f(x) ;::: À2n llxll2 - llbll llxll - Livre Mathématiques objectif agrégation pdf

et donc, comme

Àn

> 0,

f

est coercive.

Montrons à présent que

f

est strictement convexe. Comme

u

est symétrique défini positif, l'application

x

1--+

(u

(

x)

est le carré d'une norme euclidienne. D'après l'exemple 1.67, c'est donc une application strictement convexe. La fonction

f

est ainsi la. somme d'une fonction strictement convexe et d'une fonction affine (donc convexe), donc elle est strictement convexe.

Terminons avec le calcul de

x*.

Comme composée de fonctions <ef'00,

f

est de classe <-(/00 sur E. D'après les exemples 1 . 1 et 1.2, on calcule

1 1

f

(

x⁾

h

= 2

(u(h), x)

+ 2

(u(x), h)

(b, ^h).

En utilisant la symétrie de

u

et celle du produit scalaire, on obtient : d

f

(

x⁾

h

(u(x)

b, ^h).

Si le minimum est atteint en

x*,

alors d

f (x*)

O.

On trouve finalement

x*

-u-1(b).

Exercice 1.3 - Application du lemme d ' H adamard. Que peut-on dire du sous ensemble 1 de <ef'00 (R) formé des fonctions qui s'annulent en 0 ?

Commentaires. L'idée est de copier ce qui se passe pour le problème équivalent dans R[X] . Montrons que 1 est un idéal maximal et principal.

Corrigé. Considérons le morphisme d'algèbres

lp :

{

<ef'OO (R) ---+ R

f

�

f(O).

1 est le noyau de cp ; c'est donc un idéal. Par ailleurs, cp est notamment une forme linéaire (non nulle) : 1 est un hyperplan et donc il est maximal. De plus, le lemme d'Hadamard (voir l'application 1 .61) montre que si

f E

1, il existe cp

E

<ef'00 (R) tel que

f(x)

x

cp(

x)

pour tout

x E R

Autrement dit, 1 est engendré par la fonction

x

1--+

x.

Ainsi, 1 est principal.

Exercice 1 .4 - Lemme de M ilnor.

Soient K un compact de Rn, U un ou vert de Rn et n un ouvert convexe borné vérifiant

K c n c n c u.

Considérons une fonction v : U --+ R

n

de classe <ef'00, et posons Vt = id + t v,

34 CHAPITRE 1 - CALCUL DIFFÉRENTIEL 1 .6

a) Montrer qu'il existe a E lR. tel que pour tout itl < a et tout x E 0, dvt (x) est inversible.

b) Montrer que pour tout ltl < a, Vt réalise un 'ef00-difféomorphisme de n sur son image.

c) Dans cette question µ désigne la mesure de Lebesgue. Montrer que t 1-+ µ(vt (O))

est une fonction polynomiale sur ] -a , a [.

Commentaires. Le résultat peut s'interpréter ainsi : une perturbation de l'identité par un « petit » champ de vecteurs 'ef00 reste un 'ef00-difféomorphisme, et l'on dispose en plus d'un « contrôle du volume de l'image » . Ce résultat s'appelle le lemme de Milnor et il est à la base d'une démonstration du théorème de Brouwer.

A première vue, ce lemme n'est pas attirant avec ses hypothèses assez lourdes. C'est en fait un très bon exercice, car il permet de manipuler tous les outils du calcul différentiel (théorème d'inversion locale, inégalité des accroissements finis, change ment de variables ... ). De plus, les hypothèses s'avèrent être toutes très naturelles pour appliquer ces outils. C'est un jeu instructif de décortiquer la preuve pour voir comment ces hypothèses interviennent.

Corrigé.

a) Cette question est facile si l'on se souvient que id +

f

est inversible dès que l'en domorphisme

f

est de norme strictement inférieure à 1 (voir la proposition 2 de (GOU2, 1.5.2)).

On commence par noter que x i-+ dv( x) est continue sur U (puisque v E 'ef00 (U)). Par ailleurs, 0 est compacte car fermée et bornée en dimension finie. Il existe donc M > 0 tel que

lldv(x) ll � M pour tout X E 0.

Posons a = 1/M. On a ainsi lltdv(x) ll < 1 pour tout ltl < a et tout X E n.

Finalement, pour tout ltl < a et tout x E 0, la différentielle dvt (x) = Id + tdv(x) est inversible.

b) Appliquons le théorème d'inversion globale (théorème 1 .30). La différentielle en tout point étant inversible (question a) , il ne reste qu'à montrer l'injectivité de Vt sur n.

