Minimiser le temps ou l'énergie d'une diusion

Nousétudionsdanscettesectiondeuxfamillesdeproblèmesconsistantàconstruireunediusion minimisantrespectivement letempsnécessaireetl'énergierequise,selondiérentsmodèles decom-

munication. L'ensemble desproblèmesconsidérés a étéintroduitetformalisédanslessous-sections 2.3.1 à2.3.4.

La donnée de chacun des problèmes dénis comporte un graphe

G = (V, E)

connexe, et un n÷ud source

s∈ V

. Les problèmes de décision portant surl'existence d'une solution avec nombre d'étapes borné possèdent une donnée complémentaire, notée

k

, correspondant à la la plus grande dateallouable.

Lestroisproblèmes [Di,Sync,Tmp]-Temps, [Di,Sync,Tmp]-émissions,[Di,Sync,Tmp-EM]- Temps et[Di,Sync,Tmp-EM]-émissions ont étémontrés NP-completsdansdenombreux travaux. Nous ciblons notre étude de complexité sur les problèmes dont le contexte de réception est en arborescence.

3.2.1 Minimiser le temps de diusion

Dans cette première sous-section, nous montrons la NP-complétude du problème de décision [Di,SyncArbo,]-Temps.Lapreuveprésentées'étendnaturellementpourprouverlaNP-complétude de [Di,AsyncArbo,]-Temps.

Théorème 2 :

Le problème de décision [Di,SyncArbo,]-Tempsest NP-complet.

Preuve :

NousmontronsqueleproblèmeestNP-completparuneréductiondepuisleproblèmeNP-complet EXACT SET COVER, désigné dans la suite du document par l'acronyme ESC. Ce problème est une versionparticulière duproblème MINIMUMSET COVER danslaquelle lesensembles retenus dansune solutiondoivent êtredisjoints.

Tout d'abord, leproblème [Di,SyncArbo,]-Temps est dans NP : soient

I = (G, s, k)

une ins- tancede [Di,SyncArbo,]-Temps, et

T

une arborescence

T

donnée. Il estpossible devérieren un temps polynomial que

T

est bien cohérente pour [Di,SyncArbo,] sur

I

, et de hauteur inférieure ou égaleà

k− 1

Soit

IESC

= (S, C)

une instance du problème ESC, où

C = (S1, S2, . . . , Sk)

est une collection de

k

sous-ensembles d'un ensemble

S

l

éléments

S =

{e1, e2, . . . , el}

. Par une transformation polynomialeen temps eten mémoire,nousconstruisons legraphe

G = (V, E)

telque :

V ={x1, x2, . . . , xk}

S {y1, y2, . . . , yl}

S {s}

E ={s, xi}, ∀i ≤ k

S {xi, yj}, ∀i ≤ k, j ≤ l|ej

∈ Si

Considérons leproblème [Di,SyncArbo,]-Temps sur l'instance

I

dénie par le graphe

G = (V, E)

précédemment construit,le sommetsource

s∈ V

,etun entier

k = 2

.Résoudre

I

revient à trouver s'il existe une stratégie de diusion en

2

étapes au plus. Nous montrons qu'il existe solution au problème [Di,SyncArbo,]-Temps sur

I

siet seulement s'il existeune solution à

IESC

Soit

A

une arborescencecohérente pour [Di,SyncArbo,] etde hauteur

1

.Clairement

A

décrit une solution de [Di,SyncArbo,]-Temps sur

I

. Dans cette solution, le sommet

s

émet à l'étape

1

et tous les sommets de

xi

1≤i≤k

reçoivent correctement le message. À l'étape suivante un sous- ensemble

U

decessommetsémet.Cetensembleestdésignéparl'ensembledessommetslsde

s

dans

A

. Puisque

A

décrit une solution, tous les sommets

yj

1≤j≤l

reçoivent correctement le message. Onendéduitunecouverturedetouslessommets

yj

1≤j≤l

parlessommetsde

U

.Ensélectionnant les ensembles

Si

tels que

xi

∈ U

,nousobtenons une solutionau problème ESC.

La réciproque estimmédiate.

Rappelons enn que [Di,SyncArbo,]-Temps est dans NP. Puisque ESC est un problème NP- complet, alors nousen concluonsque[Di,SyncArbo,]-Temps également.

Corollaire 2 :

Le problème [Di,AsyncArbo,]-Tempsest NP-complet.

