formulation du problème

9.2 Modélisation

9.2.2 formulation du problème

Le vocabulaire suivant précèdeladénition duproblème :

Dénition 47 (

r

-robustesse) :

Soient ungraphe

G = (V, E)

, un sous-ensemble

S

⊆ V

, un entier naturel

dist≥ 1

, et un sommet

x_{∈ V}

Un sommet

x /∈ S

est

r

-robuste dans

(G, S, d)

, si et seulement s'il existe

r + 1

chaînes

{C1, C2, . . . Cr+1}

Ci⊆ G

, telles que :

V (Ci)∩ V (Cj) ={x}, ∀1 ≤ i < j ≤ r + 1

Réciproquement, nous disons que l'ensemble de chaînes

{C1, C2, . . . Cr+1}

Ci

⊆ G

,assure la

r

- robustesse de

x /∈ S

dans

(G, S)

x

est inclus dans

S

x

est

r

-robuste dans

(G, S)

siet seulement s'il existe

r

chaînes avec les conditions énoncées précédemment, puisque

x

est déjà connecté à unpointde collecte.

Nous disons qu'un ensemble desommets

T

est

r

-robuste dans

(G, S)

sichacun deses sommets

x∈ T

est

r

-robuste dans

(G, S)

. Réciproquement, nous disons qu'un ensemble de chaînes assure la

r

-robustesse de

T

dans

(G, S)

siet seulement s'il assure la

r

-robustesse de chacun des éléments de

T

Remarque 25 :

La notion de résistance aux pannes est ici portée sur les n÷uds du réseau, et se veut logiquement plus forte que la résistance aux pannes sur les liens. Le modèle de robustesse proposé et l'ensemble de nos travaux peuvent se décliner aisément pour ne considérer que des pannes intervenant sur les liens.

Dans le problème de conception, l'ensemble desn÷uds clients

T

doit donc être

r

-robustedans leréseau déployé.

Le terme de ot est couramment employé dans la terminologie des réseaux pour décrire la quantité de matière transitant sur chacun des liens du réseau. Les problèmes de ots cherchent généralement à satisfaire des demande de trac entre paires de n÷uds selon des contraintes liées auxcapacitédes liens.Nous proposons ici unedénition d'unot chaînes-contraint :

Dénition 48 (ot chaînes-contraint) :

Soient ungraphe non orienté

G = (V, E)

, une valuationdes arêtes

capa : E

→ R

∗+

, un ensemble

S_{⊆ V}

den÷uds sources, unensemble

T

⊆ V

de n÷uds clients, etune fonction

dem : T

→ R

∗+

Considérons alors un ensemble de chaînes

C

tel que

∀c ∈ C, ext(c) = {sc, tc}|sc

∈ S, tc

∈ T

. Appelons

PC(e)

l'ensemble des chaînes de

C

contenant l'arête

e

Un ot chaînes-contraint valide est une fonction

f : C

→ Z+

qui associeà chaque chaîne

c

C

un réel positif ounul tel que, en notant

h(e) =

P

c∈PC(e)f (c)

avec

e∈ E

h(e)≤ capa(e), ∀e ∈ E

P

c∈C|t∈ext(c)f (c)≥ dem(t), ∀t ∈ T

Nous formalisonsNetworkDesignpar leproblème dedécision 9.2.1.

Clairement, le problème NetworkDesign recherche à partir d'un réseau donné un sous-réseau danslequel :

lesn÷uds sont de degréborné,

en fonctionnement normal, les demandes de n÷uds clients sont satisfaites par des n÷uds sourcessituésà unnombre desauts borné,

Donnée :

ungraphenon orienté

G = (V, E)

, unefonction

capa

E

→ R

∗+

, deuxsous-ensembles

S

T

V

, unefonction dem:

T

→ R

∗+

, lesentiersnaturels

deg

hop

r

k

Question : existe-t-il un ensemble de chaînes

C

G

avec

ext(c) =

{sc, tc}|sc

∈ S, tc

∈

T,∀c ∈ C,

etunotchaînes-contraint

f

sur

C

telque,ennotant

H = (VH, EH)

legraphe pour lequel lequel

VH

=

S

c∈CV (c)

EH

=

S

c∈CE(c)

,ona : 1.

|NH(x)| ≤ deg,

∀x ∈ V (H)

, 2.

