Relation entre le nombre d'étapes et l'excentricité de la source, selon les modèles

Surlemillierd'instancesgénérées,lesoptimumsennombred'étapesselonlesstratégiesdièrent sur seulement

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instances : sur chacune d'entre elles, le nombre d'étapes des stratégie cohérentes pour [Di,Sync,Tmp-EM] et [Di,Sync,Tmp] est égal à l'excentricité, et à l'excentricité plus un pour[Di,SyncArbo,].

 En moyenne etsur lesgraphes de disques unitaires aléatoires, desstratégies cohérentes pour [Di,Sync,Tmp-EM], [Di,Sync,Tmp] ou [Di,SyncArbo,] ont des optimaux en nombre d'étapesglobalement identiques.

 Ces optimauxsont égaux àl'excentricité de lasource pour plus de

90%

descas.

Enexaminantlesinstancesoùlenombred'étapesrequiseststrictementsupérieuràl'excentricité, on observe qu'en général la perte d'une étape est souvent liée à la présence d'une conguration dicileàfranchir(parexemplelesous-graphe

X84

)auxabordsdun÷udsource,ouverslessommets les pluséloignés delasource.

Nombre d'émissions selon les stratégies

Sur l'ensembledessimulations, aucunestratégie cohérentepour[Di,Sync,Tmp-EM]n'autilisé moins d'émissions qu'une stratégie cohérente pour [Di,Sync,Tmp] sur la même instance. Cette constatation nousemmène à penser qu'en pratique, la capacitéd'un n÷udà pouvoir émettre plu- sieurs fois un même message n'est pas pertinente, et qu'une solution à coût équivalent peut être trouvée avec auplus uneseule émission parn÷ud.

De plus, le nombre d'émissions optimal d'une stratégie cohérente pour [Di,SyncArbo,] est égal à l'optimal d'une stratégie cohérente pour [Di,Sync,Tmp-EM] sur 97.1% des instances, et à l'optimal plus un pour les autres. Nous avons seulement identié une instance sur laquelle le nombred'émissions optimal pour [Di,SyncArbo,] était exactement celui de [Di,Sync,Tmp-EM] plusdeux. Cecinousconforte dansl'idée quetoutestratégie cohérentepour[Di,SyncArbo,] ore desperformances équiavalentesauxautres stratégies, bien quethéoriquement moinsbonnes.

Par ailleurs,sur lesdeuxinstances pourlesquelles lastratégie cohérence pour [Di,SyncArbo,] requiert une étape de plus que celle cohérente pour [Di,Sync,Tmp], le nombred'émissions opti- mal est inférieur de deux. L'augmentation du nombre d'étapes permet ici de diminuer le nombre d'émissionsnécessaires.

Temps de calcul

L'objectif de ces simulations consistait essentiellement à montrer que les stratégies basées sur le modèle [Di,SyncArbo,] orent des performances globalement équivalentes aux autres straté- gies synchrones.Nous ne cherchonspas àrésoudre ici leplus rapidement possible des instances de grandetaille.Néanmoins,nousterminons cechapitre ensoulevantuneinterrogation liée auxtemps de calcul,etqui relève plutôt dudomaine de larecherche opérationnelle.

Il est clair que l'implémentation de nos programmes permet de résoudre en quelques secondes desinstances de l'ordre de50 sommets oumoins. Lorsque lesinstances deviennent deplus en plus grandes,letemps nécessaireàlarésolution d'uneinstancedevientdeplusenplusaléatoire,etpeut varierdequelquessecondesàquelquesheurespourdeuxinstancespourtanttrèsproches.Aucundes facteursquenousavonsétudiés(nombredesommets,densité,nombredevariablesetdecontraintes) ne sont àl'originede telles variations.Nouscitonsà titred'exemple l'expérimentation suivante :

1. À partir de mêmes coordonnées de sommets, nous avons créé plusieurs graphes en faisant varier seulement lerayon d'émission lors duprocessusde génération.

2. Nous avons sélectionné un modèle, et noté le temps d'exécution du solveur pour calculer la stratégie optimale en temps puisen émissionssur chacun desgraphes générés.

3. Nousavonsdressélacourbe dutemps decalculen fonction durayon d'émission.

Il apparaît que cette courbe n'est pas régulière, et qu'une augmentation même légère du rayon d'émission a une variation imprévisible surle temps de calcul de la stratégie optimale. Nous pen- sons que la variation du temps de calcul est certainement liée à la topologie du graphe, et au comportement interne du solveur qui, dansson processus de résolution, arrive à eectuer souvent de bonnesaectations de variables maispassystématiquement.

