L'analyse de variane

Lemodèleaontrario(

H ₀ (m)

^{)quenousonsidéronsonsiste,enunsens,àsupposerque}

l'imagen'estpasstruturée(elleorrespondàunelasseunique)etàs'étonnerdeluidéouvrirune

struture signiative, orrespondant à la lassiation de référene. Finalement, ette approhe

reposesurl'étudedesvarianesintra-lasses(leserreursquadratiques)relativementàlavarianede

l'image.Cepriniperappelleeluide l'analysede variane(ANOVA) [Saporta,1990 ℄ouramment

utiliséeenstatistique.Dansettesetion,nousproposonsd'envisagerladétetiondehangements

sous laforme d'uneanalyse de variane dansle but de omparer les deux approhes (ANOVAet

N F A

^).

L'analyse de variane (ANOVA) est une famille de modèles statistiques développée par

R.A. Fisherdanslesannées1920-1930 dontl'objetif estd'étudierl'inuene d'unou deplusieurs

fateurssurunevariablequantitative.Cetteméthodeesttrèsutiliséedanslesdomainesbiologiques,

médiauxetpharmaeutiquespouranalyserlasigniativitédeseetsd'unoudeplusieursfateurs

(parexemple,destraitements)surautantd'éhantillons.Ilexistediérentstypesde modèlesselon

lenombredefateursétudiés,etlanaturedesmodalités assoiéesaufateur(onparledemodèle

àeets xes,aléatoiresou mixtes).Danstousles as,l'analyse devariane peut être vueomme

une omparaison multiple de moyennes de diérents éhantillons onstitués par les diérentes

modalitésdesfateurs.Pournotreétude,nousnousintéressonspluspartiulièrementauasoù un

seul paramètre (appelé fateur) est suseptible d'inuersur les donnéesétudiées. Supposons que

e fateur puisse admettre

k

^{valeurs diérentes (les} modalités). L'éhantillon de données global, de taille

n

^{,peut êtredéomposéen}

k

éhantillonsdetaille

n ₁

^,

n ₂

^,...,

n k

^{.Dansleasdumodèle}

à eets xes, les variables aléatoires qui modélisent les données orrespondant à la modalité

k

sont supposées indépendantes et de même loi

N (µ k , σ ² )

^{. L'objetif est alors de déterminer si la}

variabilité observée dans les données est uniquement due au hasard ou s'il existe eetivement

des diérenes signiatives entre les lasses, qui soient imputables au fateur. Il s'agitdon de

omparer les varianes empiriquesde haque éhantillonà lavariane de l'éhantillonglobal.

Le prinipe de laméthode de détetion de hangements quenous proposons est,en un

sens,assez prohed'uneanalyse de lavariane àeets xes,à unfateur. Cependant, e lien ne

peut êtreétabli quedansle ontexte où lalassiationet l'image observée (oulaséquene) ont

la mêmerésolution(i.e. sansproblème de désaggrégationde pixelsmixtes).En eet, leproblème

de la détetion de hangements HR peut être abordé en herhant à savoir si la lassiation

de référene a un eet sur l'image observée. Si la lassiation ontient

L

^{labels, l'image est}

onstituée d'unensemble de

L

éhantillonsde tailles

n ₁ , · · · , n L

orrespondanthaunàunlabel

donné.Chaquepixeldel'imageestassoiéàunseullabel,don

n 1 + · · · +n L = n

^,où

n

^{représentele}

nombretotalde pixels(l'éhantillonglobal).L'analysedelavariane(ANOVAà1fateur)permet

d'évaluer les eets des

L

^{labels, omme s'ils} orrespondaient à des traitements, sur les valeurs observées des

n ₁ , · · · , n L

^{pixels. Plus} préisément, l'analyse de la variane onsiste à tester si la variabilité observée dans les données est uniquement due au hasard ou s'il existe eetivement

des diérenes signiatives entre les éhantillons, expliables par la lassiation. Les variables

aléatoires modélisant les données orrespondantes à haque label sont supposées indépendantes

et demême loi

N (µ _l , σ ² )

