Maximum a posteriori

4. Problématique 59

5.2. Maximum a posteriori

Dans ette setion, notre objetif est de déterminer laprobabilité a posteriorid'obtenir

une ertainelabellisation étantdonnée uneséquene d'images observée àbasserésolution etune

segmentation haute résolution. La maximisation de ette probabilité permettra alors de générer

une labellisationsous-pixellique (àhaute résolutionspatiale).

Ave le modèle linéaire de mélange (f. Setion 5.1), la mesure observée au sein d'un

pixelbasserésolutionest expriméeen fontiondutauxd'oupationde haque labeldansle pixel

d'intérêtetdesmoyennesaratéristiquesdesdiérentslabels.Dansl'objetif d'attribuerunlabel

à haque région de la segmentation, onsidérons

β k (y)

^la ^proportion ^de ^la ^région

k

représentée par le pixel

y

^. ^Pour ^tout ^label

l ∈ L

^,^la ^proportion ^du^label

l

^dans ^le ^pixel

y

^est ^alors ^égale ^à ^la

sommedesproportions de touteslesrégionsde label

l

^présentées^dans^le ^pixel

y

^,^soit

α l (y) = X

k ∈ S λ k = l

β k (y) ,

^(5.2.8)

où

S

^représente^le^nombre^de^régions^existantes^dans^lasegmentationet

λ _k

^le^label^de^la^région

k

Nous supposons quele nombre

L

^des^diérents ^types^d'oupation ^du ^sol ^présents ^sur ^la^surfae

géographique étudiée estonnu.

Laprobabilitéd'observer

v

^sahant ^lalabellisation

λ

^dérit^les^proessusd'observationet d'aquisitiondesdonnées.Pourladéterminer,noussupposonsque,pourtout

t

^,^le^hamp^aléatoire

U t

^sur ^le ^domaine ^haute ^résolution

D

^HR ^est ^gaussien onditionnellement à la labellisation haute résolution. Pour toute date

t

^,^le ^type ^d'oupation ^du^sol ^de ^label

l

êst âlors âratérisé ^parûne

distribution gaussiennede moyenne

m t (l)

^et ^de ^variane

var t (l)

^. ^La^variane

var t (l)

^modélise ^la

variabilitéintrinsèqued'unelassedonnée.Cettehypothèseestourammentutiliséedansleasdes

donnéesde télédétetionoptiques.Lesmesuresaquises parlesapteurshauteetbasserésolution

étant liéesparunopérateur de moyennage (i.e. l'image

V t

^orrespond ^à^la ^moyenne ^par ^blos^de

l'image

U _t

^), ^la^variable^aléatoire

V _t (y)

^est ^aussi^gaussienneonditionnellementàlalabellisation.

Engénéral,lesimagesaquisesàbasserésolutionomportentdenombreuxpixelsmixtes,

latailledesobjetsd'intérêtétantsouvent pluspetiteque lasurfae représentée danslehamp de

vision d'un pixel. Il estalorsdiilede faireune hypothèse de régularitéspatialeentre pixels BR

voisins.Paronséquent,noussupposonsquelesobservationsBRsontspatialementindépendantes

onditionnellement àla labellisation.Les observations HR,quantà elles,ne sontpas onsidérées

diretement mais uniquement à travers les mesures BR. Elles sont don à leur tour supposées

indépendantes onditionnellement à la labellisation. La distribution de la loi a priori est alors

déterminéeparlaproposition5.2.1.

Proposition 5.2.1 Soient

s

^unesegmentationet

(β _k ) _k _∈S

^les^images^deproportionsBRassoiées.

