Séletion de sous-systèmes

Pourdéteterlesous-domaineleplusohérentaveunelabellisationontenant

L

^labels,

laméthodedéritesetion8.2estbaséesurlaséletionaléatoire,dansleasmonodimensionnel,de

L

^{pixelsdudomaine}

D

^BR.Dansleasmultidimensionnel(

D

^BR

×T

^),laproblématiqueestlamême maisils'agitdeséletionner

L × T

^{pixels.Poursimplierlesnotations,nousonsidéronsuniquement}

le as monodimensionnel dans ette setion. A partir des

L

^pixels séletionnés,

(y ₁ , . . . , y _L )

^{, un}

sous-systèmede

L

^{équations à}

L

^{inonnues déni par}

v(y i ) = X

l ∈ L

α l (y i )µ(l)

!

i=1...L

est extraitdu système quipourrait être forméà partir de toute l'image

D

^{BR.Ce système extrait}

peut s'érire aussi sous la forme matriielle

Ax = b

^{, où}

A = (α _l (y _i )) _i,l

^{représente la matrie}

des proportions,

x = (µ l ) l

^{le veteur des moyennes des lasses et}

b = (v(y i )) i

^{le veteur des}

observations assoiéesaux

L

^pixelsséletionnés.

Enpratique, pourqu'uneitérationsoitutile,ilfautqueles moyennes assoiéesàhaque

lassepuissentêtreestimées.Entirant

L

^pixelsaléatoirement(uniformémententre

0

^et

|D

^BR

|

^),il

est possible queertaines lasses ne soientreprésentées parauun pixel, le veteurdes moyennes

ne peutalorspasêtreestiméorretement.Avantdeherheràélaborerunestratégiede séletion

de sous-systèmes apable d'éviter e type de as, nous proposons d'analyser empiriquement la

fréquene d'apparition de matries non inversibles dans un ontexte aléatoire. Dans et objetif,

nous onsidérons le onditionnement d'unematrieomme mesured'inversibilité. Rappelons que

le onditionnementd'une matriearrée

A

^{estdéni par}

cond(A) = ||| A |||

où

||| . |||

^{est une norme matriielle} subordonnée. Dans e doument, on onsidère en partiulier les normes matriiellesusuelles, subordonnées aux normes vetorielles

k . k ^p

^{, où}

p = 1, 2, ∞

^{. Le}

onditionnement d'une matrieest toujourssupérieur ou égal à

1

^{et, paronvention, ilest inni}

lorsquelamatrieest singulièrequelque soitlanormeutilisée.

Les histogrammes de fréquene des onditionnements obtenus pour diérents types de

matries aléatoires, de taille

6 × 6

⁽

100 000

^{tirages de matries) sont présentés gure 8.4. La}

gure 8.4(a)présentel'histogrammedefréquene desvaleurs deonditionnement obtenuespour

100 000

^{matriesquelonques} séletionnées aléatoirement,uniformémentdans

[0, 1]

^.Remarquons

que les valeurs de onditionnement obtenuessonttoutesonentrées approximativement sur

l'in-tervalle

[0.8, 4]

^{en éhelle}

log

^{, soit entre les valeurs}

6

^et

10 000

^{. Cesmatries quelonques tirées}

aléatoirement(uniformémentdans

[0, 1]

^{) peuvent dontoutesêtreonsidéréesomme}

numérique-ment inversibles.Cependant, les matriesséletionnées pour notreétudepossèdentdespropriétés

partiulières puisqu'il s'agitde matries de proportions. Elles sont don, par dénition,

stohas-tiquesen ligne(lasommeen lignevaut

1

^{).Deplus, remarquonsquesi}

A

^{représentelaproportion}

de haquelabeldansun pixelbasserésolution, sontermegénéral estde laforme

a

N

^où

N

^{est un}

entier xé représentant lenombrede pixelshaute résolutionontenus dansun pixelbasse

résolu-tion, et

a

^{unentier ompris entre}

0

^et

N

^{.Lagure 8.4(b) présente} l'histogrammede fréquene de matries de proportions simulées par tiragealéatoire tel que, pour tout

(i, j)

^{, le terme}

géné-ral

a i,j = a/N

^{, ave}

a ∈ [0, N ]

