Des problèmes diciles dans le cas général

Nous démontrons danscette sous-sectionle théorèmesuivant :

Théorème 18 :

Les problèmesdedécisionD-DAWN-pathset D-DAWN-requests sontNP-complets pourtout

D≥ 3

. Les problèmes d'optimisation min-DAWN-paths et min-DAWN-Requests sont NP-diciles et nonapproximables à un facteur constant près.

Preuve :

Nousmontronsd'abordqueD-DAWN-requestsestNP-completdepuisuneréductionauproblème D-COLORING.

Le problèmeD-DAWN-requestsestdansNP:on peut vérierentempspolynomialsiunefonc- tion de routage

P

permet de router ecacement les requêtes, etsi une aectation de dates

f

est correcte, sans conitetrequiert moinsde

D

étapes.

Soit

IC

= (GC)

uneinstanceduproblèmeD-COLORING.Nousconstruisonsàpartir de

IC

une instanceI=(G,R) de D-DAWN-requests, où

G

estun grapheavec :

V (G) =_{sx, tx|x ∈ V (GC)}

1 et

E(G) =_{sx, tx}|x ∈ V (GC) ∪ {sx, ty}|{x, y} ∈ E(GC) ∪ {tx, ty}|x, y ∈ V (GC)

Nous dénissons sur

G

une collection derequêtes

R = rx

= (sx, tx)|x ∈ V (GC)

.La construc- tionde

G

etde l'ensemble

R

est clairement polynomiale. Lesgures7.1(a) et7.1(b) présentent un graphe

GC

etlegraphe résultat

G

construit depuis

GC

.

PSfrag replacements

1 2 3

4 5

forme uneclique

(a)Ungraphe

GC

PSfragreplacements 1 2 3 4 5

s1

s2

s3

s4

s5

t1

t2

t3

t4

t5

S {ti}1≤i≤5

forme une clique (b)Ungraphe

G

construitdepuis

GC

Fig.7.1 Exemple deconstruction de

G

depuis

Gc

Nousmontronsques'ilexisteuneaectationdedatesvalidepour

I

en

k

étapes,alorsilexisteune solutionauproblèmeD-COLORINGpourl'instance

IC

avec

k

couleurs(

k≤ D

),etréciproquement. Notons

n =|V (GC)|

.Soient

S = (P, d)

un couple désignant une fonction de routage

P

et une aectationdedates

d

réalisablepour

(G, R, D)

etdecoût

k≤ D

.Supposonsqu'ilexisteunerequête

ri

= (si, ti)

de sorte que lemessage n'est pasdirectement émisde

si

à

ti

,mais nécessiteau moins un n÷udrelais

tj|j 6= i

.Si

tj

émet lemessage de

si

à l'étape

t

,alors aucun autre n÷ud

sl

ne peut transmettreàcetteétape,puisque

S {ti}

1≤i≤n

formeuneclique.Nouspouvonsalorsconstruire une solution

S

0

àpartirde

S

avec uncoût

k

0

_{≤ k}

danslaquelle

si

transmet directement à

ti

àl'étape

t

. La fonction deroutage estalors immédiate.

Soit

S

0

_{= (P, d)}

une tellesolution, où

d

estune aectation valide pour l'instance

I

,et

P (ri) =

(si, ti)∀ri

∈ R

. Soit

c

la fonction qui associe à chaque sommet

x

∈ V (GC)

la couleur

d(rx, sx)

. 1

Formellement,lanotation

sx, tx|x ∈ V (GC)

supposequelesélémentsde

V(GC)

sonttousnommés.Noussuppo- sonsparlasuitequecetteconditionesttoujoursvériéelorsquenousutilisonscettenotation.

Notonsque

duree(d) = max(c)

.La colorationrésultanteestpropre puisquesi

x

et

y

sont adjacents dans

GC

, alors par construction les arêtes

{rx, ty}

et

{ry, tx}

existent dans

G

. Ceci implique que

d(rx, sx)6= d(ry, sy)

.