Soient x, y E n tels que Vt (X) = Vt (y), ce que l'on réécrit x - y = t(v(y) - v(x)).

On applique alors l'inégalité des accroissements finis à v sur le convexe n entre les points X et y. Comme lldv(z) ll � M pour tout z E n, on obtient

llx - yll = ltl llv(y) - v(x) ll � ltl M llx - yll .

Or ltlM < 1, donc llx - yll = 0 c'est-à-dire x = y. On conclut que Vt est injectif. c) Le principe est d'écrire le volume sous forme d'une intégrale et de faire un chan

gement de variable pour se ramener à un domaine fixe.

D'après la question b, on peut appliquer le théorème 1.18 pour obtenir µ (vt (O)) =

1

1 dµ =

1

<let (dvt (x))

1

dµ(x).

v,(n)

Fixons X E n. Comme dvt (X) = id + tdv(x) , la fonction t 1-+ <let (dvt (x)) est poly nomiale sur J -a , a [ de degré inférieur ou égal à n. De plus, la fonction continue (x, t) 1-+ det(dvt (x)) ne s'annule pas sur le connexe ) -a , a [ x n puisque dvt (x)

1 .6 EXERCICES CORRIGÉS 35

est inversible. Son image est donc un connexe de lR ne rencontrant pas

O.

Autre ment dit, det(dvt (x)) garde un signe constant sur ] -a , a [ x n. Appelons-le e.

Finalement, la fonction

t

1-+ µ (vt (O)) = e

ln

<let (dvt (x)) dµ(x)

s'obtient sur J -a , a [ en intégrant sur n chacun des n + 1 coefficients de la fonc tion polynomiale

t

1-+ e <let ( dvt ( x)) . Elle est donc aussi polynomiale, et de degré inférieur ou égal à n.

Exercice 1 .5 - Caractérisation de SOn(R.) . Montrer que SOn (lR) est exactement l'ensemble des matrices de SLn(lR) qui minimisent la norme euclidienne canonique de Mn(lR) c'est-à-dire

llMll = L m

i

l =

l�i,j�n

Commentaires. Cet exercice met en situation le théorème 1 .46 des multiplicateurs de Lagrange. La question se reformule en effet de la manière suivante : montrer que

SOn (lR) =

{M E Mn(lR),

llMll2 = inf llPll2 _PESLn(IR)

}·

Il s'agit d'un problème de minimisation de la norme sous la contrainte M E SL

n

(lR) . Remarquons qu'il revient au même de minimiser la norme ou son carré. L'intérêt de considérer la fonction-objectif

f:

M 1-+ llMll2 (au lieu de simplement

f:

M 1-+ ll Mll ) est que cette application est partout différentiable (et en plus sa différentielle est très simple à calculer). Comme SLn (lR) n'est pas ouvert, il n'est pas question d'utiliser le lemme 1 .34. Par contre, cette contrainte s'exprime sous la forme g(M) = 0 avec g : M 1-+ det(M) -1, qui est différentiable (voir l'application 1 .3).

Corrigé. SLn(lR) est un fermé de

Mn(lR)

comme image réciproque de

{O}

par l'application continue g. De plus,

f

est clairement continue et coercive. La borne inférieure est donc atteinte (d'après l'exercice 1.1). On veut montrer que l'ensemble des points réalisant le minimum est SOn (lR). Raisonnons par double inclusion.

Soit M une matrice réalisant le minimum. Le théorème 1.46 nous dit qu'il existe

À E

lR tel que V'

f

(M) =

À

V' g(M). En exprimant chacun des deux gradients sous forme matricielle (voir [ROU, ex.25]), on obtient l'égalité : 2M = ÀM où M désigne la comatrice de la matrice M. Comme det(M) = 1, la relation classique

t - t

-M -M = -M -M = det(-M) Id

nous donne ici tM_1 = M. On en déduit alors tM M = à/2Id. En calculant la trace des deux membres, on déduit que

À

O.

Puis en calculant le déterminant, on obtient

Àn

= 2n puisque det(M) = 1 . Finalement,

À

= 2 et tM M = Id. Cette dernière égalité signifie que M E On(lR) . Comme det(M) = 1, cela signifie que M

E

n

(lR) . Les points réalisant le minimum se situent donc dans SOn(lR) .

Réciproquement, soit

M E

SOn(lR) . On a tM M = Id. Donc

llMll 2 = tr ( tMM) = tr Id = n.