^{pour lelabel}

l

^{.Il s'agitdeomparer lesvarianesempiriquesde haque}

éhantillon à la variane globale de l'image. Les varianes empiriques sont de deux types : la

varianeintra-lasses(

σ _intra ²

^)quidéritlavariabilitéàl'intérieurd'unemêmelasseetlavariane inter-lasses(

σ _inter ²

^{)quidéritlesdiérenesentreleslassesetpeut}éventuellementêtreexpliquée parla lassiation.Lavariane globalede l'image vaut

σ _intra ² + σ ² _inter

^{.Le test ANOVAonsiste}

à aepter l'eet de la lassiation sur l'image observée si le rapport pondéré de la variane

résiduelle (inter-lasses)sur la variane expliquée(intra-lasses) est signiativement trop grand.

Sous l'hypothèse

H ₀ : µ ₁ = . . . = µ _L ,

la variable

R = σ ² _intra /(L − 1) σ _inter ² /(n − L)

suitlaloideFisher

F (L − 1, n − L)

^{etletestANOVApermetderejeter}l'hypothèsenulled'égalité desmoyennes (i.e.d'aepter leseets delalassiation)quandle rapport

R

^{est tropgrandpar}

rapport auxquantiles de laloi

F (L − 1, n − L)

^.

Le modèle

N F A

^{déritsetion 7.2est déni àpartir de} l'hypothèse

H ₀

^{et lamesure}

δ

^.

Ensupposant quelalassiationetl'imageobservée sontde mêmerésolution(i.e. tousles pixels

sontpurs),l'erreurquadratique

δ ² (v D )

^{mesuréeentre}l'observationetsonestimationpeutêtrevue ommelavarianeinter-lassesdumodèleANOVA(varianerésiduelle).Ilrevientdonàomparer

la variane intra-lasses de haque éhantillon à la variane de l'éhantillon global (

δ ² (v D )/σ ²

⁾

alors quele prinipe de l'analyse de variane reposesur la omparaison des varianes empiriques

intra-lasses et inter-lasses à la variane de l'éhantillon global. Dans le adre de la détetion

de hangements à partir d'images BR, ette approhe n'est pas diretement utilisable. En eet,

l'analysede lavarianesupposede pouvoirdéomposerunéhantillonglobalendiérentsgroupes

dénis selon les modalitésdu fateur onsidéré (ii, selonles lasses). Cettedéompositionn'est

pas possibleà partir de donnéesBRdanslamesureoù lavaleur en haquepixelrésulte alorsdes

ontributions de plusieursmodalités.

Lamodélisationaontrarioaprouvésoneaitédansleadrede diversesappliations

de détetion(f.[Desolneux etal.,2003,Dibos et al.,2005 ,Cao et al.,2005℄).Sonutilisationest

motivée en grande partie par le fait qu'elle onduise à des méthodes de détetion réduites à

un unique paramètre :le nombre moyen de fausses détetion autorisé. L'objetif de ette partie

est d'explorer sonpotentielpour ladétetion de hangements de taillesous-pixelliqueà partir de

séquenesd'images.Pourela,nousommençonsparaborderertainsaspetsnumériquesliésàla

miseenoeuvredumodèleaontrariodéniauoursdeehapitre(f.hapitre8).Enpartiulier,

nousdérivonsles algorithmesmonotemporeletmultitemporeladoptéspourlareherhedu

sous-domainespatialsur lequellaséquene d'imagesest laplusohérente avelalabellisation.

La méthode de détetion de hangementsque nous proposons est basée sur la

dénition d'un ritère appelé nombre de fausses alarmes pour lequel nous onstruisons un

algorithmesuivantleprinipedel'éhantillonnagealéatoire(RANSAC)introduitenanalyse

d'images par [Fishler et Bolles,1981℄.

