Comparaison des temps de recherche d'une solution réalisable

établirdesindividusdécrivantunesolutionréalisable.Letempsperduàfaireévoluerunepopulation initialeestsusantauB&B-dédiépouratteindreunesolutionréalisable.D'autrepartleB&B-dédié est unestratégie optimale,ettrouveral'optimum même sil'espace des solutions optimalesest très restreint. Sil'espace dessolutions réalisables est très grand par rapport à celui dessolutions opti- males, lesindividus del'algorithme génétiqueont tendance àévoluer dansce premier etéprouvent desdicultés àconverger verslesecond.

En revanche surdesinstances de grandestailles, notrealgorithme génétique atteint plus facile- mentdessolutionsréalisables.Lesécartsdetempssontproportionnelsaunombred'arêtesdugraphe de l'instance. Notons que lagénération desindividus est telle que dans la première génération, la distributiondesarêtesestuniformedansles individus.Àl'inversedansleB&B-dédié, lespremières arêtes sélectionnées se retrouvent plus souvent dans les premiers n÷uds évalués. Si ces arêtes ne peuvent fairepartie d'une solution, leB&B-dédié ne pourrapasdéterminer rapidement l'existence unesolutionréalisable. L'algorithmegénétique oreunecertainerobustessefaceàcela,alorsquele B&B-dédié doit brancher dèsle départ surles bonnesarêtes pour être leplus ecace possible. Le choixdesarêtes surlesquellesbrancheraudépart estd'autant pluscritiquequele nombred'arêtes estgrand.

Remarque 33 :

L'utilisation d'unalgorithme génétique ore un intérêtcertainsur lepointsuivant: lorsqu'uneins- tance nepossède pas de solutionréalisable pour untriplet

(deg, hop, r)

, alors l'algorithmegénétique peut retournerune solutiontrèsproched'unesolutionréalisable. Lanotationd'un individuque nous avons proposés suppose que plus le degré d'un sommet est proche de

deg

plus le nombre de points ajoutés à la note nale est grand. Il en est de même pour le nombre de sources distantes d'au plus

hop

d'unclientdonné.Engénéralisantcetteapproches surl'ensembledes contraintes,nouspouvons dénirunalgorithme génétiquequiretournedes solutionsprochesdelasolutionespérée lorsquecelle ci nepeut être atteinte. Ceci s'avère particulièrement intéressantsil'instance nepeut être satisfaite à cause d'un seul client (auquel cas dans un déploiement réel on relâcherait une contrainte sur ce clientuniquement). Les deux stratégies optimales proposées nepermettent pas une telle souplesse.

L'étudemenéedanscettepartienousapermisd'introduireleproblèmedeconceptionderéseaux radiomulti-sautsrobustesNetworkDesign.Lescontraintesdedéploiementsontliéesàlasatisfaction debande passante,audegrémaximalautorisé, aunombredesautsentreunesourceetunedestina- tion, etaunombre de pannessimultanéesquepeutsupporterleréseau.L'objectif estdeminimiser lenombre de liensdu réseau àdéployer.

Nous avons étudié dans le chapitre

10

l'impact de chacune descontraintes de déploiement sur la diculté du problème. Nous avons notamment établi les bornes entre polynomialité et NP- complétude pour desfamillesdeNetworkDesigndanslesquellescertaines contraintes sontignorées. Certainesde cesfamilles réfèrent parfoisà desproblèmes algorithmiques bienconnus.Le problème min-NetworkDesignaétémontréNP-dicilemêmelorsqueseulelacontraintedeotestconsidérée. Danscecasparticulier, onpeutaisémentvérierl'existenced'unesolutionréalisableenconsidérant toutes les arêtes comme faisant partie d'une solution (Il sut alors de savoir si les demandes de ot sont réalisables pour obtenir unesolution, ouau contrairearmer quele problèmene possède pasdesolution). Cetteobservation sevérieégalement sinousconsidérons également lacontrainte de robustesse (la recherche de

r

chemins disjoints à origine ou destination unique se réduit à un problème de ots). En revanche l'introduction des contraintes de degré ou de distance ne permet plus d'assurer l'existence d'une solution, carelles rendent la sélection simultanée de certains liens incompatible avec les critères d'unesolution.

Nousavonsmontréqueleproblèmeestpolynomiallorsquelenombredesautsouledegréautorisé ont pour maximum

1

.Résoudre certaines instances devient NP-complet dès quel'un ou l'autre de ces paramètres atteint la valeur

2

. Mais nous n'avons pas pu établir avec précision la frontière entre polynomialité et NP-complétude lorsque ces deux paramètres interagissent simultanément, principalement lorsquele degréestcompris entre

2

et

3

,etlenombrede sautsentre

2

et

hop

,avec

hop

constant.

