Concept de stabilit´e(s)

En analyse num´erique, il y a diverses mani`eres d’interpr´eter le concept dit de stabi-lit´e. Il faut tout d’abord faire la distinction entre la notion de stabilit´e pour un syst`eme dynamique et la notion de stabilit´e pour une m´ethode num´erique. Du point de vue des syst`emes dynamiques, il s’agira g´en´eralement de la stabilit´e du syst`eme autour d’un point d’´equilibre, souvent d´enomm´ee stabilit´e au sens de Lyapounov [138].

Du point de vue des algorithmes ou m´ethodes num´eriques, la stabilit´e est la propri´et´e g´en´eralement requise pour assurer le «bon comportement» du syst`eme vis-`a-vis des erreurs. De mani`ere g´en´erale (et tr`es informelle), une m´ethode est dite stable si elle permet de ne pas trop amplifier d’´eventuelles erreurs (de m´ethode, d’arrondi, etc).

La d´efinition plus formelle d´epend du contexte. Dans cette section, nous pr´esentons bri`evement deux d´efinitions de la notion de stabilit´e pour les m´ethodes de Runge-Kutta explicites. Sont rencontr´ees dans la litt´erature de nombreuses autres caract´erisations de la stabilit´e [45], comme la A-stabilit´e dans le cas o`u le syst`eme dynamique est raide.

0-stabilit´e

Parmi les d´efinitions du concept de stabilit´e pour les m´ethodes de Runge-Kutta, la 0-stabilit´e [59, d´efinition 2] est la plus fr´equemment utilis´ee. Pour une petite erreur initiale et de petites erreurs «locales»`a chaque it´eration de la m´ethode, la 0-stabilit´e assure que l’accumulation des erreurs est raisonnable. Plus pr´ecis´ement, consid´erons une m´ethode de Runge-Kutta, qui, appliqu´ee `a un syst`eme donn´e, est caract´eris´ee par une relation de r´ecurrence de la forme y<sub>n+1</sub> = y<sub>n</sub>+hΦ(t<sub>n</sub>, y<sub>n</sub>, h). La m´ethode est dite 0-stable pour le syst`eme sur l’intervalle d’int´egration [0;t_N] s’il existe S ∈ R⁺_∗ tel que pour toutes suites (y_n)n∈N et(ỹ_n)n∈N v´erifiant :

∀n<N, y_n+1 =y_n+hΦ(t_n, y_n, h), y�_n+1=ỹ_n+hΦ(t_n,ỹ_n, h) +ε_n. avec (ε_n)n∈N la suite des erreurs locales, alors :

∀n<N,∣ ̃y_n−y_n∣ ⩽S�∣̃y₀−y₀∣+�^N

i=0

ε_i�.

La constante S est appel´ee constante de stabilit´e de la m´ethode. La 0-stabilit´e est souvent li´ee aux notions de consistance et de convergence des m´ethodes num´eriques, la convergence ´etant assur´ee par la conjonction de la consistance et de la 0-stabilit´e.

Ce crit`ere de stabilit´e semble ˆetre un bon candidat pour borner l’accumulation des erreurs d’arrondi au cours des it´erations. La 0-stabilit´e est par ailleurs tr`es g´en´erale, s’appliquant `a toute m´ethode num´erique, quel que soit le syst`eme dynamique sur lequel elle s’applique. Cependant, les bornes d’erreurs obtenues sont pessimistes dans le cas g´en´eral. En effet, siΦestk-lipschitzienne, nous pouvons exhiberS=e^k×tN [59], constante pouvant ˆetre tr`es grande.

Stabilit´e lin´eaire

La stabilit´e lin´eaire [129] est un concept propre `a l’application de m´ethodes de Runge-Kutta `a des syst`emes lin´eaires de la formey<sup>′</sup>=Ay(avecy, y<sup>′</sup>des vecteurs etAune matrice carr´ee). L’application d’une m´ethode de Runge-Kutta explicite `a un syst`eme lin´eaire est caract´eris´ee par une relation de r´ecurrence de la forme y<sub>n+1</sub> = R(h, A)y<sub>n</sub> (h ´etant le pas d’int´egration de la m´ethode) o`u R(h, A) est une matrice carr´ee. Par exemple, dans le cas de la m´ethode d’Euler, R(h, A) = I+hA. La stabilit´e lin´eaire s’exprime comme une propri´et´e de la matrice R(h, A).

Dans le cas unidimensionnel o`u A est remplac´ee parλ∈R, la condition de stabilit´e est∣R(h,λ)∣ ⩽1. Cette condition permet de d´eduire un intervalle de valeurs pourhλ et donc de raffiner l’´etude des erreurs d’arrondi.

Dans le cas multidimensionnel, l’id´ee g´en´erale est de d´ecomposer y_n sur une base de vecteurs propres et d’imposer la condition de stabilit´e∣R(h,λ_i)∣ ⩽1 sur chacune des valeurs propres λ_i de la matriceR(h, A).

La stabilit´e lin´eaire est l’une des propri´et´es que nous utilisons pour raffiner les bornes d’erreurs d’arrondi des m´ethodes de Runge-Kutta (voir section 5.1.1).

Chapitre 3 Etat de l’art ´

Les r´esultats pr´esent´es dans ce manuscrit se situent `a l’intersection de l’´etude des erreurs d’arrondi de m´ethodes num´eriques et de la v´erification formelle de r´esultats d’analyse num´erique et fonctionnelle. Bien que sp´ecialis´es, ces domaines ont donn´e lieu

`a un ´eventail tr`es vari´e de travaux de recherche. Ce chapitre propose un ´etat de l’art non exhaustif de ces travaux et regroupe certaines contributions pertinentes au regard du sujet de ma th`ese. La section 3.1 est vou´ee aux travaux ´etudiant les erreurs d’ar-rondi de m´ethodes num´eriques tandis que la section 3.2 pr´esente quelques travaux de formalisation d’analyse num´erique et fonctionnelle.

3.1 Erreurs d’arrondi de m´ ethodes num´ eriques

Bien que les math´ematiciens soient conscients des probl`emes caus´es par les erreurs d’arrondi, celles-ci sont g´en´eralement consid´er´ees comme n´egligeables par rapport aux erreurs de m´ethode des sch´emas num´eriques. Les erreurs d’arrondi sont par ailleurs peu

´etudi´ees `a cause du manque d’outils ou m´ethodes efficaces dont dispose la communaut´e d’analyse num´erique pour les borner. En 1937, bien avant l’apparition de l’arithm´etique des ordinateurs, Brouwer [43] a utilis´e une approche statistique pour estimer la propaga-tion des erreurs d’arrondi associ´ees `a une m´ethode num´erique d’int´egrapropaga-tion d’´equapropaga-tions d´ecrivant des mouvements plan´etaires. Cette contribution a creus´e le sillage de tra-vaux appliquant le mˆeme type d’approche pour diverses m´ethodes num´eriques (voir section 3.1.1). Une tendance qui s’est d´evelopp´ee pour contourner la probl´ematique des erreurs d’arrondi est de faire appel `a l’argument de Brouwer [43] sans v´erifier qu’il s’applique au probl`eme consid´er´e. La citation qui suit en t´emoigne [175] :

When stable difference equations are used, the rounding errors are not amplified as time goes on ; they merely accumulate roughly in proportion to the square root of the number of steps in the calculation.

Or, il n’y a pas d’argument rigoureux qui permette de confirmer la validit´e de cette affirmation dans le cas g´en´eral.

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3.1. ERREURS D’ARRONDI DE M´ETHODES NUM´ERIQUES 40