8.1. Problématique

EtantdonnéesunelabellisationHRetuneimageouuneséqueneBRdelamêmesène,

le nombre de fausses alarmes est déni, dans le as monodimensionnel, pour tout sous-domaine

spatialdu domaineimage par

N F A( | D | , δ(v D ), σ) = |D

^BR

| C _|D ^{| D |}

BR

| Γ inc ( | D | − |L|

2 , δ(v D ) ² 2σ ² ),

où, pour tout

x ≥ 0

^et

a > 0

^,

Γ inc (a, x) = _Γ(a) ¹ R x

0 e ^{− t} t ^{a − 1} dt

^{. Dans le as} multitemporel, une expression analogue est obtenue pour tout sous-domaine spatio-temporel (f. proposition 7.4.2).

Un sous-domaineest alors déteté omme ohérent aveune labellisationdonnée s'ilorrespond

au sous-domainequiminimisele

N F A

^{.Cedernierdépendde lataillede l'image BR,dunombre}

de labels, de la tailledu sous-domaine

D

^{onsidéré, de} l'éart-type du modèle naïf et du résidu quadratique umulésure sous-domaine

δ ² (v _D ) = X

y ∈ D

v(y) − X

l ∈L

α _l (y)µ(l)

! 2

.

Lehoixde l'éart-typedumodèlenaïfestdisutédanslasetion7.3,ilestxé égalàlavariane

empirique de l'image BR. De ette manière, nous nous attendons, en partiulier, à e que la

méthodenedéteteriendansuneimagedebruitblan.Touslesparamètresdu

N F A

s'obtiennent don diretementàpartir desdonnées,à l'exeptiondurésiduquadratiqueumuléquidépend de

lafamille

{ µ(l) } l ∈L

^{desmoyennesdeslasses,inonnueapriori.Ilestalorsnéessaired'estimerles}

moyennes

µ(l)

aratéristiquesdehaquelabel

l

^{avantde pouvoiralulerlesrésidus}quadratiques pourunsous-domaineonsidéré,puisle

N F A

^{quiluiest assoié.}L'estimationde ettefamillede paramètreset de la détetion sont deux problèmes étroitement liés dans le sens où laqualité de

l'estimationinuene nettementellede ladétetion.

Lesméthodeslassiquesd'estimationtellesquelaméthodedesmoindresarrésherhent

à optimiser, pour une distane donnée, l'adéquation entre un modèle déni et les données. Par

exemple, laméthode desmoindresarrésestimeraitlafamille

µ

^{en résolvant leproblème}

min

µ ∈R ^L

X

y ∈ D

v(y) − X

l ∈L

α l (y)µ(l)

! 2

.

Cetypedeméthodesestextrèmementsensibleàlaprésenedepointsaberrantsdanslamesureoù

leurobjetifestdes'approherautantquepossibledelatotalitédel'éhantillon,partantduprinipe

qu'ilyauratoujoursassezdebonnesvaleursdansl'éhantillonpourmoyennerl'eetdeséventuelles

grandes déviations.Laprésened'un simplepoint aberrant quiseraitloinde lasolutionsuraità

biaiserfortementle résultatnal.Dans leontextede ladétetionde hangements en partiulier,

les pixels orrespondants à des hangements jouent le rle de points aberrants dans le sens où

leur utilisation pour l'estimation des moyennes risque de la perturber fortement. Les méthodes

robustes, tellesque les M-estimateurs,LMedSou RANSAC ont été introduitesdans l'objetif de

fairefaeàeproblème.LaméthodedesM-estimateurs[Zhang et al.,1994℄,parexemple,permet

une bonne estimation, même en présene de

50%

^{de pixels inorrets, en pondérant la distane}

onsidérée. Le hoix de la pondération reste, ependant, déliat à déterminer. Le prinipe de la

méthode RANSAC (Random Sampling Consensus), proposée par [Fishleret Bolles,1981℄, est