Notons enn qu'en général et pour une instance donnée, nous trouvons plus rapidement la stratégieoptimale cohérente pour[Di,SyncArbo,]quelesautres.Ceciestprobablementdûaufait quel'espacedessolutionsestplusrestreint,etengendreplusdecoupesdansleprocessusderecherche exhaustivedessolutions.Lephénomèneesttrèsprésentenrechercheopérationnelle:unesolutionde coûtoptimalpeutêtredéterminéerapidement(parrapportàladuréetotaled'exécutiondusolveur), mais prouver l'optimalité de cette dernière nécessite un parcours exhaustif de toutes les solutions très coûteux en temps. Curieusement, cette remarque ne s'applique paspour [Di,Sync,Tmp]. Le temps de recherche de la stratégie cohérente pour [Di,Sync,Tmp] est globalement plus long que pour[Di,Sync,Tmp-EM].

Nous avonsétudié le longde cette partie leproblème de ladiusion depuis une source unique

s

dansun réseau radio multi-sauts, sousdiversesapproches etcontraintes. Les caractéristiques les plusreprésentativesdes réseauxquenousavonsconsidéré sont :

 desémissionsomnidirectionnelles,

 une même fréquenced'émission pour chaquen÷ud,

 l'absencedecoucheMACidéale,cequiprévientlaréceptionsimultanéededeuxtransmissions voisines,etl'incapacité àémettre etrecevoir simultanément.

Lechapitre

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apermisd'établir uneclassication desdiérentes approchesettravauxréalisés.Aux approchestraditionnelles proposant un ordonnancement d'émissions, nousavonsopposésune nou- vellestratégiedediusion,diteenarborescence,dontundesintérêtestl'applicationdansunmodèle asynchrone.

L'étude de menée dans le chapitre

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a montré l'existence systématique d'une stratégie de dif- fusion en arborescence. Malheureusement, les problèmes qui consistent à trouver une arborescence minimisant les coûts en temps de diusion ou en nombre d'émissions ont été montré NP-diciles dansles cassynchrones ou asynchrones.L'étude del'impact de latopologiedu réseau sur cespro- blèmesnousapermisd'établir quelorsque legrapheduréseauesttriangulé, lenombred'émissions minimum d'unestratégie dediusionen arborescenceestexactement latailled'unensembledomi- nant connexe. Ce résultat aboutit à un algorithme polynomial minimisant le nombre d'émissions danslesgraphesd'intervalles. Nousavonsparailleursproposéunalgorithmeapproximant letemps de diusionpar

∆G

lorsque legrapheest triangulé.

La premièresectionduchapitre

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reprend lesstratégiesd'ordonnancement propres auxmodèles synchrones sur les graphes dont l'excentricité de lasource est

2

. L'introduction d'un nouvel outil, lamv-décomposition, permetdedénirunestratégie dediusionen

O(ln

2_n)

.Lerésultatétait déja annoncédans[CW91 ], maisl'algorithme quenousproposonsa une meilleurecomplexité de l'ordre de

O(m× O(ln

2_n))

. Nous annonçons également une stratégie minimum en nombre d'étapes et d'émissions surles graphes convexescirculaires. Lesseconde et troisième sections duchapitre sont dédiéesàladénitiond'heuristiquessurlagrilleetletore.Le principalrésultatestlamiseenplace d'une stratégie de diusion en arborescence dont les performances sont indiquées dans le tableau 5.3.

Enn,lesméthodesderésolutionsexactesprésentéesdanslechapitre

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nousontpermisd'établir desobservations intéressantes entre lestroisstratégies dediusion synchrones enordonnancement, enordonnancement etémissionunique parn÷ud, etenarborescence:expérimentalement, lestrois stratégies renvoient des solutions optimales de coûts équivalents en nombre d'étapes et nombre

Topologie Temps de diusion Nombre d'émissions

Grille[

P

× Q

] OPT +5 OPT+

6

max(P,Q)−2

Tore[

P× Q

] 2

×OP T

OPT+

4

max(P,Q)−2

Dans le document Problèmes algorithmiques et de complexité dans les réseaux sans fil (Page 95-99)