Supposons que, pour toute date

t ∈ T

^et ^tout ^pixel

x ∈ D

^HR^, ^la ^variable ^aléatoire

U t (x)

^suit,

onditionnellementàunelabellisation

Λ = λ

^,^une^loi^normale^de^moyenne

m t (λ _s(x) )

^et^de^variane

var t (λ _s(x) )

^.^Sous^hypothèsed'indépendanedesvariables

(U t (x)) x ∈D

^HR^,^la^densité^a^priori^de

V t (y)

onditionnellement à

Λ = λ

^vaut ^alors

f _V _t _(y) _| _Λ (v t (y) | λ) = 1

permetd'exprimer l'intensitéobservée souslaforme:

(V _t (y) | Λ = λ) = X

où

N l (y)

^représente^le^nombre^de^pixels

x ∈ D

^HR ^de ^label

l

^présents^dans^le^pixel^basse^résolution

y

^et

{ x ∈ y }

^désigne ^l'ensemble ^des ^pixels ^haute ^résolution représentés au sein du pixel

y

^. ^La

variable

(V t (y) | Λ = λ)

^est ^don ^gaussienne ^en ^tant ^que ^mélange ^de ^variables gaussiennes. Sa moyenne vaut

Demême,lavarianeestaluléeàpartirdel'équation (5.1.6)et,grâeàl'hypothèse

Remarquons que les moyenne et variane dépendent alors du pixel basse résolution onsidéré,

à travers sa omposition en terme des diérents types d'oupation du sol. La dépendane à la

labellisationsemanifestealorsuniquementparl'expressiondumélangedeslabelsauseindespixels

basserésolution.

Supposons, de plus, l'indépendane temporelledes observations onditionnellementà la

labellisation.Si ette hypothèse semble peu réaliste, elle est ourante dans la littérature dans la

mesureoù l'estimationdes orrélationsroiséesentre les diérentes dates onsidéréesest diile

àréaliseretnéessiteraitunephased'apprentissageoulapriseen ompted'un apriorisurleprol

temporeldesdiérentstypesd'oupationdusol.D'unpointde vuethéorique lapriseen ompte

desorrélationstemporellesn'engendre pasde diultépartiulière. Ellesemanifestesimplement

sous la forme d'une matrie de ovariane non diagonale. Cependant, l'estimation des termes

de ovariane temporelle risque alors de sourir du phénomène de Hughes selon lequel, pour un

nombrelimitéd'éhantillons,laqualitédel'estimationdéroîtlorsqueladimensionaugmente.Dans

notreas,lenombredetermesde ovarianeàestimerdevientrapidementtrèsgrandrelativement

à la taille de l'éhantillon onstitué par les images BR. Si l'estimation d'un plus grand nombre

de paramètres (les termes non-diagonaux) permet de diminuer le biais de l'estimateur, elle en

augmente la variane (i.e. l'erreur stohastique). Il est don néessaire de faire un ompromis

entre esdeux typesd'erreurs.

Sous es hypothèses, la densité de probabilité d'observer une mesure

v

^est déterminée, onditionnellement àlalabellisation,par

La moyenne du hamp aléatoire

V

onditionnellement à lalabellisationest alors, pour tout pixel

y

^, ^notée

µ(λ, y)

^. Êlle ôrrespond âu ^veteur ^des ^moyennes

(µ t (λ, y)) _y,t

^. ^Quant ^à ^la ^matrie ^de

ovariane, elle est diagonale grâe à l'hypothèse d'indépendane temporelleet elle peut s'érire

souslaforme

σ ² (λ, y)I T

^,^où

σ ² (λ, y) = σ _t ² (λ, y)

y,t

^et

I T

^désigne^la^matrie^identité^en^dimension

T

Nous proposonsde onsidérerle ritèreduMaximumAPosterioripour estimerla

on-guration optimale du hamp deslabels

Λ

^onnaissant ^la ^séquene d'observation

v

^. ^Notons

λ ^∗ = (λ ^∗ ₁ , . . . , λ ^∗ _S )

^la labellisation optimale, où la

k

^ième ^oordonnée ^représente ^le ^label ^de ^la

k

^ième

région.