La fonction

f

est donc constante sur SOn (lR). Comme

f

atteint son minimum en au moins un point de SOn(lR) , tous les points de SOn(lR) réalisent le minimum.

36 CHAPITRE 1 - CALCUL DIFFÉRENTIEL 1 .6 Exercice 1 . 6 - Application ouverte.

a) Soient X, Y deux espaces topologiques et f une application de X dans Y telle que pour tout x E X, il existe un voisinage ouvert Ux de x tel que fi : Ux _u., -Y est ouverte. Montrer que f est ouverte.

b) Soient U un ouvert de

!Rn

et f : U -

!Rn

une application de classe

CC1

telle que df(x) est inversible pour tout x E U. Montrer que f est ouverte.

Corrigé.

a) Il s'agit de montrer que si U est un ouvert de X, alors f(U) est un ouvert de Y. Écrivons

On a alors

X = LJ Ux et U = U (U n Ux) ·

xEX xEX

f (U) = LJ f (U n Ux) = LJ flu (U n Ux) · xEX xEX "'

Comme U est un ouvert de X, l'intersection U n Ux est un ouvert de Ux . Ainsi f (U n Ux) est un ouvert de Y. L'ensemble f (U) est donc un ouvert de Y comme réunion d'ouverts de Y.

b) Pour appliquer la question a , on cherche pour x E U un voisinage ouvert Ux sur lequel la restriction de f est ouverte. Appliqué au point x, le théorème d'inver sion locale donne des voisinages ouverts Ux de x et Vf(x) de f(x) entre lesquels f réalise un difféomorphisme local. Or un difféomorphisme est en particulier un homéomorphisme, donc la restriction de f à chacun des ouverts Ux est une appli cation ouverte de Ux sur Vf(x) · Comme Vf(x) est un ouvert de

!Rn,

l'application fi : Ux _u., -

!Rn

est ouverte aussi. On conclut que l'application f : U -

!Rn

est

ou-verte, d'après la question a .

Exercice 1 . 7 - Une équation a u x dérivées partielles. Soient

a

u0

deux fonctions de classe

CC1

(IR, IR). On suppose que

Uo

uo'

sont bornées et on pose c =

aouo

CC1.

On considère le problème suivant : trouver T > 0 et une fonction (

t

, x) 1--+

u

(

t

, x) de classe

CC1

sur 1 -T ' T [ X IR vérifiant

{ ^âu

a( u) âu

= 0

(9"')

ât â

\;/ x E IR,

u(O,

x) =

uo

(x).

a) Soient

u

une solution de (9"'), x dans IR et

y

la solution du problème de Cauchy

{ ^y'(t)

a(u(t, y(t)))

y(O)

= x.

Montrer que

t

1--+

u(t, y(t))

est constante. En déduire que

y(t)

= x +

t

c(x).

b) Montrer que c' est une fonction bornée. Soit M = sup le'

1

< +oo. Si M = 0, posons T = +oo et T = M-

1

sinon.

c) Montrer qu'il existe une fonction cp de classe

CC1

sur ] -T ' T [ X IR à valeurs dans IR telle que

\lt

E ] -T , T [ , \l x E IR, cp(O, x) = x et

u(t,

x) =

u0 o

cp(

t,

x).

1.6 EXERCICES CORRIGÉS 37

e) On suppose que

uo

est à support compact. Montrer que, pour tout

t E

]

O ,

[

l'application

x

�

u(t, x)

est à support compact, puis que l'application

e :

t � lu(t, x) dx

est constante.

Commentaires. L'objet de cet exercice est de montrer à l'aide des outils du calcul différentiel l'existence et l'unicité de la solution d'une équation aux dérivées partielles d'un type particulier. Cette équation est appelée loi de conservation (le nom vient de la propriété de la question e) . On va démontrer que la solution est obtenue en « translatant » les données initiales

x

�

u(O, x)

le long de droites de pentes

c(x).

La figure 1.11 montre ces droites dites caractéristiques : un point singulier apparaît lorsque deux caractéristiques se rencontrent. Cette équation aux dérivées partielles régit des phénomènes physiques d'évolution. Ainsi, dans la pratique, seuls les temps positifs

(t

� 0) ont un sens physique. Par ailleurs, lorsque d est positif, on peut raffiner le raisonnement et définir la solution sur ] -T

,

+oo

[

x IR.

Corrigé.

x

xo+c(xo)t

z = u(t,x)

Fig. 1 . 1 1 Solution de l'équation de conservation, avec les lignes caractéristiques

a) Calculons la dérivée de la fonction

t

�

u(t, y(t))

(de classe

'6'1)

âu âu

dtu(t,y(t))

= =

(ât (t, y(t)) + âx(t, y(t)) y'(t) âu ât + a(u) âx (t, y(t)) âu)

=0.