^(pour

N = 15

^{). La plupart des matries ainsi simulées sont}

aussi inversibles, même si quelques ourenes de onditionnement inni ont eu lieu (ii,

1.e ¹⁷

orrespondà l'inninumérique). Pour nir, lagure 8.4 ()présentel'histogrammeobtenu pour

des matries de proportions réellement extraites à partir d'un jeu de données pour la détetion

de hangements. Ellepermetd'observerqu'environ

35%

^{des matries}séletionnées aléatoirement (uniformément)nesontpasnumériquementinversibles.Cettediérene peutsemblersurprenante

mais ilfaut prendre en ompte le faitque, pour une sène donnée, la fréquene d'apparitiondes

valeursde proportionsn'estpasaléatoire:elleestdiretementliéeàlastruturede lalabellisation

relativement au domainebasse résolution, et ertaines valeurs peuvent apparaître beauoup plus

fréquemment que d'autres. En pratique, la probabilité de séletionner aléatoirement

L

^{pixels qui}

formentunematriede proportionsnon-inversibleest donélevée,et impliqueautantd'itérations

inutiles.

Fig. 8.4.:Histogrammesduonditionnementpourlanorme

2

^obtenupour

100 000

^matries

M

^de

taille

6 × 6

^tiréesaléatoirement(éhelle

log

^{).Tirageuniformede matriesquelonques}

dans

[0, 1]

^{gure(a), de matriesde} proportions simuléesgure (b)(terme général de laforme

a

15

^,

a ∈ [0, 15]

^{), et de matriesde} proportionsextraites aléatoirementàpartir d'un jeude donnéesgure().

A présent, vérions que lavaleur du meilleur

N F A

^{obtenu pour un jeu de données est}

bien liée à la valeur du onditionnement de la matrie utilisée pour l'estimation des moyennes.

La gure 8.5 (a) présente les valeurs de

N F A

^{obtenues pour}

100 000

^{itérations sur un jeu de}

données enfontion duonditionnementde lamatrie

A

^{utiliséepour}l'estimationdesmoyennes, dans le plan

(log(cond ₂ (A)), log(N F A))

^{. Remarquons queles pluspetitesvaleurs de}

N F A

^ont

bien été obtenues pour des valeurs faibles de onditionnement, même si des matriessingulières

(onditionnement supérieurà

1.e ¹⁷

^{)peuvent aussipermettred'obtenirunefaiblevaleurde}

N F A

^.

Un onditionnement inni est synonyme d'instabilité mais il n'interdit pas l'obtention, par

ha-sard, d'une solution orrete. Pour une analyse plus ne du as des matries inversibles, la

-gure 8.5 (b) présente la médiane, les

10

^{ème et}

90

^{ème perentiles du}

N F A

^{obtenu en fontion}

duonditionnementde

A

^{pourlemêmeéhantillonrestreintauxvaleursde} onditionnementdont le logarithmeest ontenu dansl'intervalle

[0, 6]

^{, i.e. as desmatries} numériquement inversibles.

Les valeurs du

N F A

^{sontd'autant plusgrandes quele} onditionnement est grand et sesvaleurs minimales sont obtenues lorsque les matries

A

séletionnées sont de onditionnement inférieur à

3

^.L'histogramme bidimensionneldu onditionnementde

A

^{versus lavaleur minimaledu}

N F A

0 10 20 30 40

Fig. 8.5.:Valeurdu

N F A

^{obtenu en fontion du}onditionnement de la matrie

A

^{utiliséepour}

l'estimationdesmoyennesdeslasses,enéhelle

log

^{.Résultatsobtenuspour}

100 000

ité-rationsoùlesmatriessontséletionnéesaléatoirement(gure(a)).Figure(b) :valeurs

médianes et des

10

^{ème et}

90

^{ème perentilesobtenus sur la restritionde} l'éhantillon aux matriesnumériquement inversibles,i.e. tellesque

cond ₂ (A) ≤ 1.e ⁶

^{.Figure () :}

l'histogrammede fréquene

2

^Dduouple

(cond 2 (A), N F A)

^{, en éhelle}

log

^.

