EXERCICES CORRIGÉS 137

Exercice 3.4 - Séries de Fourier et convolution. Soit f E L2('ll'). Que peut-on dire de la série 'L:, Ck (f)2ek (x) ?

kEZ

Commentaires. Cet exercice mélange les notions de séries de Fourier et de convo­ lution. L'argument clé est le théorème 3.71 qui lie ces deux notions.

Corrigé. Dans l'espace de Hilbert L2('ll') (dont on note li · li la norme), on applique l'égalité de Parseval (voir la sous-section 3.3.1) à un élément f E L2('ll') :

E ick (f) l2 = 111112 < +OO. kEZ

La série de fonctions E Ck (!)2ek converge donc normalement sur .IR. La remarque 3. 79 montre alors que la somme g de cette série définit un élément de 'if ('JI') dont les coefficients de Fourier vérifient Ck (g) = Ck (/)2.

Le théorème 3.56 (adapté au tore 'JI' = .IR./27rZ) montre que la fonction f * f, convo­ lée de deux fonctions de L2('ll'), est donc une fonction continue sur 'JI'. Par ailleurs, le théorème de convolution 3.71 affirme que ck (f * !) = ck (/)2 • On obtient donc

Ck (g) = Ck (! * !) . L'injectivité de F (voir le théorème 3. 71) assure alors que g = f * f

pour presque tout x E 'JI'. Comme ces deux fonctions sont continues, on en déduit que

f * f = g. La série

E ck (f)2ek (x) kEZ

converge donc normalement sur .IR vers f * f(x).

Exercice 3.5 - Convergence simple d'une série de Fourier. Soit f un élément de L1 ('ll'). On suppose que, pour presque tout t dans JR,

SN (/) (t) _N-++oo O. Montrer que les coefficients de Fourier en(!) sont nuls.

Commentaires. Cet exercice utilise les moyennes de Cesàro pour exploiter l'hypo­ thèse sur les sommes partielles SN(/).

Corrigé. La suite (SN (/) (t))N converge (au sens classique) vers 0, donc elle converge au sens de Cesàro vers O. Ainsi, la suite (oN (f)(t))N qui est la suite des moyennes de Cesàro de (SN(/)(t))N converge aussi vers 0 pour presque tout t E .IR.

Par ailleurs, d'après le théorème de Fejér 3.75, O'N (/) tend vers f dans L1 ('ll'). De plus, un résultat de la théorie de la mesure (voir le théorème 3.12 de [Run]) affirme que l'on peut extraire de O'N (/) une sous-suite qui converge presque partout vers f.

On en déduit que la fonction f est nulle presque partout et que ses coefficients de Fourier en(!) sont tous nuls.

Exercice 3.6 - Théorème ergodique de Von Neumann. Soient (H, (-, ·)) un espace de Hilbert, T un endomorphisme de H continu, de norme llTll :::; 1. Notons T ⁿ la moyenne des premiers itérés successifs de T :

1 ⁿ Tn = --1 l: Tk .

n + k=O

L'objectif de cet exercice est de montrer que :

'i x E H, Tn(x) _______.. _n--++oo p(x),

138 CHAPITRE 3 - ANALYSE FONCTIONNELLE

a) Montrer les équivalences, pour x E H,

Tx = x � (Tx, x) = llxll2 � (x, Tx) = llxll2• b) Montrer que Ker (1 - T) = Ker (1 - T) * . En déduire que

Vx E Ker (1 - T)*, Tn(x) ---t _n-+oo p(x) = x. c) Pour x E lm (1 - T), montrer que Tn(x) ----+ O.

n-++oo

d) En déduire que Tn(x) ---t _n-+oo 0 lorsque x E lm (1 - T).

e) Démontrer le résultat annoncé.

3.4

f) Soit H = L2(T) muni de son produit scalaire canonique (voir la section 3.3).

Posons a <!. 2nQ, montrer que, pour tout f E H,

1 n-1 H 1

1

2.,,.