Nous avons proposédans lechapitre

11

deux outilsde résolution exacte,un PLNE etun B&B- dédié, pour traiter des instances de taille raisonnable. Nous avons étudié l'impact des trois para- mètres de degré, nombre de sauts et robustesse sur les temps d'exécution de ces stratégies. Les observationsqui enressortentattestent quenosdeuxstratégies sontcomplémentaires. Par exemple lorsque la demande des n÷uds est faible par rapport aux capacités des liens le B&B aboutit plus rapidement àune solutionoptimale.Le B&B-dédiéestde plusrobuste àunnombreélevé desauts. En revanche,l'utilisation duPLNE est préconisée lorsque lademande est élevée carles coupesgé- néréessontplusperformantes. ParailleurslePLNEdétermine plusrapidement siuneinstancepeut assurerun facteur derobustesse

r

donnée ounon.

Déterminer comment agit chacun de ces paramètres sur les temps d'exécution de nos outils permetd'avoirune meilleure visionsur lafaçon d'aborderune instancedonnée.

La prise en compte d'instances plus larges a nécessité de dénir une heuristique basée sur les algorithmes génétiques. L'analyse de cette heuristique montre son ecacité à trouver rapidement des solutions réalisables lorsque les méthodes exactes serévèlent inecaces. Les méthodes exactes restent cependant globalement plusperformantes surles instancesde faibletaille,notamment pour trouverles solutionsde coûtoptimal.

Lesperspectivesquenousdonnonsàce travailconsistentessentiellementà dénirdemeilleures bornes surle coût des solutions optimalesde NetworkDesign. L'utilisation de nouvelles normeset technologies (Wi-max,antennes directionnelles plusperformantes, ...) nouslaissent penser queles taillesd'instances dece problème seront plusimportantes danslefutur. Savoircalculer desbornes pertinentes permettraitd'améliorer considérablement lestemps decalculdenosstratégies,validant ainsileur utilisation dansdesproblèmes deconception plusétendus géographiquement.

Le travail présenté dans ce manuscrit a porté sur l'étude de trois problèmes algorithmiques inspirés des contraintes de fonctionnement des réseaux sans l multi-sauts. La communication au seindecesréseauxs'opèreaumoyend'antennesomnidirectionnellesoudirectionnelles. L'utilisation d'antennes directionnelles est privilégiéepar exemple dansdesréseaux très localisés géographique- ment ou des réseaux dynamiques où les n÷uds sont mobiles. La réception d'un message par ces antennes est sensible aux interférences et renddicile l'accomplissement de certaines opérations : dans un tel environnement, un n÷udpeutémettre vers ses voisins en une seule émission, mais ne peutpasrecevoirsimultanémentplusieurstransmissions.Cettecontrainterenddicilelarésolution de certains problèmes algorithmiques.Soulignons que lacomplexité desproblèmes decommunica- tion dansles réseaux sans-l estparfois masquée par l'utilisation dela norme 802.11, qui assureà l'utilisateur un accès exclusifau média radio. Les phénomènes d'interférences sont cependant bien présentsau niveau de lacouche physique, etleur traitement requiert desretransmissionsmultiples etl'utilisation d'accusésde réception. Nousavonsétudié danslesdeux premièrespartiesde ce mé- moiredeux problèmes de communication, sousl'hypothèse qu'aucun protocole bas-niveau n'assure decouche MACidéale.En supposantquelatopologie duréseau estconnue (parunsuperviseurou par l'ensemble desn÷uds du réseau), nous avonssu dénir et étudier des stratégies de résolution sansaccusé de réceptionpour lesdeux problèmes algorithmiques considérés.

L'étudeduproblèmedeladiusionafaitl'objetdelapremièrepartiedecemémoire.Diérencier lesmodèlessynchronesetasynchronesdanslesquelsnousavonsétudiéceproblèmeanécessitélamise en place d'une classication. Nous avons pu ordonner les diérentes approches et travaux réalisés grâce à cette dernière. L'objet de notre travail a consisté à dénir des stratégies de résolution au problèmedeladiusionsurcesdiérentsmodèles.Surlesmodèlessynchrones,etencomplémentaux stratégiestraditionnellesd'ordonnancementd'émissions,nousavonsdéniunenouvellestratégie de diusion,dite enarborescence, dont undes intérêtsestsadéclinaison dansunmodèle asynchrone. Nos travaux se sont par la suite orientés sur l'étude de cette stratégie. Nous avons montré l'existencesystématique d'unestratégie de diusion en arborescence. Malheureusement, minimiser les coûts en temps de diusion ou en nombre d'émissions par cette stratégie sont des problèmes NP-diciles, aussibiendansles cassynchronesqu'asynchrones.