d'utiliser un sous-ensemble de l'éhantillon aussi petit que possible et de le ompléter ave des

données onsistentes lorsque 'estpossible plutt que d'utiliserle plusde données possibles pour

obtenir une solutionetd'en éliminerensuite les mauvais points. Pluspréisément,supposons que

l'on séletionne au hasard un sous-ensemble desdonnées et que nous estimions les paramètres à

partirdeesous-ensemble.Parhane, ilpeutarriverquelesous-ensembleonsidéréneontienne

auun point inorret, l'estimation des paramètres est alors orrete est permet de partitionner

l'ensemble des données entre points orrets et inorrets. La stratégie RANSAC est basée sur

l'idée selon laquelle répéter ette proédure d'éhantillonnage aléatoire un grand nombre de fois

doitpermettred'obtenirunesolutionsatisfaisante.Cetteapprohe,introduiteenanalysed'images

par[Fishler etBolles,1981℄,permetunebonneestimationmêmeenprésenedenombreuxpoints

inorrets (environ

50%

^{).Cependant, elleest limitée,à sontour,parlehoix arbitraired'un seuil}

à partir duquel déiderqu'unsous-ensembleest en adéquationave lemodèleonsidéré.

Parailleurs,laminimisationdu

N F A

^{néessiteidéalement}l'explorationombinatoirede tous les sous-domaines de l'image. Cette reherhe exhaustive n'est ependant pas envisageable

en pratiquedanslamesureoù,mêmepouruneimagettede

256

^{pixels,ilfaudraitanalyser}

2 ²⁵⁶ ≃ 1, 15.10 ⁷⁷

sous-domaines, alors que les images réelles ontiennent plutt de l'ordre de

10 000

pixels haune. En remarquant que les sous-domaines pour lesquels l'estimation des moyennes

est meilleure sonteux pour lesquels les résidusquadratiques sont minimaux, nousproposons de

restreindre l'explorationaux sous-domainesséletionnésdans l'esprit de lastratégieRANSAC.

L'algorithme que nous adoptons pour la détetion repose don sur la ollaboration

entre le prinipe d'éhantillonnage aléatoire que nous venons de dérire et le ritère

probabi-liste du nombre de fausses alarmes déni dans le hapitre 7 de manière à s'aranhir du hoix

d'un seuil arbitraire de déision lors de la phase d'estimation des paramètres tout en réduisant

le nombre de sous-domaines à tester. Une ollaboration de e type a déjà été mise en oeuvre

par[Moisan etStival, 2004 ℄ pour ladétetion de rigiditéet l'estimationde lamatrie

fondamen-tale en vision stéréosopique. Cette méthode permetla détetionde rigiditéet l'estimationde la

matrie fondamentale lorsque les données ontiennent jusqu'à

90%

^{de points aberrants,}

perfor-manes très supérieures à elles obtenues jusqu'à présent par les meilleures méthodes robustes

dansunontextesimilaire[Torret Murray,1997 ,Salvi etal.,2001 ℄.Dansleadredenotreétude,

le

N F A

^{permetd'évaluer le degré de} signiativitéd'un sous-ensemblerelativement àune label-lisation,etde déiderainsisilesous-ensembleleplussigniatiftrouvé parl'algorithmepeut être

onsidéré ommesigniativementohérentavelalabellisation(

N F A << 1

^{) ou sie niveaude}

ohérene aurait puêtreobtenu parhasard.

Dans un premier temps, nous présentons setion 8.2 les algorithmes de détetion dans

les as monodimensionel et multidimensionnel, i.e. selon le nombre d'images BR utilisées. La

setion8.3abordeleproblèmedunombred'itérationsàeetuer,enpratique,demanièreàgarantir

une détetion ontenant un minimum de fausses alarmes. Pour nir, la setion 8.4 présente une

stratégiede séletionde sous-systèmesen vued'optimiser l'algorithme.

