Analyse d'erreurs et aspets multitemporels

Avantde nousintéresseràlamiseen oeuvredumodèlede labellisation,nousproposons

d'analyser l'apparitiond'erreursde labellisationen résolvantleproblème (5.2.19) .Pour ela,nous

alulonslaprobabilité,sousleshypothèsesduorollaire5.2.3,d'attribuerunlabelinorretàune

région de lasegmentation. Rappelons que

v(y) = (v t (y)) t ∈T

^{désigne le veteur des}observations BRen unpixel

y

^,réalisationduproessusaléatoire

V (y) = (V _t (y)) _{t ∈T}

^et

m(λ _k ) = (m _t (λ _k )) _{t ∈T}

le veteurtemporeldesmoyennes assoiéesaulabeldelarégion

k

^{.Pouralulerla}probabilitéde faire uneerreur de labellisation,onsidéronsl'énergie (5.2.20) duproblème (5.2.19)assoiéeà la

variablealéatoire

V

^:

E V (λ) = X

y ∈D

^BR

k V (y) − X

k ∈S

β k (y)m(λ k ) k ² ,

^(5.4.37)

où

k . k

^{désigne lanorme} eulidienne.

Dénition 5.4.1 Soit

λ = (λ ₁ , . . . , λ S )

^lalabellisationorrete.Unelabellisation

λ ^′ = (λ ^′ ₁ , . . . , λ ^′ _S )

est dite

1

^{-optimalesielle vérie}

.

∀ k 6 = k ₀ , λ ^′ _k = λ k

^,

.

λ ^′ _{k 0} 6 = λ _{k 0}

^,

oùlarégion

k 0

^estentièrementontenuedansunpixelBR

y 0

^.Onnote

β k ₀ (y 0 )

^{letauxd'oupation}

de larégion

k ₀

^{dansle pixel}

y ₀

^.

La proposition 5.4.2 détermine la probabilité qu'une labellisation

1

^{-optimale soit préférée à la}

labellisationorrete.

Proposition 5.4.2 Soit

V

^{unhampaléatoiregaussienvériantleshypothèsesduorollaire5.2.3.}

La probabilité pour qu'une labellisation

1

^-optimale

λ ^′

^{soit préférée à la} labellisation optimale

λ

satisfait

est lafontionde répartitiond'uneloinormale

N (0, 1)

^.

Démonstration.

Ladiérene d'énergie entre lalabellisationorrete

λ

^etune labellisation

1

^-optimale

λ ^′

^{est nulle}

partoutsauf surla région

k ₀

^{,ontenue dansle pixel}

y ₀

^,don

Pour toute date

t ∈ T

^{etpourtout pixel}

y ∈ D

^{BR,dénissonslavariable aléatoire}

V t (y) = V t (y) − X

k ∈S

β k (y) m t (λ k ) .

^(5.4.42)

Elleest gaussienneen tantqueombinaisonlinéairedesvariablesaléatoiresgaussiennes

V t (y)

^,de

moyenne

= 0

^d'après l'hypothèse(5.1.7) , (5.4.43)

et de variane

t ∈T

^{est don un veteur gaussien entré et de matrie de}

ovariane

σ ²

N I T

^,où

I T

^{représentelamatrieidentitéendimension}

T

^{(soushypothèse}

d'indépen-danedesdatesentre ellesetd'égalitédesvarianesdeslasses).Aveesnotations,ladiérene

d'énergie entre les labellisations

λ

^et

λ ^′

^{vaut alors}

E(λ) − E(λ ^′ ) = k V (y ₀ ) || ² − || V (y ₀ ) + δ(y ₀ ) k ² .

^(5.4.45)

La quantité

δ(y 0 )

^{étant onstante, le veteur aléatoire}

V (y 0 ) + δ(y 0 )

^{est gaussien, de moyenne}

δ(y ₀ )

^{et de matriede ovariane}

^σ _N ² I T

^{. La} probabilité qu'une labellisation

1

^{-optimale xée soit}

préférée àlalabellisationorretevaut alors

P E(λ) − E(λ ^′ ) ≥ 0

lavariablealéatoire

X

^{suit une loinormale entrée,de variane}

_N ^{4σ 2}

k δ(y 0 ) k ²

^.Finalement, en notant

Z =

√ N k δ(y 0 )k

2σ X

^{,lavariablealéatoire}

Z

^{est entréeréduite,i.e.}

Z ∼ N (0, 1)

^.

