Choix du modèle a ontrario

Lemodèlededétetionaontrarioestunmodèlegénériquededétetiondeohérenepar

rapport àunmodèlea ontrario, ditnaïf. Cetype de modélisationne visepas àdérireau mieux

les données, mais simplement à les omparer à un modèle simpliste, non struturé, de l'image.

Dans la setion 7.2, nous avons adopté le modèle

H ₀

^{suivant lequel l'image BR est un hamp}

aléatoirede variablesgaussiennesi.i.d.demoyenne

m

^etdevariane

σ ²

^{.Leprinipedelaméthode}

est alorsde déteterunsous-domaine

D

^{si lapréditionde}

v

^sur

D

^{donnée parl'équation (7.1.1)}

est trop prohede l'observationpour êtreraisonnablementexpliquéeparle hasard.

Le modèle

H ₀

^{dépend de deux paramètres : le veteur des moyennes}

m

^{et la matrie}

de ovariane

σ ² I

^{.Dansette setion, nousproposonsdeux hoix de paramètrespour emodèle}

ainsiqu'unealternativeaumodèle

H ₀

^{.Pourommener,noussuggéronsd'adopterpourhypothèse}

naïve le modèlea ontrarioselonlequelle l'imageBRest de moyenne onstante.

Hypothèse

H ₀ ^a

^{: le veteur}

m

^{des moyennes du modèle a ontrario}

H ₀ (m)

^{est de la forme}

θ(1, 1, · · · , 1)

^,où

θ ∈ R

et l'éart-type

σ

^{estxé apriori.}

Corollaire 7.3.1 Sousl'hypothèse

H ₀ ^a

^{,le nombrede faussesalarmesvaut}

N F A _a (D, δ(v _D ), σ) = |D

^BR

| C _|D ^{| D |}

BR

| · f ( | D | − |L| , δ(v _D ), σ, 0).

^(7.3.33)

Démonstration.

Soit

A D

^lamatriedesproportions

(α _l (y)) y ∈ D

^,detaille

| D | × |L|

^.Cettematriereprésente,pour haque ligne

i

^{, les} proportions de haque label ontenu dans le pixel

i

^{. La somme en ligne des}

éléments delamatrie

A D

^vautalors

1

^{,equisignie quel'ensembledesveteurs}proportionnels à

(1, 1, · · · , 1)

^{appartientàl'espaeimagede}

A D

^,Im

A D

^.Enpartiulier,sileveteurmoyenne

m

est unveteur proportionnel à

(1, 1, · · · , 1)

^{,il appartient àl'espae Im}

A D

^{et satisfaitla relation}

A D m = m

^{.Leveteur moyenne projeté par}

P

^{est alorsréduit au veteurnul(}

P m = 0

^{). D'après}

la démonstrationduthéorème 7.2.5,on a

P _H

0 [δ(V _D ) ≥ δ(v _D )] = P (P V _D ∈ B ^q (δ))

^{et,d'aprèsle}

modèle aontrario(dénition 7.2.3), lavariable aléatoire

P V D

^{suit une loi normale de moyenne}

(m ₁ , · · · , m q )

^{etdematriedeovariane}

σ ² I q

^.Sousl'hypothèse

H ₀ ^a

^,

(m ₁ , · · · , m q ) = (0, · · · , 0)

et lenombre de faussesalarmess'érit

N F A a (D, δ(v D ), σ) = |D

^BR

| C _|D ^{| D |}

BR

| · f ( | D | − |L| , δ(v D ), σ, 0).

2

Une autre hypothèse possible pour les paramètres du modèle

H ₀

^{est de supposer le}

veteur des moyennes quelonque et la variane xée, e qui revient àonsidérer une image BR

dontla valeurmoyenne en haque pixelest quelonque.

Hypothèse

H ₀ ^b

^{:leveteurdesmoyennes}

m

^{dumodèleaontrario}

H 0

^{estunveteurquelonque}

de

R ^|D

^BR

^|

et l'éart-type

σ

^{est xé a priori. Comme}

m

^{est une inonnue du modèle}

N F A

^,nous

herhons eluiqui onduit au meilleur modèledans le sens où il permet de ontrler le nombre

de fausses alarmespour tousles modèles

H 0 (m)

^{, où}

m ∈ R ^{| D |}

.Pour elà,il sutde onsidérer les moyennes

m

^{quimaximisentlenombre de faussesalarmes,soit}

arg max

m ∈R ^|D| N F A(D, δ(v D ), σ, m).

Montrons que e maximum est atteint lorsque la moyenne du modèle

H 0

^{est nulle, e}

quionduit aurésultat suivant.

Soient

x i

^et

y i

respetivementles ièmesélémentsdesveteurs

x

^et

y

^.