La fonction

t

�

u(t, y(t))

est donc constante. On en déduit alors que

y'

est constante (égale à

y'(O)).

Ainsi,

y(t)

y(O) + ty'(O)

x + t (a

uo(x)).

b) En dérivant

c,

on obtient

c'(x)

uo'(x) a'

uo(x)

pour tout

x E IR.

Comme la fonction

u0

est bornée, il existe B

E IR

+ tel que

uo(IR)

[

-B , B ] . On a alors

a'

u0(IR)

a'([

-B , B ]). Or

[

-B , B ] est compact et

a'

est continue, donc

a'

u0(IR)

est contenu dans un compact c'est-à-dire que la fonction

a'

uo

est bornée. Comme

u0'

est aussi bornée, la fonction d est bornée.

38 CHAPITRE 1 - CALCUL DIFFÉRENTIEL 1 .6

c) D'après la question a ,

t

1--+

u(t, x+t c(x))

est constante. Sa valeur en 0 est

uo(x).

On a donc

u(t, x + t c(x))

uo(x),

pour tout

t.

L'idée est alors d'exprimer

x

cp(t,

y) en fonction de y =

x + t c( x)

(et de

t).

On pense donc au théorème des fonctions implicites ou au théorème d'inversion locale. Cependant, on a ici besoin d'un résul tat global. Il faut donc vérifier que l'on est en mesure d'appliquer le théorème 1 .30

d'inversion globale.

Considérons l'application de classe C6'1

{ JR2

---t

IR.2

F ·

(t, x)

i---+

(t,

y =

x + tc(x)).

L a matrice jacobienne de F au point

( t, x)

est

[c(�)

1 +

t0c1(x)]'

et donc det ( dF(t,

x))

= 1

+ t c'(x).

Pour

(t, x)

E ] -T , T [ x IR, on a

ltc'(x)I

�

ltlM

< 1 . Ainsi dF

(t

x)

est inversible pour

(t, x)

E ] -T , T [ x IR.

Pour appliquer le théorème d'inversion globale, il reste à montrer l'injectivité de F. Considérons

(t

1 ,

xi)

(t2, x2)

tels que

F(ti, xi)

F(t2, x2).

On a alors

d'où

_{x2 - xi}

₌

_{t(-c(x2) + c(x1))}

₌

_{t - c'(x)dx.}1X2

X1

On en déduit que

Comme 0 �

ltlM

< 1 , on obtient

X

1 =

X2

et F est injective.

Le théorème 1 .30 montre qu'il existe une fonction

G

de classe C6'1 telle que

{G o F(t, x)

(t, x),

o G(t,

y) =

(t,

y) ,

pour tout

(t, x)

E ] -T , T [ x IR,

pour tout

( t,

y) E F ( ] -T , T [ x lR) .

En particulier, la fonction

G

est de la forme

(t,

i--+ (t, cp(t,

y)) . Montrons que F(] -T , T [ x IR) = ] -T , T [ x R Il suffit de vérifier que lR est l'image de l'appli cation

1/Jt : x i--+ x + tc(x).

On a

1/Jt'(x)

= 1 +

tc'(x)

> 0, pour tout

x

E R Ainsi, la fonction

1/Jt

est strictement croissante et vérifie

On en déduit que

Vx

E IR,

11/Jt(x) - 1/Jt(O)I

� (1

- ltl M)lxl.

11/Jt(x)I

� (1

- ltl M)lxl - 11/Jt(O)I,

et donc que

11/Jt(x)I

tend vers +oo, lorsque

lxl

tend vers +oo. De plus, comme

1/Jt

est croissante, elle admet des limites en +oo et -oo. Ainsi, on a nécessairement

1/Jt (X)

---t _x-++oo +OO et

1/Jt(X)

---t -00 . _x-+-oo La fonction

1/Jt

est donc un C6'1-difféomorphisme de lR sur lR et donc

(

] -T, T [ x IR) = ] -T , T [ x lR .

1.6 EXERCICES CORRIGÉS 39

À la question a, on a démontré que

u o F(t, x) = uo(x)

pour tout

(t, x).

Ainsi en composant à gauche par

G,

on obtient

u(t, x) = uo(<p(t, x)) .