Laprobabilitéd'erreur sur larégion

k 0

^{,d'après (5.4.46) ,s'éritalors}

P E(λ) − E(λ ^′ ) ≥ 0

Soit

G

^lafontionde répartition d'uneloinormale

N (0, 1)

^,déniepar

G(x) = 1

Laprobabilitéqu'une labellisation

1

^{-optimalesoitpréféréeà la}labellisation orretevaut alors

P E(λ) − E(λ ^′ ) ≥ 0

Cetteprobabilitédépend durapportde résolution

N

^{onsidéré,dutaux d'oupationde larégion}

erronéeauseindupixelbasserésolutiononerné,del'erreurmoyenneengendréeetdel'éart-type

inter-lasses

σ

^{(supposé égal pour haque lasse). Le orollaire 5.4.3 donne un enadrement de}

la probabilité en supposant que toutes les régions de la segmentation ne sont pas trop petites

relativement aupixelbasse résolution.

Corollaire 5.4.3 Si toutes les régions de la segmentation oupent une surfae en proportion

supérieure à

n/N

^{d'un pixel basse} résolution, alors la probabilité de préférer une labellisation

1

^-optimale

λ ^′

^{à la}labellisationorrete

λ

^{vérie lesdeux inégalitéssuivantes :}

P (E(λ) − E(λ ^′ )) ≥ 0

Sitouteslesrégionsdelasegmentationimpatentunpixelbasserésolutionenproportionsupérieure

à

De plus, lafontion

x 7→ G(x)

^{est unefontionroissantede}

x

^,don

Cerésultatdonneunintervallede abilitéen fontiondelatailledespixelsbasserésolution,de la

tailleminimaled'unerégionrelativementàunpixelbasserésolutionetdurapport

min _λ6=λ ′ k m(λ) − m(λ ^′ ) k

σ

^.

Remarquons quee dernierrapport s'apparente àunemesurede ontraste,on note

c = min _{λ 6 =λ} ^′ k m(λ) − m(λ ^′ ) k

σ .

^(5.4.60)

La gure 5.1 trae les valeurs de e majorant en fontion du ontraste de l'image, pour des

régions de taille minimale

n

N

^{(ave diérentes valeurs de}

n

N

^{). Remarquons notamment qu'une}

labellisation

1

^{-optimaleréalisée àpartird'une image de ontraste supérieurà}

1

^{a une} probabilité inmed'êtrepréféréeàlalabellisationorretesitouteslesrégionsdelasegmentationreprésentent

uneproportionsupérieureà

30

^{dupixelBR.Deplus,la}probabilitédefaireuneerreurdelabellisation surunerégionontenue dansunpixelbasserésolutionestd'autantplusfaiblequeleontrasteest

fort.

Le orollaire 5.4.3 soulève le problème de la tailledes régions d'une segmentation

rela-tivement àl'éhelle d'observation.Dans lasetion6.6, nous présentonsune analyseempiriquede

la sensibilité de la méthode au fateur de résolution. A e titre, nous évoquons laquestion de la

tailleminimaledes régionsdistinguables.

Par ailleurs, dans l'hypothèse où l'utilisateur souhaite se restreindre à l'utilisationde

θ

dates del'ensemble

T

^{,lerésultat5.4.2diteunemanièredeleshoisir.Eneet,bienquelealul}

de la probabilité d'erreur ne soit fait que dans le as préis où seule une région est erronée, il

donne uneidéedesparamètresquiinuentsurlesperformanes.Enpartiulier,remarquonsquele

ontraste,déniparladistaneminimaleentrelesmoyennesdeslassesnormaliséeparlavariane,

a uneetnon négligeablesurlaprobabilitéde mallabelliserunerégion.Unemanièrede hoisir