présenté gure 8.5 () permet de onrmer le lien étroit entre es deux valeurs. Plus

préisé-ment, la gure 8.6présente les histogrammes du

N F A

^{obtenus pour unintervalle de valeurs de}

onditionnementdonné.Lesmatriespourlesquellesle

N F A

^{est minimumsemblentavoir,leplus}

souvent, unfaibleonditionnement. Eneet,ette séried'histogrammespermetd'observer

laire-ment queplusleonditionnementdelamatrieséletionnéeestélevé,pluslepide fréquenedes

valeurs de

N F A

^{est obtenu pour une grande valeur de}

N F A

^{. De plus, remarquons notamment}

l'apparitiond'unpidefréquenedesvaleursde

N F A

^en

0

^dèsle

4

^èmehistogramme,soitdèsque

log(cond ₂ (A)) ≥ 1.2156

^{, i.e.}

cond ₂ (A) ≥ 16.4

^{. Cetteremarque nous inite àpenser que le fait}

de séletionner les matries de faible onditionnement permettrait de diminueronsidérablement

le nombred'itérationspour unmêmerésultat.

Pour améliorer la performane de l'algorithme de détetion de hangements et ompte

tenudesrelationsobservéesentrelesvaleursminimalesdu

N F A

^{etlavaleurdesmatriesexploitées}

pour l'estimation,nous proposonsde reherher unritèrede séletion de matriespermettantle

ontrle de sononditionnementet, paronséquent, de restreindre l'étude uniquementaux

sous-systèmessusament stablespour apporter une estimationorretedes moyennes des lasses.En

eet, lesgures8.5et8.6montrentquetouteslesitérationsauours desquellesdesmatriesnon

inversibles(ouàfortonditionnement)sontséletionnéessemblentpeuutilespourlaminimisation

du

N F A

^.

−300 0 −250 −200 −150 −100 −50 0 50

Fig. 8.6.:Histogrammes des valeurs de

N F A

^{obtenues pour un intervalle de valeurs du}

ondi-tionnement de

A

^{donné. Chaque intervalle est déni de manière à ompter le même}

nombre d'ourenes (

1904

^).Plusle onditionnementde

A

^{estgrand (enéhelle}

log

^),

plusles valeurs du

log(N F A)

^sontgrandes.

Unepremièreidéeseraitalors,àhaqueitération,detirerunematriealéatoirementetde

aluler sononditionnement avant de déiderde poursuivrel'itération ou de répéterl'opération.

Cependant, le alul du onditionnement est trop oûteux pour être eetuéà haque itération,

sontempsde alulétant supérieurautempsnéessaireàlarésolutiondusystème onsidéré(par

déompositionen valeurssingulièresou déompositionLU).Remarquonsque,pourêtreinversible,

il est néessaire que tous les labels soient représentés par l'ensemble des pixels séletionnés. La

première statégie que nous proposons repose sur une ondition intuitive de poids minimal sur

les oeients diagonaux (à une permutation près). Plus préisément, nous proposons de xer

une valeur seuil pour les proportions et de séletionner une famille

(y ₁ , . . . , y L )

^{telle que pour}

l = 1 . . . L

^{,la proportion}

α l (y l ) ≥ seuil

^{. Ave ette stratégie, dérite par}l'algorithme 5, toutes les lasses sontréprésentées en proportion supérieure au seuilparau moins un pixel. Les valeurs

1. Pour

l = 1

^à

L

trierle veteur

(α l (y i )) _{i=1... |D}

BR

|

^{parordreroissant,}

I[l] = (y _i ) _{i=1... |D}

BR

|

^telque

∀ i ≤ j, α _l (y _i ) ≤ α _l (y _j )

^,

reherher l'indie

i min (l)

^{tel que}

∀ i ≥ i min (l), α l (y i ) ≥ seuil

^,

2. n pour.

3. Pour

l = 1

^à

L

tirerunentier

m

uniformémentdans

[i min (l), |D

^BR

| ]

^,

lepixelorrespondant

y l = I [l][m]

^,

vérierquele pixeln'apas étéséletionnédeux fois.

4. n pour.