∀c ∈ C, |E(C)| ≤ hop

f

est valide pour l'instance

(H, capa, S, T, dem, C)

4. l'ensembledeschaînes

C

assurelar-robustesse de

T

dans

(H, S)

, 5.

|EH| ≤ k

Problème de décision 9.2.1:leproblème NetworkDesign

Une instance de NetworkDesign esta priori décritepar un

9

-uplet (

G

capa

S

T

dem

k

deg

hop

r

). Nous cherchons une topologie dont le nombre de liens est borné par une constante

k

. La versionoptimisation de ce problème, appelée min-NetworkDesign, consiste àtrouver lesous-réseau ayant un nombre minimumdeliens. La donnée

k

est alors supprimée deladonnée.

Remarquons que la donnée des n÷uds sources, des n÷uds clients, des demandes qui leur sont associées, des liens et de leur capacité sont des données de terrain. À l'opposé, les contraintes de robustesse, de distance etde degré relèvent plutôt de choix techniques etde politiques de déploie- ment.Par soucide clarté,nousutiliseronsparfoisune notation consistant àextrairelesparamètres techniques

deg

hop

r

deladonnéeduproblème.Ainsileproblème[

deg

hop

r

]-NetworkDesignré- fèreàuneinstancede NetworkDesigndanslaquelleledegrémaximumestbornépar

deg

,lenombre desauts entre unesource etunclientestd'auplus

hop

,etleréseau déployé doitêtre

r

-robuste. La donnéedu problèmeest réduite àun 6-uplet(

G

capa

S

T

dem

k

La gure 9.3(a) présente une instancede [

3

1

]-min-NetworkDesign. Les sommets

A

F

sont des sommets sources. Les sommets

B

F

sont des sommets clients. La demande de chacun des sommetsest indiquée entrecrochets. La capacité de chaquearête estici xée à

3

.La gure 9.3(b) présente une solution de coût

13

. Le tableau 9.1 détaille la solution, en énumérant pour chaque client la ou les chaînes assurant le transport du ot, et les chaînes de secours utilisées en cas de panne.

Nous terminons cettesection par l'énoncéde laremarque suivante:

Remarque 26 :

Dansleproblèmetelquenousavonsénoncé,lessommetsdugrapherésultatontlesmêmescontraintes de degré, de robustesse, et de distance. En adaptant notre formulation, nous pourrions dénir en résultat un graphe dans lequel les paramètres critiques sontpropres à chaque n÷ud.En eet :

I[2] J [2] C[1] D [2] E[1] F[1] G[2] H[1] K A B L source client relais

(a)Uneinstanceayant

2

sourceset

8

clients PSfrag replacements I[2] J [2] C[1] D [2] E[1] F[1] G[2] H[1] K A B L source client relais

(b)Unesolutiondecoût

13

Fig.9.3 Une instancede [3,3,1]-min-NetworkDesign etsasolution

client chaînes [ot] secours client chaînes [ot] secours

C A-I-C[1] B-L-D-C G B-H-G [2] A-K-G

D B-L-D [2] A-I-C-D H B-H[1] A-F-G

E B-L-E [1] A-I-E I A-I[2] B-L-E-I

F A-F [1] B-H-G-F J A-J[2] B-H-G-K

Auniveau du degré, certains sites peuvent accueillir plus d'antennesque d'autres.

Au niveau de la robustesse, on peut souhaiter que certains clients soient plus robustes que d'autressi la proportion d'utilisateurs naux est supérieure.

Enn, augmenter la distance maximum entre une source et un client précis peut amener de nouvelles solutions moins coûteuses ennombre deliens.

Nous mentionnons l'existence de ces variantes qui peuvent se formaliser aisément par le vocabulaire que nous avons introduit. Cependant, nous restreindrons notre étude dans ce mémoire au problème présentant des contraintes identiques pour tous les n÷uds.

Étude de complexité

Nous proposons une étude complexité du problème min-NetworkDesign enfonction des valeurs desparamètres dedegré, nombredesautsetrobustesse, respectivementdésignées parlesvaleurs

deg

hop

r

. Ce chapitre regroupe à la fois unétat del'art sur des problèmes similaires, et instaure de nouvelles preuves de complexité. Par la suite, lorsqu'une contrainte est ignorée, nouslui attribuons unevaleurcorrespondantàcetétat:lesaectations

deg =∞

hop =∞

impliquentrespectivement que ledegré maximum autoriséet lenombre maximum de sautspeuvent être arbitrairement grands (de l'ordre de

n

),et l'aectation

r = 0

que leréseau netolère aucunepanne.