Nous avons montré l'évolution de la complexité du problème visant à minimiser le nombre d'émissionsenfonctiondelatopologie.Lorsquelegrapheduréseauesttriangulé,lenombred'émis- sionsminimumd'une stratégie de diusion en arborescence estexactement lataille d'unensemble dominantconnexeminimum.Cerésultataboutitàunalgorithmepolynomialminimisant lenombre d'émissions dans les graphes d'intervalles. Mais le problème devient NP-complet sur la classe des path-graphes, une classe de graphes comprise entre les graphes triangulés et les graphes d'inter- valles.SaversionoptimisationdevientmêmeNP-dicileetnonapproximable àunfacteurconstant

près sur les graphes triangulés. Lorsque l'on s'intéresse à la minimisation du temps de diusion, nousavonsmontrél'existenced'unalgorithmeapproximant letemps dediusion parun facteur

∆

lorsque legrapheest triangulé,où

∆

estledegrémaximumdu graphe.

Parallèlement,nouspoursuivil'étudedestratégiesd'ordonnancementsynchronessurdesgraphes dont l'excentricité de la source est

2

. Des travaux menés dans [CW91 ] ont montré l'existence de stratégies de diusion en

O(ln

2_n)

étapes. L'introduction d'un nouvel outil, la mv-décomposition, a permis de dénir une stratégie de diusion également en

O(ln

2_n)

étapes, mais dans des temps decalculsraisonnablement meilleurs.La mv-décomposition estunoutilintéressant,quenousavon- ségalement utilisé pour dénir une stratégie minimum en nombre d'étapes et d'émissions sur les graphes convexescirculaires.

L'étude de notrestratégie en arborescencedansunmodèle synchrone amenéà dénirdesheu- ristiquesde diusionsurlagrilleetletore.Le principalrésultatestlamiseen placed'unestratégie dediusionenarborescencesurcestopologies. Lescomparaisonsmenéesentrelesperformancesdes heuristiquesetlecoût optimalont conclus àlapertinencede nosheuristiques.

Nous avonsmontré quenotre stratégie dediusion en arborescence orethéoriquement desso- lutionsoptimalesmoinsbonnesqueles stratégiesclassiquesdetemporisation etd'ordonnancement d'émissions.Cependant,desjeuxdesimulation ontmontréquelescoûtsobtenussontgénéralement dumêmeordre.Lessimulationsontétéréaliséessurdesgraphesdedisquesunitaires,quimodélisent ecacement lesréseaux radios.

Résoudre ecacement leproblèmedeladiusionconstitue unenjeumajeurdanslefonctionne- ment desréseaux radios. Un second problème toutaussi important etcelui de lasatisfaction d'un ensemblederequêtesdecommunicationsdonné.L'étude,cantonnéeàunmodèlesynchrone,aconsi- déréleproblème sousdeuxfamilles, qui sediérencient uniquement par laconnaissance ounon de lafonction de routage.Lesdeux famillesnommées DAWN-paths etDAWN-requests sont déclinées en plusieurs sous-problèmes, dont une version online.Nous avonsétudié dansla seconde partie du mémoirelesproblèmes dechacunedecesfamilleslorsquel'objectifrecherché estlaminimisationdu temps de diusion.

Les résultats de complexité présentés attestent de la diculté de ces problèmes même lorsque des conditions supplémentaires sont envisagées sur la topologie. Le principal résultat est la NP- complétudedeDAWN-pathslorsquelegrapheduréseauestunarbrebinaire.Lerésultat sedécline pour prouver la NP-complétude sur les graphes de disques unitaire. D'autres résultats annoncent lalimiteentrelapolynomialitéetlaNP-complétudedesproblèmes enfonction dunombred'étapes maximumautorisé. Cesrésultatsmontrentunefrontièretrèsbassepour desvaleursde

3

ou

2

,selon queles routes de communication sont connuesou pas.

Nous apportons cependant un résultat encourageant, puisque nous proposons des algorithmes polynomiauxdèslorsquelenombrederequêtesestbornéparuneconstante

K

.Cettepolynomialité estgarantiemêmesurdesréseauxdynamiques,quimodélisentecacement desréseauxsurlesquels unensemblederequêtesestencoursdesatisfaction.Cecipermetd'envisagerunprocessusdesatis- faction derequêtes dansdesconditions d'exécutionplusréalistes etouvreune réexionsurlamise en ÷uvred'heuristiques lorsquelenombrede requêtesn'est pasborné.

