Par ailleurs, la connaissance des compacts de (.Jff'(U) , ô) permet de montrer, en utilisant le théorème de Riesz (exercice 9 (aou2, p.56)), qu'il n'existe pas de norme sur l'espace vectoriel .Jff'(U) qui définisse la même topologie que ô. L'idée de la dé monstration est claire : si .Jff'(U) était normé, sa boule unité fermée serait compacte et donc .Jff'(U) serait de dimension finie, ce qui est absurde. La difficulté technique vient du sens donné à « borné » (voir l'exercice 14 de [zQ, Ch.V)).
SÉRIES D E FONCTIONS MÉROMORPHES
L'étude d'une série L fn de fonctions méromorphes est similaire à celle des fonc tions holomorphes. On fait cependant une hypothèse supplémentaire pour maîtriser le comportement des pôles : pour tout compact K de U, il existe NK tel que, pour
n � NK , les fn n'ont pas de pôles dans K, et que L fn converge uniformément sur K.
n)NK
Théorème 2.42 Soit
E
fn une série de fonctions méromorphes sur U vérifiant la condition précédente, alors la somme de cette série est méromorphe sur U et on peut dériver la série terme à terme.L'hypothèse permet d'isoler les pôles sur tout compact dans une somme finie et de traiter le reste comme une conséquence du théorème 2.37. On se réfère à [CAR, V.2.1) pour la preuve du théorème et des informations supplémentaires sur les pôles de la somme. L'exercice 2.14 propose un exemple d'utilisation de ce théorème.
2.5 FONCTIONS HARMONIQUES
Les fonctions harmoniques sont les solutions d'une équation aux dérivées par tielles : ce sont les fonctions f qui annulent le laplacien (flf = 0) , voir la défi nition 2.1. Ces fonctions apparaissent donc souvent dans des problèmes physiques. Évoquons par exemple la mesure de l'altitude d'une membrane élastique fixée, ou le potentiel électrostatique dans un domaine sans charge (voir [APP, ex.5.1)).
L'étude détaillée des fonctions harmoniques dans IR.2 est proposée dans [CAR, IV.3) . Nous résumons les principaux résultats et insistons sur le principe du maximum.
2 . 5 . 1 HARMONICITÉ ET HOLOMORPHIE
En dimension 2, les fonctions harmoniques ont un lien très fort avec les fonctions holomorphes, ce qui leur confère de nombreuses propriétés de régularité :
(i) toute fonction holomorphe f est harmonique (P = t,le(f) et Q = �m(f) le sont aussi) ;
( ii) toute fonction harmonique à valeurs réelles dans un ouvert U est dans un voisi nage de chaque point de U la partie réelle d'une fonction holomorphe définie sur ce voisinage.
On renvoie à [CAR, IV.3] pour la preuve du (ii). Pour démontrer (i), il suffit de dériver les équations de Cauchy-Riemann. En effet, reprenons les notations du théorème 2.14. Le caractère <tl00 de f (acquis depuis le théorème 2.25) permet de dériver les équations de Cauchy-Riemann pour obtenir que
a2p a2p
flP = ôx2 + ôy2 = 0 et flQ = O, c'est-à-dire que les fonctions P et Q sont harmoniques.
72 CHAPITRE
2
- FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE 2 . 5 . 2 HARMONICITÉ ET PROPRIÉTÉ D E LA MOYENNE2.5.3
Soit
f
une fonction continue sur un ouvert U de C . On dit quef
possède la propriété de la moyenne si pour tout D(a, r) tel que D(a, r) C U, on af(a)
=fo21f f(a
+ reit) dt.Ceci s'interprète de la manière suivante : la valeur de
f
en a est égale à la « moyenne » des valeurs prises sur un cercle de centre a inclus dans U.La formule de Cauchy pour n = 0 montre qu'une fonction holomorphe vérifie la propriété de la moyenne. On peut en déduire ([CAR, IV.3.3)) qu'une fonction harmo nique vérifie aussi la propriété de la moyenne. Il est remarquable que la réciproque soit vraie : en effet, une fonction qui vérifie la propriété de la moyenne est harmonique donc '6'00 et non seulement continue [CAR, IV.4.5) .