Preuve :

L'arborescence

A

construitedanslapreuveprécédenteestdehauteur

1

etestégalementcohérente pourle modèle[Di,AsyncArbo,].Lapreuve segénéralisedanslecas asynchrone.

Signalons enn lapropriétésuivante :

Propriété 7 :

Dans uncontexte synchrone,une borne inférieure au nombre d'étapes est dénie par l'excentricité du sommet source. Une arborescence cohérente pour le modèle [Di,SyncArbo,] (respectivement [Di,AsyncArbo,]) possède une hauteur au moins égale à l'excentricité du sommet source moins un.

3.2.2 Minimiser le nombre d'émissions

Dans la sous-section suivante, nous établissons la NP-complétude du problème de décision [Di,SyncArbo,]-émissions. Cerésultat s'étenddanslemodèleasynchrone.

Théorème 3 :

Le problème dedécision [Di,AsyncArbo,]-émissions est NP-complet.

Le problème deminimisation associé[Di,AsyncArbo,]-minémissionsest NP-dicile etnon approximable à un facteur constant près.

Preuve :

Nousmontrons queleproblèmededécision[Di,AsyncArbo,]-émissionsestNP-completpar une réductiondepuisleproblèmeNP-completSETCOVER(SC),quiestleproblèmededécisionassocié au problèmed'optimisation MINIMUM SETCOVER (MSC).Nous montrons quenotre réduction conserve le rapport d'approximation de la solution. Puisque MSC est un problème NP-dicile et non approximable à une constante près, nous en déduirons que [Di,AsyncArbo,]-minémissions également.

Le problème [Di,AsyncArbo,]-émissionsest dansNP :il est possible de vérier en un temps polynomial qu'une arborescence

A

donnée est bien cohérente pour [Di,AsyncArbo,] surune instance

I = (G, s, k)

donnée, etquesonnombre de n÷uds estinférieur ouégal à

k− 1

Soit

ISC

= (C, S, k)

une instance de SC, où

C =

{S1, S2, . . . , Sm}

est une collection de sous- ensembles d'un ensemble

S

l

éléments

S =

{e1, e2, . . . , el}

, et

k

un entier naturel. Par une transformation polynomiale en temps et en mémoire, nousconstruisons depuis

ISC

le graphe

G =

(V, E)

telque :

V ={x1, x2, . . . , xm}

S {y1, y2, . . . , yl}

S {s}

E ={s, xi}, ∀i ≤ m

S {xi, yj}, ∀i ≤ m, j ≤ l|ej

∈ Si

S {xi, xj}, ∀i, j ≤ m

Considéronsleproblème[Di,AsyncArbo,]-émissionssurl'instance

I = (G, s, k + 1)

.Résoudre

I

re- vientàtrouverunearborescence

A

cohérente dans[Di,SyncArbo,]telleque

emissions(A) = k +1

. Soit

A

unearborescencecohérentepour[Di,AsyncArbo,]-émissionsoù

emissions(A) = k + 1

. À l'étape

1

seul

s

émet et l'ensemble

xi

1≤i≤k

peut recevoir (et potentiellement accepter) le message.Aucun sommet

yi

n'esttransmetteur, puisquel'ensembledesessommetsvoisinsestinclus dans

xi

1≤i≤k

. Exactement

k

sommets parmi

xi

1≤i≤k

sont transmetteurs. L'ensemble

T

des transmetteurs forme une clique dans

G

. L'arborescence

A

est donc une chaîne, en accord avec la dénition34.Lesrelationsdeparentésontsecondaires,etpeuventsedénirparunordrequelconque surles sommetsde

T

.Ilsedéduit quetoutsommet de

yj

0≤j≤l

estvoisind'aumoinsun sommet de

xi

1≤i≤k

.Ensélectionnant lesensembles

Si

telsque

xi∈ V (A)

,nousobtenonsunesolutionsur l'instance

ISC

La réciproque estimmédiate.

Cette réduction conserve le rapport entre solutions, et donc l'inaproximabilité de la solution. Rappelons enn que [Di,AsyncArbo,]-émissions est dans NP et que MSC est un problème NP- dicileetnonapproximableàunfacteurconstant.Nousconcluonsque[Di,AsyncArbo,]-émissions estNP-complet etque[Di,AsyncArbo,]-minémissionsestunproblèmeNP-dicileetnonapproximable àun facteur constant.

