Un outil pertinent : la mv-décomposition

Nousintroduisonsunnouveloutilappelélamv-décomposition.Lesdénitions suivantesnous permettent de dénircet outil:

Dénition 36 (mono-voisinage, réceptivité, saturation, coût d'une saturation) : Soit

G = (X, Y, E)

ungraphe bipartitel que

X

couvre

Y

.

Pour

X

0

_{⊆ X}

, on appelle mono-voisinage de

X

0

l'ensemble des voisins de

X

0

qui ne sont voisins que d'un seul sommet de

X

0

. Onlenote

mvG(X

0₎

.

La réceptivité de

G

, notée

ρ(G)

, est alors dénie par :

ρ(G) = max

X0_⊆X



mvG(X0)





On ditqu'un ensemble

{Xi}i∈I

departiesde

X

sature

Y

dans

G

lorsque :

Y =[

i∈I

mvG(Xi)

Le coût de saturation de

G

, noté

σ(G)

, est le cardinal minimal d'un ensemble de parties de

X

qui sature

Y

dans

G

Sur la gure 4.1 nousreprésentons un graphe biparti

G = (X, Y, E)

, si

X1

={A, B, D}

, alors

mvG(X1) =

{1, 3, 5, 6}

. La réceptivité

ρ(G) = 5

est obtenue pour

X2

=

{A, D}

, ce qui donne

mvG(X2) =

{1, 2, 4, 5, 6}

. L'ensemble de parties

{X1, X2}

sature

Y

dans

G

, et porte le coût de saturation

σ(G)

à

2

.

PSfragreplacements

A

B

C

D

1

2

3

4

5

6

Fig.4.1 un graphebiparti.

Appliquons ces dénitions au problème de diusion à distance

2

. Les n÷uds d'une partie

Xi

émettent àunemêmeétape,durantlaquelleseulslesn÷udsde

mvG(Xi)

reçoiventunmessagesans interférence. La démarche entreprise lelongdecette sectionconsiste àdénir unensemble

{Xi}i∈I

departiesde

X

saturant

Y

.Cetensembleseconstruiticiaumoyen d'unemv-décomposition. Enn lecoûtde saturation estlenombre d'étapes minimumrequis par une diusion.

La couverture minimale, clé de voute de la mv-décomposition

Laconstructiond'unemv-décompositions'opèreparlecalculd'unecouvertureminimale,que nousdénissons commesuit :

Dénition 37 (couverture, couverture minimale) : Soit

G = (X, Y, E)

ungraphe biparti.

Une couverture dans

G

d'un sous-ensemble

Y

0

_{⊆ Y}

est un sous-ensemble

X

0

_{⊆ X}

tel que

Y0

_{⊆ N}

G(X0)

,où

NG(X

0₎

désigne l'ensemble des voisins des sommets de

X

0

dans

G

. Ondit que

X

0

est une couverture minimale(ausensdel'inclusion) de

Y

0

dans

G

lorsque

X

0

est une couverture de

Y

mais qu'aucun de sessous-ensembles stricts n'enest une.

Sur l'exemple de la gure 4.1,

{A, B, C, D}

est une couverture de

Y

qui n'est pasminimale, à l'inverse de

{A, C, D}

. Nousproposons lelemmesuivant:

Lemme 1 :

Soient

G = (X, Y, E)

un graphe biparti, et

X

0

_{⊆ X}

une couverture minimalede

Y

0

_{⊆ Y}

. Alorschaque sommetde

X

0

possèdedans

Y

0

unvoisinquin'estvoisind'aucun autre sommetde

X

0

. Autrementdit,

mvg(X

0_{)≥ |X}0_|

. Preuve : Soient

X

0

_{⊆ X}

une couverture dans

G

de

Y

0

_{⊆ Y}

et

x

un sommet de

X

0

.Sichaque voisinde

x

dans

Y

0

estégalement voisind'unautresommet de

X

0

,alors

X

0_{− {x}}

couvre encore

Y

0

.



La mv-décomposition : Dénitionset propriétés

Nous présentons maintenant un nouvel outil, lamv-décomposition. Un desrésultats de la mv- décompositiond'ungraphe biparti

G = (V, E)

est unensemblede partiesde

X

saturant

Y

,quiva servir de supportàune diusion.La mv-décomposition sedénit formellement commesuit:

Dénition 38 (mv-décomposition) :

Soit

G = (X, Y, E)

ungraphe bipartitel que

X

couvre

Y

.

Une mv-décomposition de

G

consiste en la donnée d'un entier

K

et de trois suites

(Xi)0≤i≤K

,

(Yi)0≤i≤K

et

(Zi)0≤i≤K

satisfaisant les conditions suivantes : 1. Pour

i = 0

:



X0

= X



Y0= Y

2. Pour tout

i

telque

Xi

soit déniet nonvide : 

Xi+1⊆ Xi

est une couverture minimalede

Yi

,



Zi

est déni de sorte que le biparti

Hi

, sous-graphe de

G

induit par

Xi

∪ Zi

, décrit un couplage parfait

1 , 1



Yi+1= Yi− Zi+1

.