2 . 5 . 3 PRINCIPE DU MAXIMUM
La propriété de la moyenne s'oppose à l'existence de maxima locaux. C'est ce que stipule le théorème 2.43, globalisé en 2.44. Ces théorèmes s'appliquent en particulier aux fonctions holomorphes puisqu'elles vérifient la propriété de la moyenne.
Théorème 2.43 - Principe du maximum (local). Soit
f
une fonction vérifiant la propriété de la moyenne sur un ouvert U de C. SiIf
1 admet un maximum local en a E U, alorsf
est constante dans un voisinage de a.IJ(z)I IJ(z)I
Fig. 2.10 Principe du maximum
En ajoutant des propriétés topologiques à U, on récupère un résultat global. C'est la connexité qui permet le passage du local au global ; la compacité, elle, assure l'existence du maximum.
Théorème 2.44 - Principe du maximum (global). Soit U un ouvert connexe et borné dans C. Soit
f
une fonction continue sur U vérifiant la propriété de la moyenne sur U. Notons M le maximum deIll
sur la frontière (compacte) de U. On a alors- pour tout
z
E U,lf(z)I
� M ;- s'il existe
zo
E U tel quelf(zo)I
= M, alorsf
est constante sur U.Le principe du maximum est un outil puissant permettant d'obtenir des majora tions fines. L'archétype de son application est le lemme de Schwarz [CAR, p.84) : pour une fonction holomorphe sur D{O, R), on se place sur un rayon r < R pour appliquer le principe du maximum, puis on fait tendre r vers R. L'exercice 2. 7 illustre un autre
2.6.2 COMPLÉMENTS 73
type d'utilisation. Enfin, citons deux autres résultats classiques dus à Hadamard et utilisant le principe du maximum : le théorème des trois droites et celui des trois cercles (voir [zQ, Xl.11.3) et l'exercice 8 [CAR, III)).
Contre-exemple 2.45 - Principe du minimum. Il faut cependant noter que la propriété de la moyenne n'empêche pas l'existence de minima locaux. Un contre exemple trivial est f : z 1--+ z sur le disque ouvert D(O, 1) : lfl atteint son minimum en z = O. Le point qui dissymétrise minimum et maximum est le passage au module. Par contre, si f est holomorphe et ne s'annule pas, on peut appliquer le principe du maximum à la fonction holomorphe 1/ f pour obtenir des propriétés de minima lité. Ceci est parfois utilisé lors de raisonnements par l'absurde pour montrer que f
s'annule (voir l'exercice 2.8). •
Pour conclure, remarquons que les principes du maximum ne sont pas confinés aux fonctions de la variable complexe mais qu'il existe des énoncés plus généraux en toute dimension (voir la section 1 .3 et [ZQ, Ch.XI)) .
2.6 COMPLÉMENTS
2 . 6 . 1 L 'ANNEAU DES FONCTIONS HOLOMORPHES
Nous exposons ici des propriétés algébriques de .Yé'(U). Si U est un ouvert connexe, on va montrer que l'anneau .Yé'(U) est intègre, ce qui permet de s'intéresser à son corps de fractions [RDOl, 3.4.2). La proposition suivante établit que c'est l'ensemble des fonctions méromorphes.
Proposition 2.46 Soit U un ouvert connexe de C. Alors .Yé'(U) est un anneau intègre et ./t(U) est son corps des fractions. Ainsi, toute fonction méromorphe sur U est le quotient de deux fonctions holomorphes sur U.