θ

dates dans

T

^{tout en minimisantles erreursde} labellisation seraitalorsde résoudreleproblème

t 1 max <...<t θ

Lareherhed'unesolutionauproblème(5.4.61)peutsefaireenexploranttouslessous-ensembles

de

θ

^parmi

T

^{, mais ette} exploration de

C _T ^θ

possibilités est rapidement très oûteuse en temps

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Probability

constrast

n/N=0.004444 n/N=0.1244 n/N=0.2489 n/N=0.3733 n/N=0.4978 n/N=0.6222 n/N=0.7467

Fig. 5.1.:Majorant de la probabilité de préférer une labellisation

1

^{-optimale à la} labellisation orrete lorsque la région mal labellisée représente une proportion supérieure à

n/N

d'un pixel basse résolution. La valeur du majorant est traée en fontion du niveau

ontrastedel'image.L'axedesabsissesreprésenteleniveaude ontraste

c

^etl'axedes

ordonnées le majorant de la probabilité. Chaque ourbe orrespond à une proportion

n/N

^{xée,allantde}

0.4%

^à

74.6%

^.

de alul. Dans ette thèse, nous ne développons pas e point mais il pourra faire l'objet de

travauxomplémentairesdanslamesureoù lehoixdesdatesd'aquisitiononstitueunproblème

importantpour laqualitéd'une lassiationainsique pourle tempsdealul.

Dans le hapitre 6, nous dérivons un algorithme de reuit simulé pour résolution du

problème (5.2.19) . Il permet d'obtenir une labellisation et d'estimer les moyennes des lasses à

partird'uneséquene d'imagesBRetd'unesegmentationHR.Laonvergene de etalgorithme

est ensuite étudiée de manière expérimentale avant d'analyser la sensibilité de la méthode en

fontion dufateurde résolution.

Ce hapitre est entré sur la mise en oeuvre du modèle bayésien dérit dans

le hapitre 5 pour la lassiation HR de l'oupation du sol à partir d'une séquene

d'images BRet d'une segmentation HR. Dans un premiertemps, nous dérivons

l'algo-rithme de reuit simulé utilisépour trouver unesolution. Puis nous analysons les

perfor-manes de l'algorithme et de laméthode vis-à-vis des prinipaux paramètres onsidérés.

6.1. Algorithme de reuit simulé

Laminimisation desénergies(5.2.19) ou (5.2.16)est un problème ombinatoire diile

à résoudre. En eet, ompte tenu de la taille de l'espae des solutions (

L ^S

^{), une reherhe}

sys-tématique duminimum n'est pas envisageable. Nous proposons d'adopter un algorithme de type

reuit simulépour résoudreleproblème 5.2.19,i.e.

λ ^∗ = arg min

λ ∈L ^S

X

t ∈T

X

y ∈D

^BR

(v t (y) − µ t (λ, y)) ² ,

où

µ t (λ, y) = X

l ∈L

X

k ∈ S l k = l

β k (y)m t (l) .

Les algorithmes de reuit simulé sont inspirés du reuit en physique statistique qui onsiste à

hauer (jusqu'à fusion) puis laisserrefroidir un métaldans le butd'améliorer ses qualités, et e

susament lentementpour ne pas lebloquer dansun étatinstableorrespondant àunminimum

loald'énergie. L'utilisationdureuitsimuléest destinée aux problèmesde minimisation diiles

(f.[Yart, 2002 ℄),i.e.lorsqu'unereherhesystématiqueestrendueimpossibleparlataillede

l'es-pae,etlorsquelafontionàminimiseraungrandnombredeminimaloauxquiperturbentl'aès

auminimumglobal.[GemanetGeman, 1984℄ontétélespremiersàutiliserunalgorithmedereuit

simuléen traitementd'images,pour minimisere typed'énergies. Le prinipe de l'algorithmeest

prohe de eluid'une desente de gradient,dont les pas de desente sont alulés

automatique-ment en fontion de latempérature et pour lequel des remontées d'énergie sontautorisées ave

une ertaineprobabilité.