Réciproquement, soit

c

une coloration propre des sommets de

G

. Soit

d

l'aectation de dates quiàtoutcouple

(rx, sx)

associeladate

c(x)

.Alors

d

estuneaectationdedatescorrecte(évident) et sans conit (puisque si

{sx, ty}

est une arête de

G

0

alors

{x, y}

est une arête de

G

et donc

c(x)

6= c(y)

et par conséquent

d(rx, sx)

6= d(ry, sy)

). L'aectation est donc valide pour

I

. Notons que

max(c) = duree(d)

.

Pour conclure, nous rappelons qu'à toute coloration

c

de

GC

correspond une solution

(P, d)

à l'instance

I

telle que

P (ri) = (si, ti)∀ri

∈ R

et

max(c) = duree(d)

. La réciproque est également vraieetdonc:puisqueD-COLORINGestNP-complet pourtout

D≥ 3

,et queD-DAWN-requests estun problèmedansNP alors D-DAWN-requests estNP-complet.

Par ailleurs, la réductionproposée conserve le coûtd'une solution. Puisquele problèmede mi- nimisation min-COLORING est connu pour être NP-dicileet non approximable à uneconstante près, ils'en déduit laNP-dicultéde min-DAWN-requests.

Cettepreuves'étendauxproblèmesD-DAWN-pathsetmin-DAWN-paths,encréantuneinstance

(G, R, P )

de D-DAWN-paths depuis l'instance

I

de

D

-DAWN-requests, où

P

est une fonction de routage quiassocieleparcours

pr

x

= (sx, tx)

à chaque requête

rx

= (sx, tx)

.



Nous énonçonsle corollairesuivant :

Corollaire 5 :

Lesproblèmesmin-DAWN-pathsetmin-DAWN-requests restent NP-diciles etnon-approximables à une constanteprès même sipourchaque requête

ri

= (si, ti)

les n÷uds

si

et

ti

sontadjacents. Preuve :

Immédiatpuisquedanslapreuveduthéorème18,chaquesourced'unerequêteestadjacenteàsa

destination.



Ce derniercorollaireinsiste surladiculté de min-DAWN-paths etmin-DAWN-requests, puis- qu'il montrequeladistancemaximumentresource etdestination n'aaucuneinuence surlacom- plexité de cesproblèmes.

Remarque 18 :

Intuitivement,onnepeuts'empêcherdepenserqu'ilest préférable defairedébuter leplustôtpossible les requêtes dont la source est très éloignée dela destination qui luiest associée. Cette stratégie est certainement ecace dans des instancesaléatoires, mais ne peut aboutir à une solutionapprochant l'optimum à une constante multiplicative près, au vu duthéorème 18.

Notonsennquelethéorème18etlecorollaire5s'étendentauxproblèmesdedécisionunstoppable- min-DAWN-paths et unstoppable-min-DAWN-requests et à leur version décision : sur l'instance

construite dans la preuve de ce dernier, chaque requête doit être satisfaite en

1

seule émission (les routesdecommunicationsont delongueur

1

).Lesproblèmes unstoppable-min-DAWN-paths et unstoppable-min-DAWN-requests sont donc aussi diciles que min-DAWN-paths et min-DAWN- requests. Demême, lesproblèmes unstoppable-

D

-DAWN-paths etunstoppable-

D

-DAWN-requests sont NP-completspour

D≥ 3

.

Signalons enn que lorsqu'un problème est montré NP-complet, alors sa version online l'est également (il sut de considérer un graphe évolutif

(G, SG)

avec

SG[i] = G

pour tout

1

≤ i ≤

τ

). Nous en déduisons la NP-complétude de online-

D

-DAWN-paths, online-

D

-DAWN-requests , online-unstoppable-

D

-DAWN-paths et online-unstoppable-

D

-DAWN-requests, pour tout

D

≥ 3

. Lesversionsoptimisation decesproblèmes sont NP-dicilesetnonapproximables àune constante près.

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