8.2. Algorithme

L'algorithme que nous proposons pour minimiser le

N F A

^{repose sur une} exploration aléatoire dessous-domainesde l'image BR,gouvernée parlastratégied'éhantillonnagealéatoire

adoptéepourl'estimationdesmoyennesdeslasses(f.8.1).Mêmesilesapprohes

multidimensio-nelleetmonodimensionellessonttrèsprohes,lefaitqu'unpixeldonnénesoitpasnéessairement

valide àtoutes les dates, dansle as multidimensionel, néessiteune approhe partiulière. Nous

présentons don, danslasetionsuivante,l'algorithmemonodimensionelavant d'aborderertains

aspetsspéiques aumultidimensioneldanslasetion8.2.2.

8.2.1. Cas monodimensionnel

Avant de reherher ledomainequi minimisele nombrede faussesalarmes,le alul du

N F A

^néessitel'estimationdesmoyennesdeslasses.Dansl'espritdelastratégied'éhantillonage aléatoire évoquée setion 8.1, nous proposons, à haque itération, de séletionner

L

^{pixels du}

domaine image, et d'estimer les moyennes

µ

^{à partir des valeurs de es}

L

^{pixels. Le système à}

résoudre, alorsbien déterminé,est forméde

L

^{équations de type}

v(y) = X

l

α _l (y)µ(l),

pourlesquellesles observations

v(y)

^etlesproportionsde haquelabeldanslepixel

y

^,

α l (y)

^,sont

onnues. Cesystèmeétantdéterminéàpartirdutiragealéatoirede

L

^{pixels dansl'image,rienne}

garantit qu'il soit numériquement inversible (les

L

^{labels ne sontpas} néessairement représentés parespixels).Dans l'objetifde pouvoir traiteraussiles systèmesnon-inversibles,nous utilisons

laméthode de déompositionen valeurs singulières(SVD f.[Presset al.,1988 ℄)pourestimer la

famille

{ µ(l) } l ∈L

^{quiorrespondà}l'observationdes

L

^{pixels.Cependant,nousverronsSetion8.4}

que la restritionde l'étude aux systèmes inversibles (et bienonditionnés) permet d'aélérerle

tempsde alul,lessystèmesnoninversiblesne onduisantgénéralementpas au

N F A

^minimum.

Une méthode derésolutiontelle queladéompositionLUest alorsplusindiquée.

La dénition du

N F A

^{repose sur la} probabilité, pour un sous-domaine

D

^{, d'observer}

une erreur quadratique partiulièrementfaible sous l'hypothèse

H ₀

^{(modèlenaïf). Unefois ette}

famille de moyennes estimée, l'erreur quadratique obtenue entre l'observation et l'estimationest

don aluléeen haque pixel

y

^{dudomaine, soit}

r(y) = v(y) − X

l ∈ L

α _l (y)µ(l)

! 2

.

Le aluldu

N F A

^assoiéàunsous-domaine

D

^{sefaitalorsdiretementàpartirdes paramètres}

liés aux images entrées et de la somme des erreurs quadratiques obtenues pour tous les pixels

de

D

^{.Cependant, la} propositionsuivante permetd'optimiser lareherhedu

N F A

^{minimum en}

remarquant que, pouruneimagedonnée, le

N F A

^{nedépendpas diretementd'un} sous-domaine

D

^{mais seulement de son ardinal et, de manière monotone, des erreurs} quadratiques umulées sur le sous-domaine

D

⁽

P

y ∈ D r(y)

^).

Proposition 8.2.1 Notons, pour

D ⊂ D

^BR,

δ ² (v D ) = P

y ∈ D r(y)

^{. Si}

D

^BR

= { y i } i=1... |D

^BR

|

^et

pour tout

(y _i , y _j ) ∈ D ²

BR

,on a

i ≤ j ⇔ r(y _i ) ≤ r(y _j )

^,alors

arg min

D ⊂D

^BR

|D|=q

N F A( | D | , δ(v _D ), σ) = { y ₁ , · · · , y _q } .