Preuve. Comme C est un anneau, .Yé'(U) est un anneau. Comme U est connexe, .Yé'(U) est intègre. En effet, raisonnons par l'absurde en considérant f,
g
E .Yé'(U) non nulles telles que fg
= O. Comme f etg
ne sont pas nulles, leurs zéros sont isolés. D'après la remarque 2. 10, on sait que l'ensemble des zéros de f (comme ceux deg)
est au plus dénombrable. L'ensemble formé de la réunion des zéros de f et de ceux de
g
(c'est-à-dire l'ensemble des zéros de fg)
est donc au plus dénombrable : ce qui est absurde car il doit être égal à U tout entier.L'écriture d'une fonction holomorphe f sous la forme ( *) de la partie 2.2.2, montre que 1/ f est méromorphe. Le corps des fractions de .Yé'(U) est donc inclus dans ./t(U) . La difficulté est de montrer l'inclusion inverse, c'est-à-dire de montrer qu'une fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions holomorphes sur U. En effet, l'écriture d'une fonction méromorphe
g
sous la forme ( *) montre queg
est localement un quo tient de fonctions holomorphes. Mais, étendre ce résultat sur U tout entier nécessite de « recoller les morceaux » avec un théorème permettant de construire des fonc tions holomorphes dont les zéros et leurs ordres sont donnés. On trouvera l'énoncécorrespondant dans [RUD, 15.1 1). •
D'autres considérations algébriques sur l'anneau .Yé'(U) se trouvent aux exercices 2 et 3 dans [PER, p.60).
74 CHAPITRE 2 - FONCTIONS D'UNE VARIABLE COMPLEXE 2 . 6 . 2 ALGÈBRE D E BANACH COMPLEXE
2.6.3
Plusieurs théorèmes exposés dans ce chapitre sont mis en situation dans le cha pitre 18 de !RuoJ . Le cadre de travail y est plutôt abstrait. Cependant, on peut parti culariser ces résultats avec l'algèbre de Banach 2(E) (des endomorphismes continus d'un C-espace de Banach complexe E) munie de la norme
llTll = sup llTxllE
x;éO llxllE pour T E 2(E) .
Les théorèmes 18.6 et 18.9 de IRUD) traitent du spectre d'un élément de T E 2(E).
Le premier théorème démontre, grâce au théorème de Liouville, que le spectre de
T est non vide. Le deuxième généralise un résultat classique de la dimension finie à propos du rayon spectral de T !CIA, 1-5.2). Il repose sur le théorème 2.27 (voir aussi à ce propos le commentaire de !ROU, ex. 12)). Remarquons que certaines preuves utilisent le théorème de Hahn-Banach pour exhiber des formes linéaires continues non nulles sur E. Dans le cas particulier où E est un espace de Hilbert, ceci n'est pas nécessaire (voir la partie 3.1 .3) : les preuves sont alors plus faciles et plus conformes au programme de l'agrégation. Ceci constituait d'ailleurs la partie 3 de l'épreuve d'analyse de 1999.
2 . 6 . 3 DÉTERMINATIONS
Sur C, l'exponentielle complexe exp n'est pas injective puisqu'elle est 2i7r-périodi que (voir le prologue de !Run)) . Lorsqu'on restreint l'exponentielle à un ouvert V sur lequel elle est injective, la proposition 2.23 montre que exp réalise un difféomorphisme holomorphe de V sur U = exp(V). Que peut-on dire quand l'injectivité sur V fait défaut ? Peut-on définir sur U un inverse à droite ? Quelle régularité peut-on exiger sur cet « inverse » ? Notez que la question de l'inverse à gauche est triviale car si l'exponentielle admet un inverse f à gauche, elle est injective sur V (puisqu'alors f o exp = id).
Dans toute cette sous-section, U désigne un ouvert de C qui, sauf mention explicite du contraire, ne contient pas O. Une application f : U f-+ C est appelée une détermi nation du logarithme sur U si exp o f = id. De manière analogue, une détermination de l'argument est une fonction A : U � IR telle que
V z E U, z = lzl exp(iA(z))
et une détermination de la racine m-ième (m ;;:: 2) sur U est une fonction g telle que gm = id.