Dansunontextenon-supervisé,l'algorithmeprenden entréeunesegmentationHR,une

séquened'images BRde lamême sène,et lenombredelabels

L

^{reherhé. Ilpermetd'obtenir,}

en sortie, une labellisation qui orrespond à une solution approhée du problème (5.2.19) ainsi

que l'estimation desmoyennes aratéristiques des lassesassoiées à lalabellisation obtenue. A

partird'une initialisationaléatoirede lalabellisationet de latempératureinitialealuléeàpartir

du diamètre du graphe, haque étape de l'algorithme onsiste à modier aléatoirement le label

d'une région de la segmentation puis à aluler la diérene d'énergie engendrée de manière à

déterminer si ette modiation faitdéroitre l'énergie ou non. Dans unontexte non-supervisé,

nousutilisonsl'algorithme1.Pouronsidérerleproblème(5.2.16) ,i.e.sanshypothèsed'égalitédes

varianesdeslasses,ilsutd'insérerl'estimationdesvarianesdeslassesaprèshaqueestimation

des moyennes des lasses dans l'algorithme 1. En pratique, nous préférons nous restreindre aux

statistiques du premier ordre en raison du oût en temps de alul important engendré par es

estimationsdansunalgorithmeitératif.

Caluler,

∀ y ∈ D

^BR,lesproportions desrégions

(β _k (y)) _y,k

^,

Initialiseraléatoirementlehamp des labels,

λ

^,

Estimerlesmoyennes assoiéesàhaque label(parrégressionlinéaire),

Calulerl'énergie

E λ

^assoiéeàlalabellisation

λ

^,

Initialiserlatempérature

θ

^{au diamètredugraphe,}

Initialiserlenombrede testsrejetéssuessivement,

n r = 0

^,

Tantque

n r ≤ a × S

^fois,faire:

pour

i = 0

^à

S

^,

séletionner aléatoirementunerégion

k

^{et unlabel}

l

^{pour ette région,}

ré-estimer les moyennes assoiéesàhaque label,

aluler ladiérene d'énergie

∆ E = E λ − E λ prev

^{, où}

λ prev

^{est la}labellisation obtenue à l'itération préédente,

si

∆ E ≤ 0

^{,aepter lehangement de label,}

n r = 0

sinon, le rejeteraveune probabilité

exp ( − ∆ E /θ)

^,

n _r + +

^.

θ ← qθ

^.

Algorithme 1: Algorithme de reuit simulépour lalabellisationd'une segmentationHR àpartir

d'une séquened'images BR.

D'un point de vue théorique, la onvergene des algorithmes de reuit est très étudiée

dans lalittérature.En partiulier, le théorèmede Hajek (1988)prouve, sous ertaines onditions,

la onvergened'un algorithme de reuitsimulépourunshéma detempératureorrespondant à

unedéroissanelogarithmique.Deplus,desrésultatsthéoriquestelsque[Catoni,1998 ℄disutent

du problème du test d'arrêt. En pratique, ompte tenu de la taille des images onsidérées et

du nombre de régions de la segmentation, une desente logarithmique n'est pas envisageable

pour des questions de temps de alul. En revanhe, une déroissane géométrique de raison

q = 0.999

^{etuntest d'arrêtxé par}

n r = 400

^ontmontré,empiriquement,de bonsrésultatsdans les expérienes réalisées. Dans la setion 6.5, une série d'expérienes nous permet d'analyser les

erreurs de labellisation obtenues dansle butde déterminer si ellesproviennent d'un problème de

onvergene de l'algorithmeou de lamodélisation.

Lorsquelesmoyennesaratéristiquesdeslassessontonnuesapriori,uneversion

super-viséedel'algorithmes'obtientdiretementàpartirdel'algorithme1,non-supervisé,ensupprimant

les phases d'estimation et de ré-estimation des moyennes assoiées à haque label. La version

supervisée prend alors en entrée une segmentation haute résolution, une séquene d'images BR

et les aratéristiques des lasses. Dans e as, l'algorithme peut diretement résoudre le

pro-blème (5.2.16) en onsidérant l'énergie qui lui est assoiée. En sortie, il fournit la labellisation

optimale au sens dumaximum aposteriori.L'estimationdes moyennes deslasses,à haque

ité-ration, est une tâhe oûteuse en temps de alul. Lasuppressionde ette étape onduit don à

unalgorithmenettementplusrapide quelaversion non-supervisée.

6.2. Algorithme de programmation dynamique

Laquestiondelavalidationd'uneméthode,pouretyped'appliations,estunequestion

déliate puisqu'uneartede référenen'estpas toujoursaessible et,mêmesi ellel'est,ellen'est

pas toujours able. L'objetif que nous visons est, par onséquent, d'être apable d'obtenir une

labellisationà partir d'imagesBRqui soitaussiprohe quepossiblede e qu'on obtiendrait ave

desimages HR.