Algorithme 5:Séletion de sous-systèmes-stratégie 1.

de proportions qui orrespondent àes pixels sont stokées dans une matriearrée, notée

A

^{, à}

partirde laquelleles moyennes deslassessontestiméesavant de aluler le

N F A

^{.Lagure 8.7}

présentel'histogrammedesvaleursde onditionnementobtenuespour

100 000

^matries

séletion-nées aléatoirement(gure (a))etparl'algorithme5 aveunseuilxéà

0.2

^{(gure(b)).Cesdeux}

histogrammes sont étonnamment prohes, et montrent que ette stratégie n'apas d'eet sur le

onditionnement des matriesséletionnées.Pour êtreeae, ilfaudraitxer unseuilsupérieur

à

0.5

^{de manière à obtenir une matrie à diagonale dominante, don} inversible. En pratique et omptetenudel'appliation,untelseuiln'estpasenvisageable.Eneet,selonlastruturespatiale

de la sène observée et le type de lasses représenté, l'ensemble des pixels dont les proportions

en label

l

^{est supérieure à un seuil donné peut être très restreint (voire vide selon la valeur du}

seuil). Par exemple, une lasse telle que l'eau est généralement minoritaire dans un pixel basse

résolution. Pourséletionner despixels apablesde représenter toutesles lasses,nousproposons

de onsidérerunritèreplus généralfondé surle ontrle durapportdéni pour toutlabel

l ∈ L

et pourtout pixel

y _i

^par

R _l (y i ) = α _l (y i )

max _{k 6 =l} α _k (y _i ) .

Pourhaque label,lespixels

y i

^{pourlesquelslerapport}

R l (y i )

^{est leplusélevé}orrespondent aux pixels qui représentent le label

l

^{en forte proportion ou tous les labels diérents de}

l

^{en faible}

proportion. Lehoixd'un seuilétantontraignant etdépendantdesdonnées, nousproposons

plu-tt de onsidérer, pour haque label, l'ensemble des

n

^pixels

y i

^{pour lesquels le rapport}

R l (y i )

est le plus élevé. Cette approhe permetde séletionner les pixels dans un ensemble de taille

n

^,

où

n ∈ [0, |D

^BR

| ]

^{. Cette nouvelle approhe est dérite par} l'algorithme 6. La gure 8.7 montre 1. Pour

l = 1

^à

L

Pour

i = 1

^à

|D

^BR

|

max = max k 6=l α k (y i )

^,

R[l][y i ] = ^α _max ^{l (y i )}

^,

npour

i

^.

Trier leveteur

R[l]

^{par ordreroissant,}

I[l] = (y _i ) _{i=0... |D}

BR

|− 1

^telque

∀ i ≤ j, R[l][y _i ] ≤ R[l][y _j ]

^,

2. n pour

l

^.

3. Pour

l = 1

^à

L

tirerunentier

m

uniformément dans

[ |D

^BR

| − n + 1, |D

^BR

| ]

^,

lepixelorrespondant

y l = I [l][m]

^,

vérierque e pixeln'apas étéséletionnédeux fois.

4. n pour

l

^.

Algorithme 6:Séletionde sous-systèmes -stratégie 2.

l'eaité de ette stratégie (gure ()), pour

n = 20

^{, par rapport à} l'algorithme 5. Les va-leurs de onditionnementobtenuessontalorsregroupées,pourlaplupart,entre

0

^et

3

^(enéhelle

log

^{) mais un pi d'ourene persiste autour de}

17

^{(i.e. l'inni). Ce pi montre qu'une}

propor-tion moindre mais non négligeabledes matries séletionnées n'est pas inversible.Cependant, en

diminuant la valeur du paramètre

n

^{, les} performanes peuvent être nettement améliorées. Par exemple, en se limitantà

n = 15

^{,les matries}séletionnées sonttoutes inversibles.Lagure 8.8 présenteleshistogrammesobtenusaveettestratégiepourtroisdiérentes valeursduparamètre

n

⁽

n = 5, 10, 15

^{).Rappelonsqueleparamètre}

n

^{indiquelepourentagedespixelsdel'image}

sus-eptibles d'être séletionnéspour l'estimation. Par exemple,pour une imagede taille

