Repr´esentation des fonctions bilin´eaires

Dans cette section, nous nous int´eressons aux fonctions bilin´eaires born´ees, lesquelles interviennent dans l’´enonc´e du th´eor`eme de Lax–Milgram (th´eor`eme 8.4).

D´efinition 7.5 (Caract`ere born´e d’une fonction bilin´eaire).

Une fonction f ∶E→F →R est born´ee ssi

∃C ∈R, ∀x∈E, ∀y∈F, ∣f(x, y)∣ ≤C∥x∥_E∥y∥_F. C est appel´ee constante de continuit´e def.

Ensuite, nous d´emontrons un r´esultat-clef de repr´esentation n´ecessaire `a la preuve du th´eor`eme de Riesz-Fr´echet (th´eor`eme 8.2) et assurant que toute forme bilin´eaire born´ee de E∶NormedModulepuisse ˆetre repr´esent´ee par une fonction lin´eaire continue

`a valeurs dans le dual topologique de E :

Lemme 7.6. Repr´esentation des formes bilin´eaires born´ees

Soit a ∶ E → E → R. Supposons que a est bilin´eaire et born´ee. Alors, il existe une unique fonction A de type clm E E^′ telle que

∀u, v∈E, a(u, v) = (A(u))(v).

Nous n’entrons pas dans les d´etails de la d´emonstration mais remarquons qu’elle pr´esente quelques difficult´es. En effet, apr`es avoir exhib´e la fonction A, il faut d’une part prouver qu’elle est lin´eaire et continue, puis prouver que son application partielle `a son premier argument est-elle mˆeme lin´eaire et continue (´el´ement du dual topologique).

Le lemme 7.6 est la derni`ere brique d’une s´erie de d´efinitions et r´esultats g´en´eriques sur les espaces de Hilbert et les espaces de fonctions. Dans le chapitre suivant, nous pr´esentons des r´esultats `a la fois plus pointus et plus sp´ecialis´es, ayant pour objectif la formalisation du th´eor`eme de Lax–Milgram.

Chapitre 8

Th´ eor` emes fondamentaux d’analyse fonctionnelle

La correction de la m´ethode des ´el´ements finis repose sur le th´eor`eme de Lax–

Milgram (th´eor`eme 8.4), un r´esultat fondamental d’analyse fonctionnelle [49, 64]. Il permet en effet d’´etablir l’existence et l’unicit´e de la solution du probl`eme continu (i.e.l’´equation aux d´eriv´ees partielles dont les solutions sont `a valeurs dans un espace de Hilbert fonctionnel de dimension infinie) et de son approximation discr`ete sur un maillage de dimension finie. Cela ne suffit pas `a montrer que la m´ethode des ´el´ements finis fournit une bonne approximation de la solution exacte. Il faut pour cela utiliser un corollaire du th´eor`eme de Lax–Milgram appel´e lemme de C´ea (lemme 8.5). Le lemme de C´ea fournit en effet une borne sur la diff´erence entre la solution au probl`eme continu et l’approximation de la solution sur le sous-espace de dimension finie. Le th´eor`eme de Lax–Milgram se voulant aussi g´en´erique que possible, il s’applique `a tout sous-espace ModuleSpace-compatible et complet d’un espace de HilbertE. Il faudra ensuite l’instancier `a l’ensembleEtout entier (trivialementModuleSpace-compatible et complet dans E) puis aux sous-espaces de dimensionfinie deE.

Nous aurions pu nous int´eresser `a d’autres r´esultats, jouant un rˆole analogue au th´eo-r`eme de Lax–Milgram mais applicables dans un cadre plus g´en´eral, comme le th´eoth´eo-r`eme de Banach–Neˇcas–Babuˇska [64, 42]. Notre choix s’est n´eanmoins port´e sur le th´eor`eme de Lax–Milgram, qui permet d’´etudier une classe suffisamment large d’´equations diff´e-rentielles et dont la preuve repose sur des fondements plus anciens et dont l’usage dans les d´emonstrations math´ematiques est plus courant. S’ils ne sont pas nouveaux, ces fon-dements forment cependant un socle cons´equent de concepts math´ematiques, incluant les r´esultats formalis´es dans le chapitre 7.

La d´emonstration du th´eor`eme de Lax–Milgram fait appel `a d’autres r´esultats in-term´ediaires d’analyse fonctionnelle, `a savoir un th´eor`eme de point fixe de Banach, pr´esent´e en section 8.1, ainsi qu’un r´esultat de repr´esentation appel´e th´eor`eme de Riesz–

Fr´echet, pr´esent´e en section 8.2. La formalisation de ces deux th´eor`emes en Coq est `a la fois technique (d´efinition de nouvelles structures de donn´ees, probl`emes de d´ecida-bilit´e) et fastidieuse (raisonnements calculatoires). La d´emonstration du th´eor`eme de

141

8.1. TH´EOR`EME DE POINT FIXE DE BANACH 142 Lax–Milgram est pr´esent´ee en section 8.3.

L’application du th´eor`eme de Lax–Milgram aux sous-espaces de dimensionfinie est

´egalement difficile. En section 8.4, nous d´efinissons tout d’abord la notion de sous-espace de dimension finie dans un espace de Hilbert quelconque, de dimension g´en´eralement infinie. Ensuite, nous d´emontrons la compl´etude des sous-espaces de dimension finie en section 8.5. La preuve de compl´etude fait intervenir de nombreux raisonnements topologiques, trait´esviades suites dans la majorit´e de la litt´erature math´ematique [50].

Ainsi, pour pouvoir utiliser la biblioth`eque Coquelicot, nous devons r´einterpr´eter ces d´emonstrations du point de vue desfiltres, ce qui pose de nombreux ´ecueils techniques, comme la construction de transformations de filtres. La section 8.6 revient sur certains probl`emes de d´ecidabilit´e rencontr´es dans le chapitre 7 et dans le pr´esent chapitre.