Enfin, comme

F(O, x) = (O, x),

on a

G(O, x) = G (F(O, x)) = (O, x)

<p(O, x) = x.

d) La fonction

<p

ne dépend que de

uo

a.

L'expression

u = uo o <p

montre ainsi l'unicité d'une éventuelle solution de f!lJ. Il reste à vérifier que la fonction

u

ainsi définie est bien une solution de f!lJ. Pour cela, on utilise la relation qui « définit »

<p :

On a

<p(t, x + t c(x)) = x.

ÔU

Ô<p

- = (uo o <p) _ât _ât

ÔU _{- = (uo o <p)}

Ô<p

âx âx

Par ailleurs,

a(u) = a(uo(<p)) = c o <p,

d'où

âu _{ât + a( u) âx = ( uo}âu , (Ô<p Ô<p)

<p) ât + c

'P âx

En dérivant la deuxième relation

(

*) par rapport à

t,

on obtient

�� (F(t, x)) + c(x) �: (F(t, x)) = 0,

c'est-à-dire, en composant par

G,

Ô<p Ô<p

at(t, y) + c(<p(t, y)) âx (t, y) = O.

L'expression

(

* *) est donc nulle :

âu âu

ât + a(u)âx = 0

u(O, x) = uo(<p(O, x)) = uo(x).

e) Il existe A tel que

uo(x) = 0

!xi

> A. La fonction

<p(t,

· ) est un difféomor phisme croissant de lR sur lui-même : c'est l'inverse de 1/Jt · Il existe donc A' (dé pendant de

t

< T) tel que

l'P(t, x)I

> A pour

lxl

> A'. Dans ce cas, comme

u(t, x) = uo(<p(t, x)),

on a

u(t, x) = 0

lxl

> A', donc

x

t-t

u(t, x)

est bien à support compact. L'application 8 est ainsi bien définie. Montrons qu'elle est de classe �1 et qu'on peut dériver sous le signe intégral.

Vérifions les trois hypothèses nécessaires à l'application du théorème de dériva tion sous l'intégrale de lzQ, Ch.1.3.IX] . La seule hypothèse délicate à vérifier est la domination de la dérivée, puisqu'il faut contrôler la variation (avec

t)

du support de

x

t-t

uo'(<p(t, x)).

- Pour tout

t E JR,

la fonction

x

t-t

u( t, x)

est mesurable puisque

u

est continue. - Pour tout

x E JR,

la fonction

t

t-t

u( t, x)

est de classe �1 .

- Il reste à montrer que la dérivée

�;

est majorée par une fonction intégrable indépendamment de

t

(variant dans un compact fixé) .

Plus précisément, pour

a E 10

, T

1,

montrons qu'il existe deux constantes stric tement positives C et D (indépendantes de

t)

telles que pour tout

t E 1 -a , a]

et tout

x E

40 CHAPITRE

1

- CALCUL DIFFÉRENTIEL

En dérivant la relation

(

*) par rapport à

t,

on obtient

âcp _{ât (t, x + tc(x)) = 1 + tc'(x)"}-c(x)

D'où, en composant par

G,

âcp t x = -c(cp(t,x)) _{ât ( ' ) 1 + tc'(cp(t, x))}

· Comme

u0

est bornée, on en déduit que

c

l'est aussi et donc

1 âcp _{ât (t,x) ::::; 1 -aM}1

sup

Ici

< +oo. Ainsi, on a l'inégalité

1 âu 1

sup

Ic

i ,

ât (t, x) ::::; 1 -aM luo (cp(t, x))I.

Par ailleurs, comme

cp(t,

·) est le difféomorphisme inverse de

1/Jt,

on a

âcp 1

âx (t, x) =

+ tc'('l/Jt(x)) '

d'où

1�:(t,x)l � 1 +laM·

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f(x) ;::: À2n llxll2 - llbll llxll

Àn

f

f

u

x

(u

x)

x)

f

x*.

f

f

x)

h

(u(h), x)

(u(x), h)

(b, h).

u

f

x)

h

(u(x)

b, h).

x*,

f (x*)

O.

x*

-u-1(b).

{

f

f(O).

f E

E

f(x)

x

x)

x E R

x

x.

n

f

f

1

1

1

O.

t

ln

t

i

l�i,j�n

{M E Mn(lR),

}·

n

f:

f:

Mn(lR)

{O}

f

À E

f

À

À

O.

Àn

À

E

n

M E

f

f

!Rn

!Rn

CC1

!Rn,

!Rn

!Rn

a

u0

x⁾

(b, ^h).

x⁾

b, ^h).

{ ^âu

{ ^y'(t)