Contributions et plan - Formalisations d analyses d erreurs en analyse numérique et en arithmét

1.2 Contributions et plan

1.2.1 Pr´ erequis et ´ etat de l’art

Le chapitre 2 introduit les concepts fondamentaux sur lesquels se basent nos contri-butions. Les notions introduites concernent l’arithmétique à virguleflottante, les biblio-thèques Coq utilisées et la résolution numérique des équations différentielles ordinaires.

Le chapitre 3 constitue un état de l’art concernant l’analyse des erreurs d’arrondi dans l’implémentation de méthodes numériques et les formalisations d’analyse numé-rique et fonctionnelle dans les assistants de preuves.

1.2.2 Formalisation d’un algorithme en arrondi correct pour le calcul de moyenne de nombres ﬂottants d´ ecimaux

La partie I du document,i.e.le chapitre 4, présente la formalisation d’un algorithme en arrondi correct pour le calcul de la moyenne de deux nombres flottants décimaux.

Il est dit d’un algorithme implémenté en précision finie qu’il satisfait la propriété d’arrondi correct lorsque le résultat qu’il renvoie est le résultat représentable le plus proche possible. La norme IEEE-754 [113] impose que les opérations élémentaires sa-tisfassent la propriété d’arrondi correct et conseille qu’elle soit satisfaite par certaines fonctions élémentaires comme les fonctions trigonométriques. En revanche, la propriété est rarement satisfaite par des algorithmes plus élaborés, e.g. les programmes numé-riques.

Les formats flottants décimaux sont de nos jours de plus en plus répandus, notam-ment dans les applications bancaires. Malheureusenotam-ment, les propriétés d’un programme implémenté en base 2 ne sont pas nécessairement transposables à la base 10.

Boldo [24] a par exemple proposé un algorithme calculant la moyenne de deux nombres flottants binaires et satisfaisant la propriété d’arrondi correct. Nous mon-trons que cet algorithme ne satisfait pas l’arrondi correct en base 10 et proposons un algorithme relativement efficace qui calcule l’arrondi correct de la moyenne de deux nombres flottants décimaux. Nous proposons par ailleurs une formalisation en Coq de l’algorithme et de sa preuve de correction.

Publications. Ce travail a fait l’objet d’un article avec S. Boldo et V. Tourneur [31].

1.2.3 Analyse formelle des erreurs d’arrondi de m´ ethodes de Runge-Kutta

La seconde partie du document propose la mise au point et la formalisation en Coq d’une méthodologie générique pour borner les erreurs d’arrondi de méthodes de Runge-Kutta appliquées à des systèmes linéaires. Le chapitre 5 est voué aux systèmes linéaires scalaires,i.e.les équations différentielles de la formey^′=λy avecy,λ∈R. Le chapitre 6 généralise les résultats du chapitre 5 aux systèmes linéaires matriciels, i.e. de la forme y^′=Ay avecy∈Rⁿ, A∈Rⁿ^×ⁿ.

Méthodologie générique d’analyse des erreurs d’arrondi : Nous présentons un ensemble de résultats génériques qui servent d’outils pour construire les bornes d’er-reurs. Ces résultats sont paramétrés par l’équation différentielle considérée, la méthode de résolution adoptée, le format flottant et la forme des implémentations, i.e. l’ordre d’évaluation des opérations flottantes.

Nous nous limitons aux systèmes linéaires, c’est-à-dire aux équations différentielles de la forme y^′ = Ay avec y un vecteur de Rⁿ et A une matrice carrée de taille n.

Les résultats présentés utilisent les propriétés fines du format d’arithmétique à virgule flottante, certaines propriétés mathématiques des méthodes,e.g.la stabilité numérique, ainsi que les propriétés des opérations matricielles.

L’idée générale est de distinguer les erreurs dites locales, i.e. qui se produisent à une itération donnée du schéma, et globales, i.e. accumulées au cours des itérations.

Nous proposons des résultats génériques qui, pour n’importe quelle implémentation, permettent de construire une borne sur les erreurs locales des méthodes de Runge-Kutta. Nous proposons ensuite un résultat permettant de construire une borne sur l’erreur globale à partir des bornes sur les erreurs locales des itérations précédentes.

Ces résultats ont été instanciés à des méthodes de Runge-Kutta classiques et très fréquemment utilisées, comme les méthodes d’Euler et de Runge-Kutta 2, via des ap-plications successives et mécaniques des lemmes génériques.

Une particularité de ce travail est la gestion des comportements exceptionnels de l’arithmétique à virguleflottante, souvent négligés dans les travaux d’analyse d’erreurs d’arrondi. Nous tenons plus précisément compte des dépassements graduels de capacité inférieurs. Dans le cas linéaire scalaire, nous tenons également compte des dépassements de capacité supérieurs.

Formalisation complète de l’analyse d’erreurs : La démonstration des résul-tats sur les erreurs d’arrondi est délicate et fastidieuse. Afin d’augmenter le niveau de confiance accordé à notre méthodologie, nous avons formalisé l’ensemble de l’analyse d’erreurs dans l’assistant de preuves Coq. Cela suppose la cohabitation de raisonne-ments sur les nombres flottants et de raisonnements sur les matrices et les opérations matricielles. Nous combinons pour cela la bibliothèque Flocq d’arithmétique des ordi-nateurs [37, 38] ainsi que la spécification des vecteurs et matrices de la bibliothèque Mathematical Components [144].