Organiser les nombreux problèmes résultant des variations de ces paramètres n'est pas chose facile. Aussi nous découperons notre étude en trois sections. La première section décrit quelques résultats sur le problème min-NetworkDesign lorsqu'aucun des trois types de contraintes (degré, nombre de sauts, robustesse) n'est considéré. Les sections

2

, et

3

s'intéressent aux problèmes pour lesquels respectivement

1

2

types decontraintes sontenvisagés.

10.1 NetworkDesign sans contrainte

Le problème [

∞

,0]-NetworkDesign décrit exactement le problème du EDGE-COST FLOW (ECF), connu pour être NP-complet [GJ79 ]. Il reste NP-complet même sous l'hypothèse que les capacités desarêtessont innies. Onrencontre parfoisce dernier problème souslenom INFINITE CAPACITYEDGE-COST FLOW(ICECF)[EKS05 ].

Les deux propositions suivantes illustrent l'impact de la cardinalité des ensembles sources et clientssurla complexitéde cesdeux famillesde problèmes.

Proposition 2 :

1. Les deux précédents problèmes restent NP-complets, lorsque le nombre de sources est de

1

. 2. Lorsque lenombre de clients est de

1

, ECF reste NP-complet.

3. En revanche, lorsque lenombre de clients est de

1

, ICECF devient polynomial. Preuve :

Soitune instance

I

deECF contenant(entre autres)unensembledesommetssources

S

dansun graphe

G = (V, E)

. À partir de

I

, on peut construire polynomialement une instance

I

0

problème danslaquelle lenombrede sources est de

1

,en copiant

I

dans

I

0

eten fusionnant les sommetsde

S

dans

G

.Une solutionà

I

de coût

k

induit alors une solutiona

I

decoût équivalent, etréciproquement.

Lorsque lesarêtessont decapacitéinnies, etqu'iln'ya qu'une seulesource,ce problème n'est autrequeceluiduSTEINERTREE(StT), connu pour êtreNP-complet.Ceciconclutlapreuvedu point

1

de laproposition2.

Soituneinstance

I

deECFcontenant(entreautres)unensembledeclients

C ={c1, c2, . . . , cm}

dansungraphe

G = (V, E)

.Onpeutconstruirepolynomialementuneinstance

I

0

dumêmeproblème commesuit :

I

0

estinitialisépar copie de

I

Nousajoutonsà

G

un sommet

c

,etles arêtes

{ci, c}|ci

∈ C

. La capacitéde

{ci, c}

estégale à

dem(ci)

Le sommet

c

estdésigné commeseul client,avec une demande

dem(c) =

P

ci∈Cdem(ci)

. Par la suite,nousnommerons cette construction l'ajout d'un super client.

S'ilexisteunesolutionà

I

0

decoût

k

,alorsellemobilisechacunedesarêtes

{ci, c}|ci∈ C

àpleine capacité.Onpeutendéduire unesolution à

I

decoût

k− |C|

.Réciproquement,toutesolutionde

I

decoût

k

impliqueunesolutiondans

I

0

decoût

k +|C|

.Lacomplexitéduproblèmeresteinchangée, commel'indiquele point 2 de laproposition 2.

Nous terminons par lajustication dupoint

3

: lorsque les capacités desarêtes sont innies et qu'il n'y a qu'un seul client

c

, il sut de déterminer le plus court chemin entre

s

et une source quelconque pour obtenir un ensemble d'arêtes permettant le transit du ux. Cette opération est connue pour s'exécuter avec une complexité en

O(n

2₎

Lapreuvedelaproposition3utiliseuneréductionversleproblèmeBIPARTITION.Ceproblème consiste à sedemander s'il existe une bipartition

{NA, NB}

d'unensemble

S

d'entiers, tellequela somme des éléments de

N1

égale celle des éléments de

N2

.Ce problème est connu pour être NP- complet.