256 × 256

^,

xer

n = 5, 10, 15

^{revientàhoisirhaquepixeldansunéhantillon}omprennant,respetivement,

3276, 6553

^ou

9830

^{pixels pour estimer}

6

^{labels (dans le as des expérienes} présentées). Ave

n = 10

^{(gure (b)),remarquons queles} onditionnements des matriesséletionnéessont essen-tiellementomprisentre

0

^et

1

^(enéhelle

log

^{),equiorrespondauxtroispremiers}histogrammes présentés gure8.6, où les ourenes de faibles valeurs de

N F A

^{sont lesplus} fréquentes. L'his-togramme obtenu gure (a) pour

n = 5

^{est enore plus performant pour} l'obtention de faibles valeurs de onditionnement, et dondu

N F A

^{(d'après lagure8.6,}

1

^erhistogramme).

Pour traiterleas des lassesminoritaires,une autreapprohe seraitde séletionner un

pixelparmiles plusreprésentatifsd'une lasse

l

^{donnée etnettementplus} représentatif dulabel

l

0 5 10 15 20

Fig. 8.7.:Histogramme du onditionnement (éhelle

log

^{) pour la norme}

2

^{obtenu pour}

100 000

matries

A

^{de taille}

6 × 6

orrespondantréellement àdesproportions etséletionnées, gure (a),aléatoirement (uniformément), gure(b) avelastratégie

1

^(seuil=

0.2

^{) et,}

gure (), avelastratégie

2

^pour

n = 20

^.

quelesautrespixelsséletionnés.Dupointde vuede lamatrie

A

^desproportions,etteondition porte sur les olonnes (lasses) et ne dite pas diretement une stratégie de séletion de pixels.

Nous proposons,paronséquent, deherher unritèreportant sur lesoeients d'unematrie

et apable de ontrlersononditionnement. Pour ela,nousintroduisonsladénition8.4.1.

Dénition 8.4.1 Unematrie

A

^{de termegénéral}

(a ij ) _{1 ≤} i,j ≤ n

^{est dite à diagonale}

ε

^-dominante

en olonne pourlanorme

L ^p

^si

pourtout

j = 1, . . . , n, k A j k ^p ≤ ε | a jj | ,

ave

A j = ^t (a _1,j , . . . , a j −1,j , 0, a _j+1,j , . . . , a n,j )

^.

En onsidérantleonditionnement pourlanorme

L ¹

^{,lethéorème 8.4.2donne unemajorationdu}

onditionnementd'unematrie

ε −

^{dominanteenolonneenfontiondesesoeientsdiagonaux.}

Théorème 8.4.2 Soit

A = (a ij ) i,j

^{unematriede taille}

n × n

^.Si

A

^{estàdiagonale}

ε

^-dominante

en olonnespourlanorme

L ¹

^,ave

ε < 1

^,alorsleonditionnementdelamatrie

A

^pourlanorme

||| . ||| 1

^satisfait

Lemme 8.4.3 Soient

A

^et

B

^{deux matries} inversibles de taille

n × n

^{, le} onditionnement du produit

AB

^{pour lanorme}

p

^vérie l'inégalité

cond p (AB) ≤ cond p (A) cond p (B),

^(8.4.11)

pour

p = 1, + ∞

^.

preuve du lemme : Toute norme matriielle subordonnée à une norme vetorielle est

sous-multipliative,don leonditionnement de lamatrie

AB

^,pourlanormesubordonnée

p

^,vérie

cond p (AB) = ||| AB ||| p

D'aprèsle lemme8.4.3, leonditionnement de

A

^{peut êtredéomposésouslaforme :}

cond _p (A) = cond _p (AD ^{− 1} D) ≤ cond _p (AD ^{− 1} ) cond _p (D).

^(8.4.14)

Lamatrie

D

^{est diagonale don, pardénition,}

cond ₁ (D) =

1 max ≤ i ≤ n | a ii |

1 min ≤ i ≤ n | a _ii | .