- l: f( -+ ka) � -2 f(x) dx .

n k=O 7r 0

Commentaires. Nous proposons ici une preuve qui utilise une décomposition de H en somme directe orthogonale. On en trouve une autre démonstration utilisant des arguments d'optimisation dans [WIL, 4.47J. Si H = JR.3 et T est une rotation d'angle irrationnel, alors on peut visualiser le théorème (dessin ci-contre) .

Attention, ce théorème ergodique de Von Neumann établit la convergence de la suite (Tn(x))nElll vers p(x) pour tout x E H, mais ceci n'entraîne pas la convergence de la suite d'opéra­ teurs (Tn)nEN vers p. En effet, la convergence établie est une conver­ gence simple, alors que la convergence de Tn vers p dans l'espace des endo­ morphismes continu de H serait une convergence uniforme sur la sphère unité (d'après la définition de la norme d'une application linéaire continue).

Corrigé.

a) Comme (x, T(x)) = (T(x), x) , on a l'équivalence

Ker (T-ld)

Ker (T- ld)J.

(T(x), x) = llxll2 � (x, T(x)) = llxll2.

Par ailleurs, si T(x) = x, alors (T(x), x) = llxll2. Il reste à montrer que si (T(x ), x) = llxll2 alors Tx = x. On utilise pour cela le cas d'égalité dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz (voir la sous-section 3.1.1). Pour x = 0, on a T(x) = x = 0 ; supposons à présent que x '# O. Comme llTll � 1, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne

(T(x), x) � llT(x) ll llxll � llxll2•

L'hypothèse assure que le membre de droite et celui de gauche sont égaux. Ainsi, on a égalité dans l'inégalité dans Cauchy-Schwarz et donc il existe À E IR.+ tel que T(x) = Àx. Par suite (Ax, x) = (T(x), x) et donc Allxll2 = llxll2• Comme x '# 0,

3.4 EXERCICES CORRIGÉS 139

b) Comme llTll = llT* ll � 1, on peut appliquer le résultat de la question a à T puis à T* pour obtenir

T(x) = x <===> (x, T(x)} = llxll2 ^{et T* (x)} = x <===> (T* (x), x} = llxll2•

Par définition de l'adjoint, on a (T*x, x} = (x, Tx}, ce qui implique x E Ker (1 - T)* <===> x E Ker (1 - T).

On obtient donc Ker (1 - T)* = Ker (1 - T). On en déduit que Tk(x) = x pour tout x E Ker (1 - T)* et tout k E N. Ainsi, Tn(x) = x = p(x) pour tout n, ce qui donne le résultat souhaité.

c) Soit x E lm (1 - T) ; il existe y E H tel que (1 - T)(y) = x. On a alors

1 n ₁

Tn(x) = -_{n + 1} L (Tk(y) - Tk+l (y)) = - (y - Tn+l (y)).

k=O ^{n + 1}

Ceci implique _{llTn(x) ll} � _{1 (llyll + llTn+l (y) ll),}

et, puisque llTll � 1,

On en déduit que Tn(x) ---+_n-+oo O.

d) Soit e > O. Considérons x E lm (1 - T) et y E lm (1 - T) tel que llx - Yll � e.

On écrit alors

llTn(x) ll � llTn(x) - Tn(Y) ll + llTn(Y) ll . Comme llTll � 1, on a llTn ll � 1. Ainsi

llTn(x) ll � llTn ll llx - yll + llTn(Y) ll � ê + llTn(Y) ll .

Comme y E lm (1 - T), la question c assure que Tn(Y) ---+ O. On passe _n-+oo à la

limite supérieure dans ( *) pour obtenir

lim sup llTn(x) ll n-++oo � e.

On peut conclure Tn(x) ---+ O. _n-+oo

e) D'après l'application 3.32 et la question b, l'espace

H

se décompose en

.l .l

H

= Ker (1 - T)* $ lm (1 - T) = Ker (1 T) $ lm

-Tout élément z de

H

se décompose donc de façon unique en z = x + y avec x E Ker (1 - T) et y E lm (1 - T). Comme Tn(z) = Tn(x) + Tn(Y), les questions b et d montrent que Tn(z) ---+ _n-+oo x = p(z).

f) Considérons l'endomorphisme de

H

= L2(1l')

{H-H

T · .

f .__ (x f-t f(x + a)) .

