Cette section est vou´ee `a la preuve de compl´etude des sous-espaces de dimension finie des espaces de Hilbert. Dans la section 8.5.1, nous introduisons le concept de sous-module engendr´e par un vecteur et montrons que ces sous-espaces sont complets.
Puis, en section 8.5.2, nous utilisons le fait qu’un sous-espace de dimension finie soit somme directe des sous-modules engendr´es par les vecteurs de sa famille g´en´eratrice pour d´emontrer sa compl´etude.
8.5.1 Compl´ etude des sous-modules engendr´ es
Le sous-module engendr´e par un vecteur u ∈ E (E ∶ Hilbert) est l’ensemble des vecteurs de E qui sont colin´eaires `au. Le terme Coq associ´e est not´espan u :
Definition span (u : E) := fun (x : E) ⇒exists (l : R), x = scal l u.
Avant de pouvoir d´emontrer la compl´etude des sous-espaces de dimension finie, il est n´ecessaire de prouver la compl´etude des sous-modules engendr´es.
Lemme 8.7. Compl´etude des sous-modules engendr´es P∨¬P Soit E∶Hilbert, u∈E. Alors span(u) est complet.
Id´ees de la preuve papier : La preuve papier du lemme 8.7 propos´ee par Cl´ement et Martin montre la propri´et´e de compl´etude en faisant converger des suites de Cauchy [50, lemme 115]. Pour ˆetre plus pr´ecis, Cl´ement et Martin montrent que toute suite de Cauchy de la forme (λnu)n∈N (i.e. une suite `a valeurs dans span(u)) converge dans span(u). Pour cela, ils commencent par extraire la suite (λn)n∈N, montrent que c’est
´egalement une suite de Cauchy et que, par compl´etude de R, elle converge vers �∈ R. Enfin, ils en d´eduisent que(λnu)n∈Nconverge vers�uqui est bien `a valeurs dans span(u). La preuve via les suites est donc relativement naturelle.
8.5. PROPRI´ET´ES DE COMPL´ETUDE 150 Formalisation de la preuve et passage aux filtres : L’utilisation des filtres, conjugu´ee `a la mani`ere dont sont trait´es les sous-espaces, rend particuli`erement ardue la formalisation de cette d´emonstration.
Une premi`ere difficult´e est de dire d’un filtre qu’il est«un filtre sur span(u)»(par analogie avec la suite (λnu)n∈N dans la preuve de Cl´ement et Martin). Comme ´evoqu´e dans la section 7.2.2 , nous ne pouvons pas construire explicitement un filtre sur le sous-espace span(u). Nous utilisons donc le concept de filtre induit (d´efinition 7.1) et sommes ramen´es `a prouver que toutfiltre propre et de Cauchy qui est induit sur span(u) converge dans span(u).
Une seconde difficult´e r´eside dans l’extraction dufiltre des coefficients multiplicatifs, c’est-`a-dire lefiltre analogue `a la suite(λn)n∈Ndans la preuve de Cl´ement et Martin. En effet, il n’est pas ´evident d’extraire un telfiltre `a partir d’un filtre induit sur span(u). A cet effet, nous d´efinissons une fonction totale sur les` filtres de E dont l’image est un filtre surR et que nous appelonsop´erateur de nettoyage scalaire :
Definition cleansc (u : E) (F : (E →Prop) →Prop) : (R →Prop) →Prop := fun A ⇒exists V, F V ∧(forall k, V (scal k u) →A k).
Consid´erons le cas particulier o`u le filtre F est induit sur span(u). Par d´efinition desfiltres induits, nous savons que∀ϕ,F(ϕ)⇒ ∃x, x∈ϕ∩span(u)(i.e.x=λupour un certain coefficient multiplicatifλ). Pour chaque sous-ensemble contenu dansF, il existe un tel coefficient multiplicatif. Lefiltre cleansc uF est lefiltre contenant l’ensemble de ces coefficients multiplicatifs.
En revanche, dans le cas o`u lefiltre en entr´ee n’est pas induit sur span(u),cleansc u renvoie une valeur arbitraire et qui n’a aucune importance (car inutilis´ee).
SiF est induit sur span(u), propre et de Cauchy, nous prouvons quecleansc uF est ´egalement propre et de Cauchy. Cela permet d’utiliser la compl´etude de Ret d’ex-traire une limite � pour cleansc u F. Nous montrons ensuite que la limite de F ne peut qu’ˆetre ´egale `a �u en utilisant un argument d’unicit´e sur les limites. Cette limite est trivialement un ´el´ement de span(u), ce qui ach`eve la d´emonstration du lemme 8.7.