L'algorithmedereuitsimuléprésentédanslasetion6.1peutêtreappliquédiretementà

desimagesouséquenesd'imagesHR.Lasolutionàlaquelleilpermetd'aéderestuneestimation

duminimumde l'énergiedansunontextestohastique.Pourl'élaborationd'une lassiationde

référene,nousproposonsdansettesetionunalgorithmedeprogrammationdynamique apable

de déterminer préisément unesolutionà partird'images HR.

Ahaute résolution,les pixelsd'uneimagesontonsidérés omme purs:haque pixelne

représentequ'unseultype d'oupation. Apartird'unesegmentationetd'uneséquenede même

résolution, l'algorithme de programmation dynamique 2 permet alors de regrouper les

S

^régions

autourde

L

^{labels,pourunnombredelabels}

L

^{xé(f.gure6.1).Cetalgorithmeest}déterministe et garantit d'aéder auminimum de l'énergie.

+

Fig. 6.1.:Entrées et sortie de l'algorithme :à partir d'une segmentation (

300

^{régions)et d'une}

image de même résolution, l'algorithme permet d'obtenir une lassiation pour un

nombre de labels xé(ii,

L = 8

^).

A partir d'une segmentation ontenant

S

^{régions et d'une image observée, la valeur}

radiométrique moyenne de haque région s'obtient diretement. Pour toute région,notons

m i

^la

moyenne assoiée à larégion

i

^et

N _i

^{sa taille(en nombre de pixels). Le prinipe de} l'algorithme reposesurletridesrégionsselonleurvaleurmoyenne. Supposons,paronséquent,quelesrégions

soient indiées selon leur valeur moyenne, par ordreroissant :

m ₁ ≤ m ₂ ≤ · · · ≤ m n

^{. On note}

S l

^{l'ensemble desmoyennes de toutesles régionsde label}

l

^{. L'objetif est alors de regrouper es}

S

^{régionsautourde}

L

^{labels (}

L < S

^).

Ahauterésolution,l'énergieonsidéréparleproblème(5.2.19)peuts'ériresouslaforme

E (λ) = X

.Endéveloppant, ette énergies'éritaussisouslaforme

E (λ) = X

k N k m ² _k

^{sontdestermesonstants.Pourunefamilledemoyennes}

S l

^,assoiées

au label

l

^{,on note}

Aveesnotations, siles régionssontindiéesparmoyennes roissantes, lalabellisation

qui minimise(6.2.1) s'obtient diretement en regroupant des régions d'indies onséutifs. Plus

préisément, l'objetifestde trouver l'appliation

f : { 1, ..., L } → { 1, ..., S }

^{roissante,vériant}

f (1) = 1, f (L) = S,

^(6.2.5)

et telle que

P L

i=1 Σ _λ ( S i)

^{soit minimale. Cette fontion permet de dérire l'ensemble}

S i

^des

moyennes desrégionsde label

i

^par

S i = { m _{f (i)} , m _f(i)+1 , · · · , m _f(i+1)−1 } .

^(6.2.6)

et

La programmation dynamique repose sur le fait que la fontion

ϕ

^{s'érive de manière réursive}

(équation de Bellman).Eneet, pourtout

k ∈ { 1, ..., n }

^,

Pour tout

k

^{, es relations permettent de déterminer}

ϕ(k, L − 1)

^{à partir de}

ϕ(k, L)

^et,

réursi-vement, touslestermes jusqu'à

ϕ(k, 1)

^.L'appliation

f

^{reherhée orrespondalorsàl'argument}

du minimumde

ϕ(1, 1)

^,i.e.

ψ(1, 1)

^{. Etantdonnée une} segmentationontenant

S

^{régionsetune}

image HR

u

^, l'algorithme 2 dérit la reherhe de lalabellisation

λ

^{qui orrespond au minimum}

de l'énergie.

Algorithme 2: Algorithme de programmation dynamique pour la labellisation optimale d'une

segmentation HRà partird'une imageHR.