^(8.4.15)

Ce rapportest noté

ρ

^.On s'intéresse ensuiteau onditionnement de la matrie

AD ^{− 1}

^,notée

C

^,

et

c _ij

^{ses oeients.Remarquons que, pour tout}

i

^,

c _ii = 1

^{et pour tout}

j 6 = i

^,

c _ij = _a ^{a ij}

jj

.Si

A

est

ε

^{-dominanteen olonne pourlanorme}

L ¹

^,alors

pour tout

j = 1, . . . , n,

de termegénéral

e ij

^{.Parhypothèse,lesoeientsde}

E

^{vérientalors}l'inégalité :

P n

La norme

L ^∞

^duveteur

Ex

^{satisfaitalorslarelation}

Ce dernier résultat permet de onlure que le onditionnement de la matrie

A

^{pour la norme}

||| . ||| ₁

^vérie

cond ₁ (A) ≤ ρ · 1 + ε

1 − ε .

^(8.4.27)

2

Une stratégie de séletion de matries fondée sur une ondition de

ε

^-dominane

per-mettrait alorsde ontrlerleur onditionnement. Pluspréisément, dansl'objetif deséletionner

des matries

ε −

^{dominantesen olonne,nous proposons de} séletionnerles pixels

y i

^{de manièreà}

vérierles onditions,pour

n

^{xé :}

.

α i (y i ) ≥ P _i ^{1 − n}

^,

.

∀ k 6 = i

^,

α _k (y i ) ≤ P _k ⁿ ,

où

P _k ⁿ

^{orrespond au}

n

^{ème perentilede}

{ α k (y i ) } i

^. L'algorithme 7 permet séletionner des ma-tries quivérientesonditions. Leparamètre

n

^{jouele mêmerleque dans}l'algorithme6.

Lagure8.9présenteleshistogrammesobtenuspour

n = 5, 10, 15

^.Sieshistogrammes sont omparables à eux de la gure 8.8, les valeurs de onditionnement obtenues ont tendane

à être plus élevées. Cette stratégie est don plutt moins performante pour e jeu de données,

même siles résultatsrestent globalementassezprohes.Cependant, uneétudepluspousséeserait

néessaire pour étudierles performanes de esdeuxalgorithmessurdesdonnées trèsdiérentes.

Eneet,nousprésentonsiiuneétuderestreinteàunseulexempled'imagesalorsquel'objetifdes

algorithmesde séletion quenousproposonsest de permettreletraitementd'imagesomprenant

une ou plusieurs lasses minoritaires. Si les résultats présentés ne sont don pas susants pour

onlure sur les performanes relatives de es deux stratégies, ils permettent d'ores et déjà de

réduire nettement le nombre d'itérations et, par onséquent, le temps de alul néessaire à la

onvergene de l'algorithme.

Enpratique,danslesexpérienesquisuivent,nousutilisonslastratégie

2

(Algorithme6) pourséletionnerlessous-sytèmesàinverserpourl'estimationdesmoyennesdeslasses.L'inversion

est ensuite réalisée par déomposition LU. Dans le hapitre 9, nous présentons les performanes

théoriquesdumodèlede détetionen fontionduontrasteetde lataillede l'image,ainsiquedu

pourentage de hangements présents.

1. Pour

l = 1

^à

L

trierleveteur desproportions

(α l (y i )) _{i=1... |D}

BR

|

^{parordreroissant,}

(I _l (i)) _{i=1... |D}

BR

|

^{: indie du pixel en}

i

^{eme position pour le label}

l

^{dans le veteur des}

proportions,

(I _l ^{− 1} (i)) _{i=1... |D}

BR

|

^{:rangdupixeld'indie}

i

^{dansle veteurdes}proportionsordonnépour lelabel

l

^.

tirerunentier

k

uniformément dans

[1, m]

^,

lepixelorrespondant

y l = J l (k)

^,

vérierque lepixeln'apas été séletionnédeux fois.

6. n pour.

Algorithme 7:Séletionde sous-systèmes -stratégie 3.

0 1 2 3 4 5

Fig. 8.8.:Histogramme du onditionnement (éhelle

log

^{) pour la norme}

2

^{obtenu pour}

100 000

matries

A

^{de taille}

6 × 6

orrespondant réellement àdes proportions etséletionnées selon la stratégie

2

^{, ave}

n = 5

^{gure (a), ave}

n = 10

^{gure (b) et ave}

n = 15

gure ().