Enl'absened'informationontextuelleliéeàlasèneobservée,noussupposonsquetous

les labels ont lamêmeprobabilité d'ourene. Enpratique, ette hypothèseest peu réaliste. Par

exemple,unlabelreprésentantunelassetellequel'eauestgénéralementtrèsminoritairedansune

sène rurale. Dans lalittérature, un formalismemarkovien pour le hamp des labels est souvent

adopté pour modéliser les interations entre pixels voisins sous la forme d'énergies loales dans

l'objetifdefavoriserl'explorationdeertainessolutionsquiorrespondentàunapriorisurl'image

deslabels(f.[Gemanet Geman, 1984,Kasetkasem etal.,2005 ℄).Dansnotreas,unehypothèse

de régularitéspatialeestdiileàenvisagerpuisquelespixelsbasserésolutionontiennentapriori

plus d'un objetd'intérêt (pixels mixtes).Cependant, l'utilisationd'une segmentation HR permet

de ontraindrel'explorationdeshampsde labels.

Ces hypothèses permettent d'obtenir, avelaproposition5.2.2, l'expressionde la

label-lisation optimale en fontion de l'observation, des moyennes et varianes de haque label et des

taux d'oupationde haque région auseinde haque pixel.

Proposition 5.2.2 Sous les hypothèses de normalité et d'indépendane de la proposition 5.2.1,

la labellisationoptimale ausens duMaximumAPosterioriest déterminéepar

λ ^∗ = arg min

D'après larèglede Bayes, ladensitéde probabilitéa posterioris'érit

f _Λ| _V _=v (λ | v) = f _V _| _Λ (v | λ) f _Λ (λ)

f _V (v) .

^(5.2.17)

La densité

f V

êst ûne ônstante ^pour ^le ^problème ^de maximisation onsidéré. De plus, l'hypo-thèse d'équidistribution des labels dans l'image implique que

f _Λ

^ne ^joue ^alors ^pas ^de ^rle ^sur ^la

maximisation.Par onséquent,

arg max

λ ∈ L ^S f _Λ _| _V _=v (λ | v) = arg max

λ ∈ L ^S f _V _| _Λ=λ (v | λ)

^(5.2.18)

et lalabellisationoptimaleest alorsdéterminée par

λ ^∗ = arg max

2

Avel'hypothèsed'équidistribution deslabelsdansl'image,remarquonsqueleritèreduMAPest

équivalent au ritèredu maximum de vraisemblane. La résolutiondu problème (5.2.16) onduit

alors à une labellisation optimale au sens du Maximum A Posteriori ou du maximum de

vrai-semblane. Elle est, ependant, onditionnée par la onnaissane des moyennes et varianes

a-ratéristiques des diérentes lasses d'oupation du sol présentes sur la surfae onsidérée. En

pratique, si les moyennes et varianes aratéristiques des lasses sont onnues a priori, une

so-lution de (5.2.16) peut être obtenue par un proessus d'optimisation global. On parle alors de

méthode de lassiation supervisée. Lorsqu'elles sont inonnues, ellespeuvent être estimées au

lduproessus d'optimisationgrâeau modèle linéairede mélange,au prixd'un tempsde alul

plus important.

En général, les aratéristiques des lasses sont inonnues : elles dépendent des dates

d'aquisition, des onditions atmosphériques, de la roissane de la végétation à une éhelle

lo-ale (le yle phénologiqued'une même ulture n'est pasnéessairement identique sur deux sites

géographiques distints),et. Uneméthode de lassiation non-supervisée semble alorsplus

ap-propriée. Lesaratéristiquesdeslassespeuvent alorsêtreestiméesàpartirdumodèlelinéairede

mélange, onnaissant les proportions des diérentes lasses au sein de haque pixel. Cependant,

si les moyennes des lasses peuvent être estimées en un temps raisonnable lors du proessus de

minimisation,parexempleaumoyend'unerégressionlinéaire,l'estimationdesvarianesde lasses

est plussensible etoûteuseen tempsde alul.

Paronséquent,pouruneapprohenon-supervisée,nousproposonsdenousaranhirdu

problème de l'estimationdes varianes deslasseset de sa robustesseen supposant unevariane,

σ ²

^,^égale^pour^toutes^les^lasses.^Cette^hypothèseônduit^àûne^varianeônstante^pour^tout^pixel

basserésolution.Leorollaire5.2.3permetde déterminerlalabellisationoptimaleorrespondante.