Démonstration.

Si

r

^{est ordonnéalors pour tout}

D ∈ D

^BR,

δ ² (v D ) ≥ δ ² (v _{{ y 1 ,y 2 , ··· ,y |D| }} )

^{. Lafontion}

N F A

^étant

roissanteen

δ

^{,sonminimum estobtenu pourle} sous-domaine

{ y ₁ , · · · , y q }

^.

2

En triant les résidus quadratiques par ordre roissant, il sut don de onsidérer haque

sous-domaine dansl'ordrede sesrésiduspour minimiserle

N F A

^{.En eet, rappelonsque ladénition}

du

N F A

^{assoié à un} sous-domaine

D

^{repose sur la} probabilité que le résidu umulé observé soit partiulièrementfaible pour l'hypothèse aontrario(

H ₀

^{), i.e.inférieure àunertain}

δ ²

^{,et si}

δ ² ₁ < δ ² ₂

^{, alorsla}probabilitéque lerésiduumulé soitinférieur à

δ ₁ ²

^{estinférieure àellequ'ilsoit}

inférieur à

δ ₂ ²

^.

L'itération de e proessus un grand nombre de fois permet une exploration aléatoire

des sous-domaines, et la reherhe du

N F A

^{minimum se faitsur toutes es} itérations. Le sous-domainequiminimisele

N F A

^{estalorseluiquiestleplusohérentavela}labellisation,i.e.elui quirejette lemieuxl'hypothèse naïve.L'algorithme3utilise,en entrée, unelabellisationHR, une

image BR, et admet pour unique paramètre le nombre totald'itérations. Il permetd'obtenir, en

sortie,lesmoyennesdeslassesassoiéesau

N F A

^{minimalobtenu,lavaleurdu}

N F A

^minimalet

lesous-domaine

D ⊂ D

^BRorrespondantau

N F A

^{minimal,i.e.pourlequell'imageestohérente}

ave lalabellisation.

Assigner

σ

^àl'éart-type de l'image.

Initialiser

δ _min ²

^et

N F A _min

^à

+ ∞

^.

Itérer

N

^fois

1. tireruniformément etindépendament

L = |L|

^pixels

y

^de

D

^BR,

2. estimerlafamille

µ

^{desmoyennes des labels àl'aidedeséquations}

v(y, µ) = X

l ∈L

α l (y)µ(l),

formées poures

L

^pixels,

3. alulerl'erreurquadratique

r(y) = (v(y) − P

l ∈L α _l (y)µ(l)) ²

^,pourtout

y ∈ D

^BR,

4. trier

D

^{BR en un veteur}

(y _i ) _{1 ≤ i ≤|D}

BR

|

^{selon l'ordre roissant des erreursobtenues}

r(y _i )

^:

les

L

^{premièresaumoinssontnulles.}

5. initialiser

δ ² = P L

i=0 r(y i )

^(i.e.

δ ² = 0)

^,

6. pour haque indie

i = L + 1

^à

i = |D

^BR

|

^,

ajouter à

δ ²

^{l'erreurrésiduelle}

r(y i )

^dupixel

y i

^,

si 'est laplus petitevaleur obtenue sur toutesles itérations, à taillede domainetesté

égale( si

δ ² < δ ² _min [i]

^{), alors}

mettreàjour

δ _min ² [i]

^,

aluler lavaleurdu

N F A

orrespondante,

si e

N F A

^{est lemeilleurobtenujusqu'àprésentpourundomainedeette taille,(si}

N F A[i] ≤ N F A min

^{) alors}

mettreà jour

N F A min

^etsauvegarderl'ensemble

D = { y _k } k=1..i

^.

n si

nsi

7. npour

nitérer

Algorithme 3: Minimisationdu

N F A

^dansleas monodimensionnel.