Les propriétés des nombres complexes entraînent l'existence des déterminations des fonctions précédentes. Cependant, exiger une régularité (comme la continuité ou l'holomorphie) de la détermination complique grandement le problème. Illustrons le phénomène avec le logarithme. Deux questions se posent :
(i) Existe-t-il une détermination continue du logarithme sur U ?
( ii) Comment diffèrent deux déterminations continues du logarithme ?
Les réponses dépendent de la nature topologique de U. Nous répondons ci-dessous à la question (ii) puis étudions plusieurs points avant d'arriver à une réponse pour (i)
à la proposition 2.47. Enfin, on termine en résumant les propriétés analogues pour la racine m-ième.
2.6.3 COMPLÉMENTS 75
UNICITÉ ?
La question ( ii) admet une réponse simple si U est un ouvert connexe : deux déterminations continues du logarithme diffèrent alors d'un multiple entier de 2i71'. Pour voir ceci, considérons f et g deux déterminations continues du logarithme, et montrons qu'il existe k E Z tel que pour tout z E U, f(z) - g(z) = 2ik11'. Par défini tion, on a exp(!) = exp(g) = id. On en déduit que exp(! - g) = 1 et donc que f -g est à valeurs dans l'espace discret 2i71'Z. Comme la fonction f -g est continue sur le connexe U, elle ne peut être que constante, ce qui termine la démonstration. Re marquons enfin que si U n'est plus connexe, l'entier k peut varier d'une composante connexe à l'autre.
DÉTERMINATION ANALYTIQUE
Montrons que s'il existe une détermination continue du logarithme, elle est en fait analytique en commençant par étudier le cas du disque D(l, 1) puis en transportant la situation du point 1 en tout point de U.
On sait que la fonction logarithme (d'une variable réelle) admet un développement en série entière : +oo xn 'v'x E ] -1 , 1 ( , ln (l + x) = l:: (-1r-1 - , n=l n ce qui se réécrit 'v'x E ] 0 , 2 [ , ln x = E (-l)n-1 (x - 1r . n=l n Définissons sur D(l, 1) la fonction analytique f par
J(z) = n=l E (-l)n-1 (z -n l)n
Ainsi exp of est analytique sur D(l, 1) et coïncide avec l'identité sur l'intervalle J 0 , 2 [.
Comme D(l, 1) est connexe, selon le principe du prolongement analytique, on a exp of = id sur D(l, 1) tout entier. Ceci signifie que f est une détermination ana lytique du logarithme sur D(l, 1). Connaissant une détermination continue, on en déduit toutes les autres : les déterminations continues du logarithme sur D(l, 1) sont les fk définis par
+oo (z - lr
z 1---+ fk (z) = 2ik11' + 2:: (-l)n-l , aveck E Z.
n=l n
Soit maintenant <p une détermination continue du logarithme sur un ouvert U.
Montrons que <p est analytique sur U. Soit a E U ; on considère sur D( a, lai) la fonction
+00 (z/a - 1r
'ljJ : z 1-+ cp(a) + n=l L (-l)n-1 n
Par construction, 'ljJ est analytique sur D(a, lai). On a alors pour z E D(a, lai) exp('ljJ(z)) = exp(cp(a)) exp
(
!(�))
a�
= z.Ainsi, 'ljJ et <p sont deux déterminations conti nues du logarithme dans un voisinage de a. En se restreignant éventuellement à un disque ouvert D (c'est-à-dire un ouvert connexe) de centre a inclus dans D(a, lai) n U, on obtient que <p et 'ljJ diffèrent sur D d'un multiple entier de 2i71'. Comme cp(a) = 'ljJ(a), on obtient que <p = 'ljJ sur D. La fonction <p coïncide donc avec une fonction analytique au voisinage de tout point de U. Elle est donc analytique sur U.