Cetalgorithmepermetdedéterminerleminimumdel'énergie(6.2.1)demanièreexate,

à partir d'une image haute résolution. Pour les expérienes qui suivent, ette labellisation est

onsidérée en tant que référene et les résultats obtenus à partir d'images BR sont omparés à

eux qu'on obtiendrait avedesimages HR.

6.3. Simulation des données

Dansettesetion,nousdérivonslamanièredontlesimagessontsimuléespourévaluer

la méthode de lassiation proposée et, en partiulier, permettre une analyse quantitative et

qualitative desdiérents typesd'erreurset desperformanes.

Pour respeter lastruture globale des images en observation de la Terreainsi que leur

dynamique,lesimagesontétésimuléesàpartirde aratéristiquesextraitessurdesimagesréelles.

Pluspréisément,nousavonsonstituéunjeudedonnéesde

165

^{imagesde taille}

300 × 300

^pixels

extraits de la séquene d'images réelles HR de la série ADAM 1

(Plaine du Danube, Roumanie).

Ces images ont été segmentées arbitrairement en

100

^{régions (}

S = 100

^{), ave le modulesegt}

dulogiielhttp://mla.ens-ahan.fr/Cmla/Megawave,demanièreàrespeterglobalementla

struturespatialedel'image,puislabelliséespour

L = 5

^labelsavel'algorithmedeprogrammation dynamique (f.6.2)en vue de onstituerdeslabellisationsde référene.

Fig. 6.2.:Exemplesde labellisationssimuléesave

5

^labels.

Les moyennes et varianes assoiées à haque label sont alors utilisées pour simuler

des données par mélange de gaussiennes :pour haque labellisationde référene, uneimage HR

est simulée en tirant haque pixel suivant une loi gaussienne paramétrée selon les moyennes et

varianesréellesassoiéesaulabelorrespondant. LesimagesBRsontalorsrééesparmoyennage

des imagesHR simulées(ave lesfateurs de résolution

N = 15, 30, 50

^.)

Fig. 6.3.:ImagesBRsimuléesàpartirdeslabellisationsi-dessus,avefateursde résolution,de

gauhe àdroite,

N = 15, 30, 50

^.

1

Projeteuropéend'agro-modélisation.ImagesmisesàdispositionparleCNES.

Avant d'analyser empiriquement les performanes de la méthode sur un grand jeu de

données simulées,lasetion suivante présentequelques résultats de labellisation obtenus à partir

de séquenesd'imagesBRsimulées.Enpartiulier,elleillustrelapriseen omptede l'information

spatiale pour lalabellisation.

6.4. Exemples d'appliation

Dans ette setion, nous présentons les premiers résultats obtenus sur des séquenes

d'images simulées(f. setion6.3) dansl'objetifd'illustrerlaapaité de laméthode de

lassi-ation àexploiterl'informationtemporelle.

Les premières expérienes ont été réalisées dans l'objetif de présenter l'apport

d'in-formations redondantes pour la qualité de la labellisation. Pour ela, trois images sont simulées

selon les mêmes aratéristiques (moyennes et varianes par label) mais les labels auxquels es

aratéristiquesont étéassoiéesont étépermutés entreles diérentesimages de manièreeque

la séquene d'images ontienne, pour haque label, des informations redondantes. La gure 6.4

montre, sur un exemple donné, que les erreurs de labellisation obtenues sontde moinsen moins

nombreuses lorsqu'on augmente le nombre d'images utilisées.Cette expériene permetd'illustrer

l'apportd'informationsredondantes surlaqualité de lalabellisation.

Lagure 6.5présentelamême expérieneréalisée avedesimages simuléesde manière

àe quehaqueimageomportedeuxlassesonfondues.Lepourentagede pixelsmallabellisés

passede

1.12%

^{lorsquedeux imagessontutiliséesà}

0.09%

^{pourtroisimages.La}omplémentarité desinformationsapportéesparuneséquened'imagesfavorisenettementladistintiondeslasses.