Les travauxmenés dans cesdeux premièresparties ont apportéun ensemblede résultats théo- riquesetd'outils derésolutionoptimale,auxquelspeuventsecomparerlesalgorithmes utilisésdans larésolution pratique deces problèmes.

Nous avons montré par deuxexemples quel'utilisation d'antennes omnidirectionnelles dansles réseaux sans-l augmente la diculté de certains problèmes algorithmiques, que l'on sait pour- tant résoudrefacilement dans lesréseaux laires. Cettediculté est notamment dûe à laprésence d'interférences prévenant certaines émissions simultanées.

L'utilisation d'antennes directionnelles pour établir les liens d'un réseau sans-l ore un tout autre contexte d'exécution: les communications issues de l'emploi de cette technologie sont beau- coupmoinssensiblesauxinterférences.Lesantennesdirectionnellespermettent unecommunication avec des sites géographiquement plus éloignés. Elles se retrouvent dans le déploiement de réseaux sans-l à dimension pluri-urbaine, voire départementale. Mais lamise en ÷uvre de tels réseaux se heurte àd'autres typesdecontraintes.

Dans ladernièrepartie dece mémoire, nousavonsétudié leproblème deconceptionde réseaux radiomulti-sautsrobustes,dontlerôleestd'assurerladistributiond'unuxdepuisunensemblede sourcesversunensemblededestinations.Lescontraintesdedéploiementsontliéesàlasatisfactionde bandepassante,audegrémaximalautorisé,aunombredesautsentreunesourceetunedestination, et au nombre de pannes simultanées que peut supporter le réseau. L'objectif est de minimiser le nombrede liensdu réseauà déployer.

Notreétudes'estintéresséeàl'impactdechacunedescontraintesdedéploiementsurladiculté à concevoir un réseau validant toutes les contraintes, et qui minimise le nombre de liens utilisés. Nous avons notamment établi les bornes entre polynomialité et NP-complétude lorsque certaines contraintes sont ignorées. Parmi les résultatsénoncés, nous avons montré que le problème est po- lynomial lorsquele nombre de sauts ou ledegréautorisé ont pour maximum

1

. Résoudre certaines instances devient NP-complet dèsquel'un oul'autre de cesparamètres atteint lavaleur

2

.

Nos travaux nousont conduitsa essayer de résoudrerapidement le problème surdes instances de taille raisonnable. Nous avons pour cela proposé deux outils de résolution exacte dénis par un PLNE et un B&B-dédié. Nous avons étudié l'impact des troisparamètres de degré, nombre de sauts etrésistanceaux pannessur lestemps d'exécution de cesstratégies, grâce à quoinous avons pu dénirdansquellescirconstances une stratégie peuts'avérer meilleure quel'autre. Par exemple lorsque la demande desn÷uds est faible par rapport auxcapacités des liens, le B&Baboutit plus rapidement à unesolution optimale.Deplus, lestemps d'exécutionduB&B-dédié nesontquepeu sensiblesàlavariationdunombredesauts.Enrevanche,lePLNEoredemeilleursrésultatslorsque la demande est élevée, et détermine plus rapidement le nombre maximum de pannes simultanées quepeutsupporterun réseau déployé.

La prise en compte d'instances pluslarges a nécessité ladénition d'une heuristique basée sur les algorithmes génétiques. Ces méta-heuristiques ont prouvé par le passé leur ecacité sur des problèmes de conceptionde réseaux. Une desoriginalitésde notrealgorithme génétique estsonin- teractionavecunprogrammelinéaire,interactionégalementprésentedanslastratégiedeB&B-dédié précédemmentintroduite.L'analysedecette heuristiquemontresonecacité àtrouverrapidement des solutions réalisables lorsque les méthodes exactes serévèlent inecaces. Les méthodes exactes restent cependant globalement plusperformantes surles instancesde faibletaille,notamment pour trouverles solutions decoûtoptimal.

Lesoutilsetformulationsdénisdanscettetroisièmepartiesontpleinementexploitablespourun opérateurdontlamissionestd'assurerlacouvertureenhaut-débitdezonesrurales.Enoutre,l'étude théorique du problème permet d'aborder la conception de réseaux multi-sauts robustes avec des

connaissancesintéressantessurlavariation dunombre deliensminimumen fonctiondespolitiques de déploiment adoptées.

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Dans le document Problèmes algorithmiques et de complexité dans les réseaux sans fil (Page 187-200)