions z i-+ ô(z + 1) et z i-+ -ô(z) sont holomorphes sur l'ouvert connexe C et coïncident sur C '- Z qui a un point d'accumulation dans C, elles sont donc égales sur C tout entier. Pour montrer que
c5 est bornée, il suffit (puisque ô(z + 1) = -ô(z)) de le montrer sur la bande B
= {
z E C,
-�
:::; &le(z) :::;�}
·Puisque c5 est holomorphe sur C, elle est évidemment continue sur cette bande. Pour montrer que c5 est bornée, nous allons voir qu'elle tend vers 0 lorsque lzl tend vers +oo (en restant dans B).
Décomposons c5 de la façon suivante :
ô(z) = 1T2 cos(1Tz) - _..!:.._ - E (-l)n . sin2(7rz) z2 #O (z - n)2
Commençons par le terme de droite. Pour z E B et n ::/: 0, on a 1
lz - ni;;;:: l&le(z) - ni;;;:: lnl - 2 ·
Ceci établit la convergence normale (donc uniforme) de la série sur B. Comme tous les termes tendent vers 0 lorsque z tend vers +oo, le théorème d'interversion de limites IRD04, 2.4.3.2°] montre que
(-l)n
2to
(z - n)2 lzl-+oo O.Lorsque lzl tend vers +oo (en restant dans B), 1/z2 tend bien sür vers O. Il reste donc à montrer que le premier terme de l'expression (**) tend vers O. Comme lzl tend vers +oo en restant dans B, cela impose à j .JPm zl de tendre aussi vers +oo.
90 CHAPITRE 2 - FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE 2.7
Puisque 1 sin2 (z) I = sin2 (x) + sh 2(y) et 1 cos(z) I = 2(y) + cos2(x) (avec la convention z = x + iy), on en déduit que
1
cos(7rz)1
O.sin2(7rz) zEB, z--++oo
Finalement, on en déduit que ô tend vers 0 lorsque z tend vers +oo dans B.
f) Le théorème de Liouville [CAR, 111.1.2) assure que ô est constante. D'après ce qu'on a vu à la question e, cette constante ne peut être que la constante nulle. Donc ô = 0 et finalement f = g sur C '-Z.
CHAPITRE 3