Proposition 3 :

Lorsque tous les n÷uds du réseau sontdes clients :

1. ECF reste NP-complet. 2. ICECF est polynomial.

Preuve :

Nousprouvonslepoint

1

delaremarque par une réductionau problèmeBIPARTITION. Leproblème

ECF

estdansNP:pourtoutesolutionpotentielledecoût

k

décriteparunensemble d'arêtes

ES

,on peutvérier enun temps polynomialque leot estréalisable surlegraphe partiel induit par les arêtesde

ES

. Nousconstruisons à partir de toute instance

N =

{n1, n2, n3, . . . nm}

du problème BIPARTITION une instance

IECF

= (G, capa, S, T, dem, k)

de ECF commesuit : Le

L'opération de fusion d'un ensemble de sommets

S

= {s1, s2. . . sk}

dans un graphe

G

= (V, E)

consiste à supprimerdans

V

lessommetsde

S

,etàajouterunnouveausommet

s

.Chaquearêtedutype

{a, si}|a ∈ V −S, si∈ S

estsuppriméede

E

,etestremplacéeparl'arête

{a, s}

.Lesarêtes

{si, sj}|si, sj∈ S

sontsimplementsupprimées.

graphe

G = (V, E)

estdéni par lesensembles :

V =_{{s} ∪ N ∪ {N}1, N2}

E =_{{s, n}i}, {ni, N1}, {ni, N2}|ni∈ N

Pour tout

ni

∈ N

, onpose

capa({s, ni}) = 2 × ni

capa({ni, N1}) = ni

capa({ni, N2}) = ni

. L'instancenecomportequ'unesource

S ={s}

,et

T = V

.Lademandedechaquen÷ud

ni

estégale à

ni

.Nousposonségalement

dem(N1) = dem(N2) =

1 2×

P

ni∈Nni

.Ilconvientdansnotreréduction que tous les sommets soient des clients. Aussi la demande du n÷ud source

s

doit être non nulle, maissavaleurn'est paspertinentepuisqu'auto-satisfaite.Enn nousposons

k = 2× |N|

Nous armonsque s'ilexiste une solution

S

àl'instance

IECF

,alors elle est nécessairement de coût égal à

k

et permet de déduire une solution à l'instance

N

du problème BIPARTITION. Le coûtde

S

esticilenombre d'arêtesde

G

transitant unotdevaleurnonnulle.Danstoutesolution réalisable, chacune desarêtes de laforme

{s, ni}

doit obligatoirement faire transiter un ot égal à sacapacité.Ces arêtessont aunombre de

|N|

.Pour chaquearête

{s, ni}

etsurles

2× ni

unités de ot quitransitent par elle,lamoitié estconsommée par lesommet

ni

.S'ilestpossiblede satisfaire les demandes de

N1

N2

avec

k = 2× N

arêtes, alors le ot non-consommé par chaque sommet

ni

ne se divise pas, et est intégralement routé en direction de

N1

N2

. On construit alors une bipartition

N ={NA, NB}

enajoutantà

NA

leséléments

ni

N

pourlesquelsl'arête

{ni, N1}

fait transiter un otnon nul(précisément de

n1

unités), età

NB

sinon.La réciproque estimmédiate.

Le point

2

de laproposition 3 est immédiat. Soit une instance

I

de ICECF. S'il n'y a qu'une source

s

, n'importe quel arbre couvrant le graphe en entrée décrit une solution pour

I

. S'il y a plusieurs sources,nouslesfusionnonspareillement àlapreuve dupoint

1

delaproposition2.Nous obtenons uneinstance

I

0

dontlarésolution en temps polynomialdonne une solutiondemême coût pour

I

Dans le document Problèmes algorithmiques et de complexité dans les réseaux sans fil (Page 146-154)

9.2 Modélisation

9.2.2 formulation du problème

r

G = (V, E)

S

⊆ V

dist≥ 1

x∈ V

x /∈ S

r

(G, S, d)

r + 1

{C1, C2, . . . Cr+1}

Ci⊆ G

V (Ci)∩ V (Cj) ={x}, ∀1 ≤ i < j ≤ r + 1

{C1, C2, . . . Cr+1}

Ci

⊆ G

r

x /∈ S

(G, S)

x

S

x

r

(G, S)

r

x

T

r

(G, S)

x∈ T

r

(G, S)

r

T

(G, S)

r

T

T

r

G = (V, E)

capa : E

→ R

∗+

S⊆ V

T

⊆ V

dem : T

→ R

∗+

C

∀c ∈ C, ext(c) = {sc, tc}|sc

∈ S, tc

∈ T

PC(e)

C

e

f : C

→ Z+

c

C

h(e) =

P

c∈PC(e)f (c)

e∈ E

h(e)≤ capa(e), ∀e ∈ E

P

c∈C|t∈ext(c)f (c)≥ dem(t), ∀t ∈ T

G = (V, E)

capa

E

→ R

∗+

S

T

V

T

→ R

x_{∈ V}

S_{⊆ V}