0 1 2 3 4 5 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

PSfrag replaements

log(cond ₂ (A))

Fréquene

0 1 2 3 4 5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

PSfragreplaements

log(cond ₂ (A))

Fréquene

0 1 2 3 4 5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

PSfragreplaements

log(cond ₂ (A))

Fréquene

Fig. 8.9.:Histogramme du onditionnement (éhelle

log

^{) pour la norme}

2

^{obtenu pour}

100 000

matries

A

^{de taille}

6 × 6

orrespondantréellement àdes proportions etséletionnées selon la stratégie

3

^{, ave}

n = 5

^{gure (a), ave}

n = 10

^{gure (b) et ave}

n = 15

gure ().

Dansehapitre,nousnousintéressonsauomportementdumodèleenfontion

des diérents paramètres intrinsèques aux images traitées (ontraste, taille de l'image,

fateur de résolution, et.). Pour des raisons de simpliité, etteétude estréalisée dans

le ontexte monodimensionnel.

9.1. Modélisation des données

Dansette setion,nousdérivons unmodèlesimpled'imagespermettantde séparerles

paramètresimportants pour ladétetion avant d'étudier les performanes du modèle dérit dans

lasetion 7vis-à-visde haun de esparamètres. Pourommener, nousonsidéronsuneimage

v

^{de même résolution spatiale quela} lassiation. Supposons que toute image

u

^{puisse s'érire}

sous laforme

u = I + b,

où

I

^{est une image onstante par moreaux et}

b

^{est une image de bruit gaussien. Etant donnée}

une lassiation ontenant

L

^{labels, supposons que l'image}

I

^est parfaitement superposable à l'imagedeslabels,aveenhaquepixellavaleuraratéristiquedulabelorrespondant.Lavariane

empirique

σ ²

^{de l'image}

u

^{s'obtientdiretement par la relation}

σ ² = σ _I ² + σ _b ²

^{. Pour analyser la}

sensibilitédunombredefaussesalarmes,l'estimationdelafamille

µ

^desmoyennes aratéristiques deslassesestsupposéeexate.L'erreurquadratiquemesuréeenmoyennepourhaquepixelvaut

alors

σ _b ²

^,leserreurs quadratiquesumulées surunsous-domaine

D

^{valenten moyenne,}

E

δ _D ²

= | D | × σ ² _b .

D'après le orollaire 7.3.4, le nombre de fausses alarmes assoié à une image

v

^{et une}

lassiation ontenant

L

^{labels est obtenu, pour tout} sous-domaine

D

^{de ardinal supérieur à}

|L|

^{,pour tout résidu}

δ(u D )

^{et éart-type}

σ

^par

N F A( | D | , δ(u D ), σ) = |D

^BR

| C _|D ^{| D |}

BR

| Γ inc ( | D | − |L|

2 , δ(u D ) ²

2σ ² ).

^(9.1.1)

Pourallégerlesnotations,notons

k = | D |

^,

n = |D

^BR

|

^{etonsidéronsl'erreurmoyenne}

δ k

^obtenue

sur un domaine de taille

k

^:

δ _k ² = k σ _b ²

^{. Le nombre de fausses alarmes d'un} sous-domaine de

ardinal

k

^{ontenu dansundomainede ardinal}

n

^{s'exprimealors, pour}

δ(u D ) = δ k

^,par

Cettesimpliationpermetderemarquerquelenombredefaussesalarmesdépendessentiellement

de la taille du sous-domaine onsidéré, du nombre de labels présents dans la labellisation et du

rapport de varianes

σ I

σ _b

^{. Ce rapport peut être vu omme une mesure de ontraste de l'image}

onsidérée.Notons

c = ^σ _σ ^I

b

leontrastedel'image

v

⁽

c ≥ 0

^),etintroduisonsleparamètre

γ = _{c 2} ¹ ₊₁

^,

γ ∈ ]0, 1]

^{. D'autre part, le ardinal}

k

^du sous-domaine étudié peut être vu omme un ertain pourentage

p ∈ [0, 1]

^{de l'ensemble des}

n

^{pixelsde l'image,i.e.}

p = k/n

^{. Lenombre de fausses}

alarmesd'uneimagedeontraste

c

^surunsous-domainereprésentantuneproportion

p

^dudomaine

étudié(deardinal

n

^{) peutalorss'exprimer enfontionde esnouveaux paramètressouslaforme}

d'une fontion

F

^déniepar

d'étudier lasigniativitéd'un sous-domainebasserésolutionenfontionduonstrastedel'image

onsidérée, de sa taille et du pourentage de pixels de hangements. En partiulier, ette étude

permetd'aéderauxvaleurs limitesde esparamètrespourlesquelslenombrede faussesalarmes

est enoresigniatif.