L'expériene suivante illustre l'intérêt d'informations omplémentaires pour la labellisation. Les

imagessontsimuléesdetellesortequeplusieurslassessoientonfonduesàunedatedonnée mais

quel'ensembledeslassessoitséparablessurl'ensembledesdates.Les prolsd'évolutions

tempo-relles des moyennes utilisés sontprésentés gure 6.6 en (a), et les images (bà f) orrespondent

aux images BRobtenues parmoyennage d'un fateur

15

^{desimages simulées partiragegaussien}

respetivement selonles moyennes aratéristiques assoiéesaux dates

1

^à

5

^.La labellisation ob-tenue ave es

5

^{images est présentée gure 6.6 (i). Elles ontient}

5

^régionsmal labellisées,qui orrespondentàseulement

0.28%

^{despixels de l'image.}

Les expérienes présentées dans ette setion onrment, d'un point de vue qualitatif,

l'importanedel'informationtemporellepourdisriminerlesdiérentstypesd'oupation. Si

l'ap-port d'informations redondantes ontribue à distinguer les lasses, l'information omplémentaire

apportée à haque date est essentielle dans le ontexte du suivi des surfaes ontinentales. En

eet, l'intensitéassoiéeàplusieurstypesde végétationétantgénéralementonfondueàunedate

xée, seule son évolution temporelle permet de les séparer. Dans la setion suivante, nous nous

intéressons aux diérents types d'erreurs de labellisation que l'on peut obtenir ave la méthode

non-supervisée:les erreursduesàlanon-onvergene de l'algorithmeetellespropresàl'énergie

onsidérée.

(a) Segmentation. (b) ImageBR. () Labellisationobtenue

avel'imageBR(b).

(d) Erreurs de

labellisa-tion :

12

^{régions sont}

mallabellisées,

2.68%

^des

pixels.

(e)Labellisationobtenue

ave2imagesBR.

(f) Erreurs de

labellisa-tion :

7

^{régions sont}

mallabellisées,

0.6%

^des

pixels.

(g)Labellisationobtenue

ave3imagesBR.

(h) Erreurs de

labellisa-tion :

5

^{régions sont}

mallabellisées,

0.38%

^des

pixels.

Fig. 6.4.:Labellisation pour

10

^{labels de la} segmentation présentée en (a) à partir de l'image BR (b) (rapportde résolution

N = 15

^{), puis àpartir d'uneséquene basse résolution}

ontenant

2

^{images((b)etuneautreimage}similaire),etennàpartirde

3

^images.Les

erreursde labellisationdiminuent lorsqu'on augmentele nombred'images exploitées.

(a) Segmentation. (b) Image BR simulée

pour

10

^labelsdont

2

^de

mêmemoyenne.

() Image BR simulée

pour

10

^labelsdont

2

la-belsdiérents du(b),de

mêmemoyenne.

(d) Image BR simulée

pour

10

^labelsdont

2

la-bels diérentsdes (b)et

(),demêmemoyenne.

(e) Labellisationobtenue

pour les

2

^premières

images.

(f) Erreurs de

labellisa-tion :

6

^{régions sont}

mallabellisées,

1.12%

^des

pixels.

(g)Labellisationobtenue

pourles

3

^images

présen-tées.

(h) Erreurs de

labellisa-tion :

3

^{régions sont}

mallabellisées,

0.09%

^des

pixels.

Fig. 6.5.:Labellisationpour

10

^{labelsde la}segmentationprésentéeen(a) àpartirde laséquene BR omposée des images (b) et () (rapport de résolution

N = 15

^{), puis à partir}

des images (b), () et (d). Les erreurs de labellisation diminuent ave lorsque des

informationsredondantes sontutilisées.

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(a)Evolutionstemporellesdesmoyennesutiliséespoursimulerlaséquene

d'images BR : haque ourbe orrespond à un label diérent. L'éhelle

de temps est représentéen absisses et lesvaleurs moyennes des lasses

(frationdeouvert)enordonnées.

(b) Date

1

^{. ()Date}

2

^{. (d)Date}

3

^{. (e) Date}

4

^{. (f) Date}

5

^.

(g)SegmentationHR. (h)Labellisationobtenuepour

laséquene BRomposée des

images(b)à(f).

(i) Enblan,erreursde

labelli-sation :

5

^{régionssontmal}

labelli-sation :

5

^{régionssontmal}

Dans le document Détection de changements et classification sous-pixelliques en imagerie satellitaire. Application au suivi temporel des surfaces continentales. (Page 85-0)