∂g

En posant

a(x) = q t ² − P

j 6=i x ² _j

^{,on obtient}

Z

x ² _i <a(x) ² − 2(y i − x i )e ^{− (y i − x i ) 2} dx i = [e ^{− (y i − x i ) 2} ] ^a(x) _{− a(x)}

= e ^{− y i − a(x)) 2} − e ^{− (y i +a(x)) 2} ,

et alors

∂g

∂y _i = Z

P

j6=i x ² _j <t ²

e ^{− P j6=i (y i − x i ) 2} [e ^{−(y i − a(x)) 2} − e ^{−(y i +a(x)) 2} ]dx ₁ · · · dx i −1 dx _i+1 · · · dx q .

La fontion

g

^{est positive et nulle à l'inni don, par ompaité, elle atteint son maximum. De}

plus, elle est

C ^∞

^{,don e maximumorrespondàunpoint ritique.}

∂g

∂y i

= 0

⇔ ∀ x, e ^{− (y i − a(x)) 2} − e ^{− (y i +a(x)) 2} = 0

⇔ ∀ x, (y _i − a(x)) ² = (y _i + a(x)) ²

⇒ y i = 0.

L'uniquepoint ritiquede lafontion

g

^estdon

y = 0

^{.Orlemaximumglobalde}

g

^sur

R ^q

est un point ritique,don'est

y = 0

^.

L'appliationde e lemme àlafontion

f

^impliqueimmédiatement

N F A _b ( | D | , δ(v _D ), σ) = max

m |D

^BR

| C _|D ^{| D |}

BR

| · f ( | D | − |L| , δ(v _D ), σ, m)

= |D

^BR

| C _|D ^{| D |}

BR

| · f( | D | − |L| , δ(v D ), σ, 0)

= N F A a ( | D | , δ(v D ), σ).

^(7.3.36)

Les hypothèses

H ₀ ^a

^et

H ₀ ^b

aboutissent au même nombre de fausses alarmes, noté

N F A

^{, d'où}

l'énoné de laproposition7.3.2.

2

Cerésultatsigniesimplementquelemodèlenaïf

H ₀ (0)

^{estlemodèleleplusontrairedelafamille}

de modèles

H 0 (m)

^,où

m ∈ R ^|D

^BR

^|

.En eet, en onsidérant le veteurdes moyennes

m = 0

^,le

rejet dumodèle

H ₀ (0)

^{impliquelerejet de tousles modèlesnaïfs de lafamille}

H ₀ (m)

^.

Enonsidérantlemodèlenaïfselonlequell'imageBRestunhampaléatoiredevariables

gaussiennesi.i.d.

N (0, σ ² )

^où

σ > 0

^{xé,lenombredefaussesalarmesobtenuestalors}indépendant du hoixde lamoyenne

m

^.

Sous la forme donnée par l'équation (7.3.35) , le nombre de fausses alarmes peut être

alulé numériquement à l'aide d'un développement asympotique. Cependant, pour une bonne

performane de la méthode, il est néessaire de pouvoir le aluler ave une meilleure préision.

C'est laraisonpour laquellenouspréférons utiliserl'expressionsuivante.

Corollaire 7.3.4 Sous leshypothèses

H ₀ ^a

^ou

H ₀ ^b

^,

D'après laproposition7.3.2,le nombrede faussesalarmes obtenupour leshypothèses

H ₀ ^a

^ou

H ₀ ^b

est déni par

i=1 x ² _i

^{,nousobtenons} l'expression:

f(q, δ, σ) = ¯ C

Le hangement de variable

s = _2σ ^{r 2} ₂

^{permetd'obtenir}

f(q, δ, σ) = ¯ C

Don

f ¯

^{s'exprimeàpartirde lafontiongammainomplète,notée}

Γ _inc

^{etdéniepourtout}

a > 0

^et

x ≥ 0

^par

Le nombrede fausses alarmesest alorsdéni par

N F A( | D | , δ(v _D ), σ) = |D

^BR

| C _|D ^{| D |}

Le ritère obtenu dépend don uniquement de la taille du sous-domaine onsidéré, de l'erreur

alulée sure sous-domaine etde l'éart-typedu modèlenaïf

H ₀

^{.Les deux premiers paramètres}

mentionnéssontdiretementdéterminésàpartirdesimagesétudiées.Leseulparamètrerestantest

alors

σ

^,l'éart-typedumodèlenaïf.Cedernierparamètreestnalementleseulparamètrearbitraire du modèle. Il peut êtrexé omme un paramètre physique apriori, envisagé parexemple omme

une mesurede séparabilitéou plusgénéralementommeunmoyen d'introduirede l'informationa

priori.Dansleadredenotreétude, nousproposonsde xerlavariane

σ ²

^{dumodèlenaïfégaleà}

lavarianeempiriquede l'image observée.Cehoixpermetdegarantir,enmoyenne, l'absenede

toute détetion dansune image de bruit blan et de respeter ainsile prinipe de Helmholtz. En

eet, uneimagede bruitblan orrespondpréisémentaumodèle

H ₀

^pourl'éart-type empirique de l'image. Ce résultat est abordé de manière analytique ave la proposition 9.2.1. De plus, e

dernier paramètre est alors àson tour diretement déterminéà partir des images onsidérées, e

quirend, en pratique,la méthodeentièrementautomatique et,grâeà laformulation(7.3.37) ,le

nombrede faussesalarmes numériquementalulable.