3.

K

est l'entier pour lequel

YK

=∅

.

L'entier

K

est la profondeur dela mv-décomposition. Nous énonçonsles propriétés suivantes :

Propriété 9 :

Soit

G = (X, Y, E)

ungraphe bipartitel que

X

couvre

Y

.

Alors

G

possède au moins une mv-décomposition, et pourtoute mv-décomposition :

1.

{Xi}0≤i≤K

et

{Yi}0≤i≤K

sontdeuxsuites emboitées pourl'inclusion,avec

XK

6= ∅

et

YK

=∅

. Par ailleurs

Xi

couvre

Yi

pour

0≤ i ≤ K

.

2.

{Zj}i≤j≤K

est une partition de

Yi−1

. En particulier

{Zi}1≤i≤K

est une partition de

Y

. 3. pour tout

i

tel que

1≤ i ≤ K

, on a :



|Zi| = |Xi| 6= ∅

. 

Zi⊆ mvG(Xi)

.

4. Pour tout

i

tel que

1

≤ i ≤ K

, tout sommet

x

de

Xi

possède, pour tout

j

tel que

1

≤ j ≤ i

, exactement un voisin dans

Zj

qui n'est voisind'aucun autre sommet de

Xi

.

Preuve :

Soient

Xi

⊆ X

et

Yi⊆ Y

,

Yi

non vide,tels que

Xi

couvre

Yi

(vrai pour

i = 0

). Alors

Yi

possède au moins une couverture minimale

Xi+1

⊆ Xi

.Le lemme 1 permet d'armer quepour tout

Xi+1

non vide,

Zi+1

est bien déni et non vide, et donc que

Yi+1

est strictement inclus dans

Yi

. Ceci assureégalement que

Xi+1

couvre

Yi+1

L'existence d'une mv-décomposition pour tout

G

est donc assurée, demême que lespoints(1), (2)et(3).

Pour tout

i

et

j

tels que

1

≤ j ≤ i ≤ K

,

Xi

⊆ Xj

. Alors tout sommet

x

de

Xi

est aussi un sommet de

Xj

. Comme le sous-graphe induit de

G

par les sommets

Xj

∪ Zj

dénit un couplage parfait,il existedonc unsommet

zj

∈ Zj

voisinde

x

qui n'est voisind'aucunautresommet de

Xj

.



La gure4.2 présente une mv-décomposition d'un graphe biparti. Les arêtesen noirdésignent pour chaque n÷ud

y

la provenance d'unmessage sans interférence. Dans une diusion, l'émission simultanée dessommetsd'unensemble

Xi

decardinalité

l

entraîne uneréception correctepour les

l

sommetsde

Zi

,ainsiquepour

l

sommetsde chaqueensemble

Zj

avec

1≤ j ≤ i

.Les sommetsde

Yi

reçoivent obligatoirement tous uneréception avec interférences.

Propriété 10 :

Soit

G = (X, Y, E)

ungraphe bipartitelque

X

couvre

Y

.Alorspourtoute mv-décomposition de

G

de profondeur

K

, on a :

K_{≤ ∆}G(X)

(4.1)

4.1. DIFFUSIONÀ DISTANCE 2

X0

X1

X2

X3

Y0

Y1

Y2

Z2

Z1

Z3

a

b

c

d

e

f

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fig. 4.2Construction d'unemv-décomposition

Preuve :

En reprenant lesnotations de ladénition38,etd'après lespoints

2

et

4

delapropriété 9,on a

dG(x)≥ K

.Cequi permetdeconclure.



Nous terminons cettesous-section par laremarque suivante:

Remarque 4 :

Intuitivementdansleproblèmedediusion,onpeut seconvaincre dufaitque l'émissionsimultanée des n÷uds d'un ensemble

Xi

quelconque va assurer une diusion sans interférence vers les n÷uds de

Zi

.

Dans la dénition formelle d'unemv-décomposition

(Xi)0≤i≤K

,

(Yi)0≤i≤K

et

(Zi)0≤i≤K

, l'équa- tion suivante est toujourssatisfaite :

|Xi| = |Zi|

(4.2)

Onpeutdénirunemv-décompositionque nousqualionsd'alternative,enremplaçantl'équation 4.2par l'inéquation suivante, sansaltérer pour autant la diusion des

Xi

vers les

Zi

:

|Xi| ≤ |Zi|

(4.3)

Cette modication permettrait decalculer des mv-décompositionsplus pertinentes: par exemple dans des topologies comme l'étoile à

n

branches, la profondeur minimale d'une mv-décomposition alternative seraitde

1

, alors que celle d'unemv-décomposition classique seraitde

n− 1

.

Dans l'étude théoriquemenée ensous-section 4.1.4,ilest nécessaire d'avoir uneégalitéentre les cardinaux de

Xi

et

Zi

pour établier le rapport d'approximation de l'algorithme Saturation. Intuiti- vement, remplacer l'égalité4.2parl'inégalité4.3doit conduire àune approximation aumoins aussi bonne, mais cette intuitionn'a pas été prouvée par le calcul.

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