Une partie importante de la formalisation concerne l’analyse des erreurs d’arrondi d’opérations matricielles, e.g. les produits matrice-vecteur et matrice-matrice. Cette partie de la formalisation inclut la définition des opérations matricielles arrondies et la formalisation de propriétés sur les normes de matrices. L’analyse des erreurs d’arrondi des produits matriciels est technique et repose sur les bornes d’erreurs d’arrondi des sommations de nombres flottants et du produit scalaire de vecteurs de nombres réels.

Nous avons ensuite formalisé les méthodes de Runge-Kutta et leurs implémentations dans Coq, ainsi que les notions d’erreurs d’arrondi locales et globales pour ces méthodes numériques. La démonstration formelle des lemmes génériques permettant de gérer les erreurs locales et globales est ensuite relativement proche de la preuve papier.

1.2. CONTRIBUTIONS ET PLAN 14 L’application des résultats génériques à des méthodes de Runge-Kutta classiques s’avère besogneuse, d’autant plus que nous souhaitons simplifier les bornes pour les rendre plus lisibles. Pour pallier ce problème, nous utilisons un ensemble de tactiques automatiques existantes permettant d’automatiser une partie du raisonnement.

Publications. Ces travaux ont fait l’objet de deux articles avec S. Boldo et A. Cha-poutot. Le premier article [29] présente une version non formalisée de ce travail pour le cas scalaire et ne tenant pas compte des comportements exceptionnels. Le second article [30] étend [29] en tenant compte des dépassements de capacité inférieurs et su-périeurs. Concernant le passage au cas des systèmes matriciels et la formalisation des résultats, seule une version préliminaire du travail a pour l’heure été publiée [70].

1.2.4 Formalisation de r´ esultats d’analyse fonctionnelle

Les méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles, e.g.

la méthode des éléments finis, reposent sur des fondements mathématiques bien plus conséquents que les équations différentielles ordinaires. La troisième partie de cette thèse présente une formalisation de ces fondements mathématiques fondée sur Coquelicot, une extension conservative de la bibliothèque standard des réels développée par Boldo, Lelay et Melquiond [35, 134]. Le chapitre 7 est dédié à la formalisation des espaces de Hilbert et de leurs propriétés, ainsi qu’à la formalisation des espaces de fonctions linéaires continues. Le chapitre 8 est voué à la formalisation de résultats fondamentaux d’analyse fonctionnelle comme le théorème de Lax–Milgram et la complétude des sous-espaces de dimensionfinie d’espaces de Hilbert.

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels : La méthode des éléments finis permet d’approcher la solution d’équations aux dérivées partielles qui modélisent des phénomènes physiques sur des espaces irréguliers,e.g. le flux du sang dans une artère.

La structure alg´ebrique permettant d’abstraire ces volumes irr´eguliers est la structure d’espace de Hilbert, i.e.un module complet muni d’un produit scalaire.

Nous formalisons la structure d’espace de Hilbert en étendant la hiérarchie algé-brique de la bibliothèque Coquelicot, construite via le mécanisme des structures cano-niques [143]. Nous formalisons un ensemble de concepts géométriques liés aux espaces de Hilbert, comme le projeté orthogonal ou le complémentaire orthogonal d’un sous-espace, et démontrons certaines propriétés fondamentales de ces objets géométriques.

Les équations aux dérivées partielles sont des équations impliquant des fonctions. Nous formalisons des espaces de Hilbert fonctionnels, et plus précisément l’espace des formes linéaires continues d’un espace de Hilbert.

Preuve formelle du théorème de Lax–Milgram : Nous démontrons formellement le théorème de Lax–Milgram, un résultat-clef permettant d’établir la convergence de la méthode des éléments finis. La démonstration du théorème de Lax–Milgram repose sur un ensemble conséquent de résultats géométriques dans les espaces de Hilbert, ainsi

que sur d’autres résultats intermédiaires importants, e.g. un théorème de point fixe de Banach ou le théorème de Riesz–Fréchet, un résultat de représentation des formes linéaires continues d’un espace de Hilbert via le produit scalaire.

Sous-espaces de dimensionfinie et propriétés de complétude : L’idée générale de la méthode des éléments finis est d’approcher le volume irrégulier par un maillage d’éléments réguliers. Ce maillage peut être abstrait mathématiquement comme un sous-espace de dimensionfinie du volume irrégulier,i.e.comme un sous-espace de dimension finie d’un espace de Hilbert. La preuve de convergence de la méthode repose sur deux applications du théorème de Lax–Milgram, sur l’espace de Hilbert d’une part et sur le sous-espace de dimension finie d’autre part. Pour ne pas formaliser deux versions du théorème, nous le généralisons pour tout sous-module complet d’un espace de Hilbert. Il est trivial que l’espace de Hilbert complet est un sous-module complet de lui-même. En revanche, nous avons dû formaliser les sous-espaces de dimensionfinie et démontrer leur complétude, plus difficile à établir et reposant sur de nombreux résultats topologiques.

Publications. La formalisation des espaces de Hilbert et du théorème de Lax–Milgram a fait l’objet d’un article avec S. Boldo, F. Clément, V. Martin et M. Mayero [26] ainsi qu’à un résumé court avec les mêmes auteurs [27]. La formalisation des sous-espaces de dimension finie a fait l’objet de deux articles [68, 69].

1.2.5 Conclusion

Enfin, le chapitre 9 conclut ce document en résumant les contributions de la thèse puis présente des perspectives de travail.

Dans le document Formalisations d analyses d erreurs en analyse numérique et en arithmétique à virgule flottante (Page 13-16)