L'endomorphisme T est continu de norme 1. En fait, c'est même une isométrie :

14

0

CHAPITRE 3 - ANALYSE FONCTIONNELLE 3.4

On peut donc utiliser le théorème ergodique de Von Neumann (question e). Pour cela on cherche alors le noyau de

1

-T. Montrons que Ker

(1

-T) est exactement l'ensemble des fonctions constantes de H.

Notons g = T(!) = /( · +a). Grâce à un changement de variables, on vérifie que,

V n E N, Cn(g) = e-in01en(!).

Par ailleurs, si

f

E Ker

(1

-T), on a g =

f

(dans

L2(T))

et donc V n E N, en (g) = Cn(/).

Comme a <f. 27rQ, on a

e-ina

=f. 1 pour n =f. O. Finalement, on a l'équivalence

f

E Ker (I - T) � V n E N* , en

(

!

)

= O.

Par ailleurs, le théorème 3. 71 assure que

V n E N* , en

(

!

)

=

0

�

f

est constante. Le théorème de Von Neumann affirme donc que

1 n-1

x i--+

-I.:

f(x

+ ka)

n k=O

converge dans H vers la projection de

f

sur l'espace des fonctions constantes c'est-à-dire vers

1

(1 , /)1 = co(!) = 211"

f(x) dx.

Exercice 3. 7 - Densité des polynômes orthogonaux. Soient

1

un intervalle de lR et

p

une fonction poids. On suppose qu'il existe un réel a >

0

tel que

leOllxl p(x)dx < +oo.

(*)

Il s'agit de montrer que les polynômes orthogonaux associés à

p

forment une base hilbertienne de

L2(1,p).

a) Dans cette question,

p

est une fonction de poids quelconque. Supposons que 'i:>our tout n E N,

x

1--+

x

n E

L1(1,p).

Montrer que pour tout p E [ 1 ,

+oo

[ et tout n E N,

x

1--+

x

n E

LP(l,p). _,

..

b) Dans la suite on suppose que _{Montrer que la fonction}

_<p

_{définie par}

p

vérifie (*) et l'on considère une fonction

f

E

L2(1, p).

V x E IR,

<p(x)

=

{f(x)0p(x)

si x E sinon, 1,

est une fonction de

L

1

(

JR

).

On peut donc considérer sa transformée de Fou­ rier c'est-à-dire pour w E lR

cp(w) =

1 f(x)e-iwxp(x) dx.

Montrer que cp se prolonge en une fonction F ho­ lomorphe sur

Ba = {z E C, 1 J1m zl

<

a/2}.

a/2

3.4 EXERCICES CORRIGÉS

c) On note

9n(x) = xn.

Calculer

p(n)(O)

et en déduire que si 'v' n E N,

(f,gn)1 = if(x)xnp(x)dx = O,

alors

f(x) =

0 dans L2(1, p). Conclure.

d) On considère, sur 1

=

] 0

,

+oo [, la fonction de poids

w(x) = x-ln(x)

141

Montrer que les polynômes orthogonaux pour le poids

w

ne forment pas une base hilbertienne de L2(1,

w).

On pourra considérer la fonction

\ix

E 1,

f(x) =

sin(27r ln(

x)).

Commentaires. L'objet de cet exercice est de démontrer le théorème 3.49. On se place sur un ouvert connexe contenant la droite réelle pour passer d'un résultat local à un résultat global grâce aux propriétés des fonctions holomorphes (question c) .

Cette démarche est aussi utilisée dans l'exercice 2.11.

La dernière question montre que la décroissance exponentielle est effectivement nécessaire pour obtenir une base hilbertienne. Notons cependant que ce contre­ exemple est artificiel et que, dans la pratique, les conditions de décroissance sont souvent vérifiées.

Lorsque l'intervalle 1 est borné, d'autres arguments assurent que les polynômes forment toujours un sous-espace vectoriel dense de L2(1, p) (le théorème de Stone­ Weierstrass et la continuité de l'inclusion de �(1) dans L2(1, p), voir [DML, 11.5.5) ) .