Corollaire 5.2.3 Sous leshypothèsespréédentes, lalabellisation optimaleausens duMaximum

APosterioriestdéterminée par

λ ^∗ = arg min

λ ∈L ^S

X

t ∈T

X

y ∈D

^BR

(v t (y) − µ t (λ, y)) ² .

^(5.2.19)

Démonstration.

Si lesvarianes de tousleslabels sontégales,alorsla variane d'un pixelbasserésolutionvaut

σ ² _t (λ, y) = 1 N

X

l ∈L

α l (y)σ ²

= σ ² N

X

l ∈L

α l (y)

= σ ²

N .

D'après laproposition5.2.2,lalabellisationoptimale vaut alors

l'énergieassoiéeàunelabellisation

λ

^et^une^séquene^d'images

v

^onsidérée^dans^le^problème^{(5.2.19) .}

D'après quelques statistiqueseetuées sur des données réelles (SPOT/HRV), ette hypothèse

ne semble pas aberrante dansla mesure où les diérentes lasses sontgénéralement de variane

prohe à l'exeption de la lasse 'eau' dontla variane est très faible.Cependant, la lasse'eau'

peut être nettement distinguée des autres lasses par sa radiométrie et une sur-estimation de la

variane n'estalorspas nuisibleàlalabellisation.

Dans lasetion5.3, nousétudions les solutionsduproblème (5.2.19)et nousnous

inté-ressons àl'inuenede labasserésolutionsur essolutions.

Dans le document Détection de changements et classification sous-pixelliques en imagerie satellitaire. Application au suivi temporel des surfaces continentales. (Page 76-81)

4. Problématique 59

5.2. Maximum a posteriori

β k (y)

k

y

l ∈ L

l

y

l

y

α l (y) = X

k ∈ S λ k = l

β k (y) ,

S

λ k

k

L

v

λ

t

U t

D

t

l

m t (l)

var t (l)

var t (l)

V t

U t

V t (y)

s

(β k ) k ∈S

t ∈ T

x ∈ D

U t (x)

Λ = λ

m t (λ s(x) )

var t (λ s(x) )

(U t (x)) x ∈D

V t (y)

Λ = λ

f V t (y) | Λ (v t (y) | λ) = 1

(V t (y) | Λ = λ) = X

N l (y)

x ∈ D

l

y

{ x ∈ y }

y

(V t (y) | Λ = λ)

v

V

y

µ(λ, y)

(µ t (λ, y)) y,t

σ 2 (λ, y)I T

σ 2 (λ, y) = σ t 2 (λ, y)

y,t

I T

T

Λ

v

λ ∗ = (λ ∗ 1 , . . . , λ ∗ S )

k

k

λ ∗ = arg min

f Λ| V =v (λ | v) = f V | Λ (v | λ) f Λ (λ)

f V (v) .

f V

f Λ

arg max

λ ∈ L S f Λ | V =v (λ | v) = arg max

λ ∈ L S f V | Λ=λ (v | λ)

λ ∗ = arg max

2

σ 2

λ ∗ = arg min

λ ∈L S

X

λ _k

U _t

V _t (y)

(β _k ) _k _∈S

m t (λ _s(x) )

var t (λ _s(x) )

f _V _t _(y) _| _Λ (v t (y) | λ) = 1

(V _t (y) | Λ = λ) = X

(µ t (λ, y)) _y,t

σ ² (λ, y)I T

σ ² (λ, y) = σ _t ² (λ, y)

λ ^∗ = (λ ^∗ ₁ , . . . , λ ^∗ _S )

λ ^∗ = arg min

f _Λ| _V _=v (λ | v) = f _V _| _Λ (v | λ) f _Λ (λ)

f _V (v) .

f _Λ

λ ∈ L ^S f _Λ _| _V _=v (λ | v) = arg max

λ ∈ L ^S f _V _| _Λ=λ (v | λ)

λ ^∗ = arg max

σ ²

λ ^∗ = arg min

λ ∈L ^S

(v t (y) − µ t (λ, y)) ² .

σ ² _t (λ, y) = 1 N

α l (y)σ ²

= σ ² N

= σ ²