Lasetionsuivante estentréesur lasensibilitédu

N F A

^{au ontraste del'image et,en}

partiulier,sur ladétetabilitéd'un domaineen fontionde sonniveau de ontraste.

9.2. Sensibilité au niveau de ontraste

Laomparaison d'imagesest, en général,nettement améliorée lorsqueles images ont la

même dynamique de niveaux de gris, d'autant plus que laplupart des méthodesde omparaison

sont basées sur l'hypothèse que deux points en orrespondane spatiale ont la même intensité.

Les valeursaquisesparsatellitesonttrèsvariablesselonlesonditionsd'illumination,lesmesures

peuvent don varier fortement en fontion de la date (et heure) d'aquisition, et en fontion

des saisons. Typiquement, les onditions d'ensoleillement hivernales donnent lieu, en général, à

des imagesau ontraste faible.Uneméthode de détetionde hangements doitêtre performante

quelque soit la date d'aquisition et, par onséquent, quelque soit le ontraste de l'image, en

partiulierlorsquele ontrasteest faible.

Toutd'abord, intéressons-nousau as partiulieroù leontraste de l'imageest nul(

c = 0

^{). Ce as orrespond, pour notre modèled'image, àun rapport}d'éart-type

σ I

σ _b = 0

^{.Un tel as}

de gure peut se produiresi l'image est tellementbruitée quesa struture géométriqueest noyée

dans le bruit (i.e.

σ I

^{est quelonque et}

σ b = + ∞

^{), ou alorset quelque soitle niveau de bruit, si}

l'image n'apasde struture géométrique(

σ I = 0

^{).Lemodèleaontrarioaété hoiside manière}

à garantir l'absenede toute détetion danse type d'images(.f Chapitre 7,setion 7.3). Cette

propriété est vériée analytiquement par la proposition 9.2.1, arlorsque le ontraste de l'image

est nul, leparamètre

γ

^vaut

1

^.

Commençons paraluler la partie intégrale de (9.2.4) .Pour plus de lisibilité, posons

x = ^pn ₂

^et

a = ^L ₂

^.Pourtout

a > 0

^{et pour tout}

x ≥ a

^,uneintégration par partiesmultiplepermetd'érire

En eet,

Le hangement d'indie

q = x + k

^{permetd'érire}

x −1

i.e. dèsque

n > 1

^,et

p > ^L _n

^,

F (p, n, 1) ≥ 1

^.

2

Plus généralement, nous nous intéressons à l'évolution du nombre de fausses alarmes

lorsqueleontraste de l'image varie(9.2.2) et atteintdesvaleurs limites(9.2.3).

Proposition 9.2.2 Pourtout

n ∈ N ^∗

et

p ∈ ] ^L _n , 1]

^{xés,lafontion}

γ 7→ F (p, n, γ)

^{estroissante.}

Démonstration.

Soient

n > 0

^et

p ∈ ] ^L _n , 1]

^{xés,ladérivée de lafontion}

F

^{parrapportau paramètre}

γ

∂ F

∂γ (p, n, γ) = n ² pC n ^pn

2Γ( ^pn ₂ ^{− L} ) e ^{− γ pn 2} ( γpn

2 ) ^{pn−L 2 − 1}

≥ 0.

Lafontion

γ 7→ F (p, n, γ)

^{est donroissante.}

2

Le paramètre

γ = _c 2 ¹ +1

^est inversement proportionnel au ontraste de l'image. Don e résul-tat peut être interprété, du point de vue du

N F A

^{, par le fait qu'un} sous-domaine quelonque

Le paramètre

γ = _c 2 ¹ +1

^est inversement proportionnel au ontraste de l'image. Don e résul-tat peut être interprété, du point de vue du

N F A

^{, par le fait qu'un} sous-domaine quelonque

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