Corrigé.

a) On a l'inégalité

\ix

E IR,

où l'on note E(y) E N la partie entière de y E R Ainsi on a

fx 1xlnp p(x) dx

�

1 (

1 +

lxlE(np)+l) p(x) dx

< +oo, ce qui montre que

x

1--+

xn

E LP(I, p).

b) Remarquons que pour t ;;:: 0, on a t � (1 + t2

)

/2. Ainsi on a

'v' x E 1,

lf(x)I p(x)

� 2 (1 ¹ +

lf(x)I )

² p(

x)

. Comme p et pj2 sont intégrables sur 1, on en déduit que <p E L1 (1R). Posons à présent

g(z, x) =

e-izx

J(x)p(x).

Pour

z

E Ba, on a

fx ig(z,x)I dx

�

1

ealxl/2

lf(x)I p(x)

d

x.

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient de plus

1 1

1

ealxl/2

lf(x)I p(x) dx

�

(1

ealxl_p(

x) dx J (fx 1J(x)l2 p(x) dx J

< +oo. (**)

On définit la fonction F par

142 CHAPITRE 3 - ANALYSE FONCTIONNELLE 3.4 L'inégalité (**) montre que cette fonction est bien définie. Vérifions qu'elle satisfait les hypothèses du théorème 2.34 d'holomorphie sous le signe intégrale.

- Pour tout z E

Ba,

_{l'application x} 1-+ g(z, x) est mesurable.

- Pour presque tout x E 1, l'application z 1-+ g(z, x) est holomorphe. - Pour tout z tel que IJ1m zl � a, on a

jg(z, x) I � h(x) =

ealxl/2

_{jf(x) j p(x),}

et l'inégalité (**) montre que h E L1 (I).

La fonction F est donc une fonction holomorphe sur

Ba.

c) Le théorème 2.34 permet aussi de calculer les dérivées de F : Vz E

Ba,

F(n) (z) = (-i)n

1 xne-izx

_{f(x)p(x) dx.}

Ainsi on obtient

F(n) (O) = (-i)n

1

xnf(x)p(x) dx = (-i)n(f, gn)i = O.

L'unicité du développement en série entière d'une fonction holomorphe (voir le théorème 2.25) montre que F = 0 sur un voisinage de O. Le théorème du pro­ longement analytique implique alors que F = 0 sur le connexe

Ba

_{tout entier et}

donc en particulier sur l'axe réel. On déduit que ép = O. Comme <p est une fonc­ tion intégrable (question b), l'injectivité de la transformée de Fourier (voir [Ruo], .théorème 9.12) implique que <p = O. Comme p(x) > 0, on en déduit que f(x) = 0 pour presque tout x de 1.

d) Montrons que la fonction f est orthogonale à tous les monômes 9n(x) = xn. On calcule donc

(!, 9n) =

1

xn sin(2n ln(x))x-

ln(x)

dx .

Le changement de variables y = ln(x) permet d'écrire

( ) ² ( n+1)2

(!, 9n} =

n+l

Y sin(2ny )e-Y dy =

e

4 y- sin(2ny) dy . Un deuxième changement de variables t = y -(n + 1)/2 donne

(n+1)2 2

(f, gn} =

(-1r+ie

4 sin(2nt)e-t dt = O ,

puisque la fonction est impaire. Ainsi la famille des 9n n'est pas totale dans H. La famille des polynômes orthogonaux associée à ce poids particulier n'est donc pas totale non plus : ce n'est pas une base hilbertienne.

Exercice 3.8 - Convolution et support compact.

a) Soient f E Lf0c(JR.) et g E �1 (JR.) avec g à support compact. Montrer que la fonction f * g est dérivable et de dérivée (! * g )' = f * g'.

b) Soient f E �0(JR.) et <p continue, positive, à support compact et dont l'intégrale sur lR. vaut 1. On pose <fJn (x) = ncp(nx). Montrer que ('Pn * f)(x) ---+ _n-++oo f(x).

Commentaires. Comme pour le théorème 3.57, la démonstration de la question a repose sur l'utilisation du théorème de convergence dominée de Lebesgue. Observez cependant que la domination donnée dans la preuve du théorème 3.57 n'est pas

3.4 EXERCICES CORRIGÉS 143

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