8.2.2. Cas multidimensionnel

L'expression multidimensionnelledu nombre de fausses alarmes (7.4.53) est analogue à

elle obtenue dansle as monodimensionnel. Cependant, il n'est pas envisageable d'adopter une

approhe séquentielle (omparaisondes

N F A

^{minimauxobtenus séparément ave}l'algorithme3 pour haque image) pourdéteterles hangements sur une séquene d'images.En eet,le

sous-domainespatialorrespondantàl'argumentdu

N F A

^{minimalaluléséparémentpourhaquedate}

n'estpasrévélateurdeshangementsquiapparaissentsurlesautresimagesdelaséquene.Cetype

d'approhe pourrait davantage êtreutilisédans le but de déterminer quelleimage de laséquene

est la plus ohérente ave la labellisation de référene que pour la détetion de hangements

dans unadre spatio-temporel,où deshangements sontsuseptiblesde seproduire àdiérentes

dates sansêtrevisiblessurlesautresaquisitions.Toutefois,unraisonnementsurl'intersetiondes

domaines les plussigniatifs obtenus séparément à haquedate pourrait êtreenvisagé,bien que

lourd àmettreenoeuvrelorsquel'ensembledespixelsvalidesestdiérentàhaquedate.Deplus,

dans leontexte de ladétetion de hangements de type d'oupationdu sol,ilest néessairede

onsidérer l'évolution temporelle des intensités et, don, d'analyser la séquene multitemporelle

dans son ensemble plutt que séparément pour haque date. Par onséquent, nous proposons

d'utiliser l'expressionmultidimensionnelledu

N F A

^{dans leadre d'uneapprohe vetorielle pour}

déteter le domaine spatio-temporel des hangements. Plus préisément, il s'agit de onsidérer

haque point de la grille spatiale de manière vetorielle, et de minimiser le

N F A

^{à partir des}

diérenesvetorielles.Danse as,siunpixelestinorretsuruneimage, ilestrejetépourtoute

la série.

L'approhe vetorielle peut aussi être utilisée, par exemple, pour les images

multispe-trales où haque image admet le même domaine de dénition. Dans le as multitemporel, pour

une date onsidérée, lavaleur observée n'est généralement pas utilisableou aessible pour tous

les pixelsdu domaine. Deplus, l'ensembledes pixelspour lesquels les valeurs sontaberrantes ou

manquantes varieselonles datesd'aquisitions.L'approhevetoriellene peut donpasêtremise

en oeuvrediretementàpartirde l'algorithme3dansleas de séquenestemporelles,àmoinsde

restreindrel'étudeaudomainespatialsurlequellesvaleursaquisessontvalidesàtouteslesdates.

Ledomained'analyserisquealorsd'êtreonsidérablementréduit.Enrevanhe,nousproposons(f.

algorithme4) une variante de l'algorithme3 adaptée à l'utilisationd'un domainespatio-temporel

restreint aux pixelsorrets,domainevariableselonles dates etpixels onsidérés.

Dans et objetif,rappelons les notationsde la setion7.4pour dénirles domainesde

validité. Si

T

^{représente l'ensemble des dates} d'aquisition des images de la séquene, et

D

^BR

le domaine image, le domaine spatio-temporel sur lequel les données sont valides est alors un

sous-domaine de

D

^BR

× T

^{, noté}

Ω

^{.Notre objetif est alors de déteter dans quel} sous-domaine spatio-temporel

ω

^{du domaine valide}

Ω

^{la séquene d'images BR est enore ohérente ave la}

labellisation haute résolution. L'algorithme est très prohe de l'algorithme 3 dérit pour le as

monodimensionnel, ave quelques diérenes spéiques prinipalement dûes au fait que les

do-maines spatiaux validesne soientpas identiques àhaque date.Pour tout pixel

y ∈ D

^BR,notons

Dans le document Détection de changements et classification sous-pixelliques en imagerie satellitaire. Application au suivi temporel des surfaces continentales. (Page 132-0)