Corollaire 3 :

Le problème dedécision [Di,AsyncArbo,]-émissions est NP-complet.

Le problèmedeminimisation[Di,AsyncArbo,]-minémissionsest NP-dicileetnonapproxi- mableà un facteur constant.

Preuve :

La preuveprésentéeprécédemment sedéclinedanslecassynchrone. L'arborescence

A

n'est plus forcément une chaîne. Cependant dansle graphe

G

construit dansla preuve précédente, s'il existe une arborescence

A

cohérente pour [Di,SyncArbo,] avec

emissions(A) = k + 1

, nous pouvons en déduire une arborescence

B

cohérente pour [Di,AsyncArbo,] avec

emissions(B) = k + 1

, où

B

est une chaîne avec

V (B) = V (A)

s

∈ ext(B)

. Les résultats de la preuve s'étendent alors naturellement au modèle synchrone.

Terminonsavec lapropriété suivante:

Propriété 8 :

Soit

G = (V, E)

un graphe connexe.

Alorsdans toute stratégiedediusion,lenombre den÷uds transmetteurs

|T |

vérie l'équation :

|T | ≥

|V | − 2

∆G− 1

(3.1)

où

∆G

est le degré maximum du réseau. Preuve :

En accord avec le point

3

de la propriété 1,

|T | ≥ |D|

, où

|D|

est la cardinalité du plus petit ensembledominant connexe.

Soit

D

un ensemble dominant connexe de cardinalité minimumdans

G

,et

G

0

le graphe induit de

G

par les sommets de

D

. Appelons potentiel couvrant d'un sommet

x

∈ D

le nombre de n÷udsde

V (G)− V (G

0₎

adjacentsà

x

.Clairement cepotentielestégalà

dG(x)− d

0 G(x)

.Lasomme des potentiels couvrant des

x

∈ D

doit être supérieure à la cardinalité de l'ensemble dessommets de

V (G)− V (G

0₎

, c'est-à-dire

|V | − |D|

.En remarquant que

G

0

doit être connexe, (donc contient nécessairement

|D| − 1

arêtes)etqueledegré de

G

estbornépar

∆

,nousobtenons :

X

x∈D

(dG(x)− dG0(x))

≥ n − |D|

|D| +

X

x∈D

dG(x)

≥ n +

X

x∈D

dG0(x))

|D| + ∆ × |D| ≥ n + 2 × (|D| − 1)

|D| ≥

n− 2

∆− 1

Dans le document Problèmes algorithmiques et de complexité dans les réseaux sans fil (Page 54-58)

Minimiser le temps ou l'énergie d'une diusion

G = (V, E)

s∈ V

k

I = (G, s, k)

T

T

T

I

k− 1

IESC

= (S, C)

C = (S1, S2, . . . , Sk)

k

S

l

S =

{e1, e2, . . . , el}

G = (V, E)

V ={x1, x2, . . . , xk}

S {y1, y2, . . . , yl}

S {s}

E ={s, xi}, ∀i ≤ k

S {xi, yj}, ∀i ≤ k, j ≤ l|ej

∈ Si

I

G = (V, E)

s∈ V

k = 2

I

2

I

IESC

A

1

A

I

s

1

xi

1≤i≤k

U

s

A

A

yj

1≤j≤l

yj

1≤j≤l

U

Si

xi

∈ U

A

1

A

I = (G, s, k)

k− 1

ISC

= (C, S, k)

C =

{S1, S2, . . . , Sm}

S

l

S =

{e1, e2, . . . , el}

k

ISC

G =

(V, E)

V ={x1, x2, . . . , xm}

S {y1, y2, . . . , yl}

S {s}

E ={s, xi}, ∀i ≤ m

S {xi, yj}, ∀i ≤ m, j ≤ l|ej

∈ Si

S {xi, xj}, ∀i, j ≤ m

I = (G, s, k + 1)

I

A

Minimiser le temps ou l'énergie d'une diusion

E ={s, xi}, ∀i ≤ k

S {xi, yj}, ∀i ≤ k, j ≤ l|ej

xi

yj

yj

E ={s, xi}, ∀i ≤ m

S {xi, yj}, ∀i ≤ m, j ≤ l|ej

S {xi, xj}, ∀i, j ≤ m

xi

xi

xi

yj

xi

0₎