Ave le modèle

H ₀

^, l'hypothèse d'indépendane des pixels revient à onsidérer que la probabilité d'ourene d'une image BR est égale au produit des probabilités d'ourenes en

haque pixel. Par onséquent, e modèle revient à envisager toutes les permutations de

D

^de

manière équiprobable. De plus, xer le veteur des moyennes

m

^{revient à se donner la loi de}

l'histogrammedel'image.Cehoixestarbitraire.Lapossibilitédeprendrepourmodèleaontrario

l'hypothèse suivantea aussiétéenvisagée.

Dénition 7.3.5 (modèlea ontrario

H ₀ ^′

^{) Lemodèlenaïf(}

H ₀ ^′

^{)pourl'imageBRestunhamp}

aléatoire de variables i.i.d. suivant la loi donnée par l'histogramme mesuré empiriquement sur

l'image.

Sousettehypothèse,'estdavantagel'indépendane despixelsbasserésolutionquiesttestée.Le

prinipedelaméthodeest alorsd'estimerunhistogrammed'aprèslesproportionsetlesmoyennes

des lasses, puis de dénir un sous-domaine omme signiatif si l'histogramme estimé sur e

sous-domaineestétonnamentenadéquationavelemodèleaontrario(i.e.l'histogrammemesuré

empiriquementsurl'image).Pluspréisément,si

A

^{représentelamatriedes}proportions

(α _l (y)) _y,l

^,

ils'agitde onsidérerlaprobabilité

P _H ′

0 [δ µ (V D ) ≥ δ µ (v D )] = P _H ′

0 [v D ∈ B (Aµ, δ µ (V D ))]

^(7.3.47)

= Z

B (Aµ,δ µ (V D )) ×R ^p−q

Π ^| _i=1 ^{D |} dh(x _i ),

^(7.3.48)

où

dh

^{représentelamesureassoiéeà}l'histogrammeempiriquedel'image.Cependant, dansnotre ontexte, les moyennes

µ

^{deslasses sontinonnues. C'est laraison pourlaquelle, omme}

préé-dement (f. (7.2.28) ), nous nousintéressons plutt àl'erreur minimale

δ = min µ δ µ

^{et,don, à}

laprobabilité

P _H ′

0 [δ(V D ) ≥ δ(v D )] = P _H ′

0 [ k P V D k ≥ δ(v D )].

^(7.3.49)

Déterminerette loi,'est êtreapable de ompter le nombre de pointsde laforme

λ i ₁ , · · · , λ i p

dans le ylindre

B (Aµ, δ _µ (V _D )) × R ^{p − q}

. Remarquons que si la loi donnée par l'histogramme de l'image estprohe d'uneloigaussienne, lemodèle

H ₀ ^′

^{est équivalent aumodèle}

H ₀

^{pour lealul}

dunombrede faussesalarmes.Adéfautde aluleretteprobabilité, uneestimationdel'intégrale

peut être donnée, par exemple, par la méthode de MonteCarlo [Liu, 2001, Rubinstein, 1981 ℄ et

onduire à une estimation du

N F A

^{pour le modèle}

H ₀ ^′

^{. La méthode de détetion,} entièrement basée sur l'estimation de la probabilité (7.3.49) , serait alors diile à analyser théoriquement,

notamment pouren évaluer lesseuilsde détetion.Deplus, nousverrons danslasetion8.2,que

l'algorithme de minimisation du nombre de fausses alarmes doit être itéré un grand nombre de

fois.Il est donimportant de pouvoiroptimiserette minimisation.Danslasuitede l'étude,nous

onsidéronsuniquementlemodèleaontrariodéniparl'hypothèse

H ₀

^{,pourlequellenombrede}

fausses alarmesadéjàété déterminé7.3.4.

Nous avons exposé le modèle de détetion dans le as de la omparaison d'une image

unique àla labellisation de référene.Lagénéralisation auas multidimensionelestimmédiate en

onsidérant un veteur d'images. Cependant, l'absene éventuelle de données en ertains pixels

de l'image ou laprésene de données aberrantes surdiérents pixels selonles dates d'aquisition

néessitededénirlesdomainesimagesorrespondantsàhaquedateavantdedénir,setion7.4,

le nombrede fausses alarmespourdesséquenes d'images.

Dans le document Détection de changements et classification sous-pixelliques en imagerie satellitaire. Application au suivi temporel des surfaces continentales. (Page 121-127)