8.1 Th´ eor` eme de point fixe de Banach

En analyse fonctionnelle, et plus principalement dans les domaines li´es `a l’´etude des

´equations diff´erentielles, nombreux sont les r´esultats qui font appel `a des th´eor`emes dits de«pointfixe». Leur point commun est d’´etablir l’existence (et parfois l’unicit´e) d’un point fixe pour une fonction donn´ee [90]. Les th´eor`emes de point fixe de Banach sont parmi les plus connus et sont utilis´es dans les d´emonstrations de r´esultats fondamen-taux, comme le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz [59] ou encore le th´eor`eme des fonctions implicites [194]. Le th´eor`eme de Lax–Milgram, d´emontr´e formellement en section 8.3, utilise une variante de th´eor`eme de point fixe de Banach.

Ce type de r´esultat ´etant tr`es r´epandu, la formalisation de th´eor`emes de point fixe n’est pas nouvelle. Makarov et Spitters ont par exemple propos´e une formalisation du th´eor`eme de Picard-Lindel¨of en Coq, dont la preuve repose sur un th´eor`eme de point fixe de Banach [146]. Harrisson formalise les th´eor`emes de point fixe de Banach et de Brouwer en HOL [103]. Immler et H¨olz ont ´egalement utilis´e une variante du th´eor`eme de point fixe de Banach pour une formalisation d’´equations diff´erentielles en Isabelle/HOL [116]. La particularit´e du r´esultat auquel nous nous int´eressons est le fait qu’il s’applique sur un sous-espace d’un espace complet. Pour des raisons de lisibilit´e, nous commen¸cons par l’´enoncer en langage math´ematique, sans consid´erer la notion de filtre (pour rappel, voir la d´efinition des boules g´en´eralis´ees en section 7.1.2) :

Th´eor`eme 8.1. Point fixe de Banach

Soit E ∶ CompleteSpace et ϕ ∶ E → Prop un sous-espace non vide et complet de E.

Soit f ∶E→E. Soit (x_n)n∈N d´efinie par x₀∈ϕ et ∀n, x_n+1=f(x_n). Supposons que :

● ∀x, y,ϕ(x)⇒ϕ(y)⇒ ∃M,0⩽M∧y∈B(x, M);

● f est contractante ;

● ∀x,ϕ(x)⇒ϕ(f(x)). Alors :

● ∃!a∈E,ϕ(a)∧a=f(a);

● (x_n)n∈N est convergente et lim_x→∞f(x) =a.

En d’autres termes, toute fonctionf contractante sur un sous-espace ϕnon vide et complet d’un espace complet E est telle que ses it´er´ees successives `a partir d’un point x₀∈ϕ convergent vers un unique point fixea∈ϕ.

Une premi`ere ´etape consiste `a d´efinir la notion de fonction contractante (et donc de fonction lipschitzienne) sur une structure alg´ebrique qui n’est ´equip´ee ni de norme, ni mˆeme de m´etrique. Dans une structure d’UniformSpace, seules les boules g´en´eralis´ees (pseudom´etriques) sont disponibles. Consid´erons une fonctionf : X -> YavecX, Y : UniformSpace, nous notonsball_x et ball_yles boules g´en´eralis´ees associ´ees respec-tivement `aX etY. Nous d´efinissons le caract`erek-lipschitzien (puis contractant lorsque k<1) de f de la mani`ere suivante :

Definition is_Lipschitz (f : X →Y) (k : R) :=

0 <= k ∧forall x1 x2 r, 0 < r →ball_x x1 r x2

→ball_y (f x1) (k*r) (f x2).

Definition is_contraction (f : X →Y) :=

exists k, k < 1 ∧is_Lipschitz f k.

Les notions topologiques d´efinies dans Coquelicot utilisent les filtres. Il est donc n´ecessaire d’exhiber un filtre jouant un rˆole analogue `a la suite (x<sub>n</sub>)n∈N de l’´enonc´e du th´eor`eme 8.1. `A cet effet, nous d´efinissons lefiltre suivant, qui est propre et de Cauchy :

F := (fun P ⇒eventually (fun n ⇒P (iter f n x0))) avec x0un ´el´ement du sous-ensemble phi.

L’´enonc´e Coq correspondant au th´eor`eme 8.1 est le suivant (voir la d´efinition de close en section 7.1.2 et la d´efinition de my_complete en section 7.2.2) :

Context {E : CompleteSpace}.

Hypothesis phi_f : forall x : E, phi x →phi (f x) Hypothesis phi_distanceable: forall (x y:E),

phi x →phi y →exists M, 0 <= M ∧ball x M y.

Hypothesis phi_complete : my_complete phi.

Hypothesis phi_not_empty : exists a : E, phi a

Theorem FixedPoint_C_phi : is_contraction_phi f phi → exists a:E, phi a ∧close (f a) a

∧ (forall b, phi b →close (f b) b →close b a)

∧ forall x, phi x →close (lim F) x.

Outre le fait que le filtre F soit utilis´e en lieu et place de la suite (x_n)n∈N, nous remarquons de l´eg`eres diff´erences avec l’´enonc´e math´ematique «standard». En effet, le r´esultat d´emontr´e relˆache la notion d’´egalit´e, utilisant plutˆot la propri´et´eclose des UniformSpace. La conclusion du th´eor`eme assure l’existence d’un ´el´ement a v´erifiant une conjonction de 4 propositions : la premi`ere exprime l’appartenance de a `aphi; la

8.2. TH´EOR`EME DE RIESZ–FR´ECHET 144