8.5.2 Compl´ etude des sous-espaces de dimension finie
Nous d´emontrons dans un premier temps que la somme directe d’un sous-ensemble complet ψ et du sous-module engendr´e par un vecteur deψ� est complet.
Lemme 8.8. Compl´etude, somme directe et sous-module engendr´e P∨¬P Soit E ∶ Hilbert, ϕ,ψ ∶ E → P rop, u ∈ E. Supposons que ψ est complet, que ϕ = ψ⊕span(u) et que u∈ψ�. Alors ϕ est complet.
Une d´emonstration `a base de suites est propos´ee par Cl´ement et Martin [50, lemme 196]. Cette d´emonstration ´etant longue, nous ne donnons que quelques intuitions puis mettons en exergue les difficult´es li´ees au passage vers une preuve `a base defiltres.
Id´ees de la preuve papier : Soit (wn)n∈N une suite de Cauchy `a valeurs dans ϕ.
Via l’argument de somme directe, nous pouvons d´ecomposer (wn)n∈N surϕ et span(u), i.e. (wn)n∈N = (vn +λnu)n∈N avec (vn)n∈N une suite `a valeurs dans ψ et (λnu)n∈N `a valeurs dans span(u). Il est en fait possible, en utilisant le lemme 7.5, la lin´earit´e du projet´e orthogonal et l’appartenance de u `a ψ�, de montrer que vn = Pψ(wn) puis que Pψ�(wn) = λnu. Nous prouvons ensuite la continuit´e de Pψ et Pψ�, qui permet de d´emontrer que (wn)n∈N converge dans ϕ.
Formalisation de la preuve et passage aux filtres : De mˆeme que pour la d´e-monstration du lemme 8.7, la difficult´e du passage auxfiltres r´eside principalement dans l’extraction de filtres analogues aux suites (vn)n∈N et (λnu)n∈N `a partir d’un filtre in-duit surϕ(analogue `a la suite(wn)n∈N). N´eanmoins, grˆace `a la caract´erisation utilisant les projet´es orthogonaux, nous d´efinissons deux projecteurs permettant d’extraire ces filtres en utilisant l’op´erateurfilterlim de Coquelicot (voir section 7.1.1) :
Definition proj_filter_ortho (psi : E →Prop) (F : (E →Prop) →Prop) := filtermap (proj psi) F.
Definition proj_filter_ortho_compl (psi : E →Prop)
(F : (E →Prop) →Prop) := filtermap (fun x ⇒x - proj psi x) F.
La compl´etude deψ conditionne l’existence et l’unicit´e du projet´e orthogonal et est donc intrins`equement n´ecessaire `a la d´efinition des op´erateurs proj_filter_ortho et proj_filter_ortho_compl.
Quand F est propre, de Cauchy et induit sur ϕ, nous prouvons que les filtres proj_filter_ortho F et proj_filter_ortho_compl F sont propres et de Cauchy.
De plus, nous montrons que proj_filter_ortho F et proj_filter_ortho_compl F sont respectivement induits sur ψ et span(u).
Supposons queF converge vers une limite�. Alors, par continuit´e de Pψ etPψ�, les limites respectives de proj_filter_ortho F et proj_filter_ortho_compl F sont Pψ(�)et Pψ�(�)= �−Pψ(�).
Comme span(u)est complet (lemme 8.7) et queproj_filter_ortho_complF est propre, de Cauchy et induit sur span(u), il converge dans span(u) et donc il existe un ´el´ement λ ∈ R tel que Pψ�(�) = λu. Donc, � = Pψ(�) +Pψ�(�) = Pψ(�) +λu, i.e.
�∈ψ⊕span(u),i.e.�∈ϕ, ce qui conclut la d´emonstration.
Nous pouvons maintenant ´enoncer et d´emontrer le r´esultatfinal de ce chapitre.
Th´eor`eme 8.9. Compl´etude des sous-espaces de dimension finie P∨¬P Soit E ∶Hilbert et ϕ∶E→P rop un sous-ensemble de dimension finie de E dont la famille g´en´eratrice est orthonorm´ee. Alors ϕ est complet.
D´emonstration. Soitnla dimension de ϕetB la famille g´en´eratrice orthonorm´ee deϕ.
Nous raisonnons par induction surn :