Extension dans les topologies dynamiques

Nous avons précédemment introduit ce que pourraient être DAWN-paths et DAWN-requests dans un cadre plus pratique, dans lequel de nouvelles requêtes sont ajoutées spontanément au courtdu temps.Ceci nousaconduit àdénir les problèmesonline-DAWN-paths etonline-DAWN- requests, danslesquelsla topologiedu réseau estmodélisée par un grapheévolutif. Naturellement, cesproblèmessontNP-completsdèslorsqueleurséquivalentsoinelesont.Lescaractéristiquesdes réseaux dynamiques laissent penser qu'il existe des familles d'instances de DAWN-paths/DAWN- requests quel'on sait résoudrepolynomialement, maisqui deviennent diciles dansleurs versions online. Cependant, nous montrons dans cette section que les problèmes online-DAWN-paths et online-DAWN-requestssontpolynomiauxlorsquelenombrederequêtesestbornépar

K

.Cerésultat permetd'envisager pour la suite desheuristiques destinées à résoudreles instances sansbornesur lenombrede requêtes.

La preuve du théorème suivant reprend l'idée de graphe desétats introduit dans la preuve du théorème 23,etl'appliqueauxgraphes évolutifs.

Théorème 24 :

Pour toutentier naturel

K

,le problème online-DAWN-

K

-paths est polynomial. Preuve :

Pourunentier

K

donné,considérons

((G, SG), R, P )

uneinstanceduproblèmeonline-min-DAWN- K-paths, où

S

est une séquences de sous-graphes du graphe orienté symétrique

G = (V, E)

, avec

|S| = τ

,

R

une collection de

K

requêtes

(r1. . . rK)

et

P

unefonction de routage.Nous dénissons legraphe

G

0

_{= (V}0_{, E}0₎

commesuit :

Soit

V

0

l'ensemble des(K+1)-uplets

(e1. . . eK, d)

où

ei

estun sommet du parcours associépar

P

à la requête

ri

, et

d

un entier tel que

d∈ [1, τ + 1]

.Chacun de ces (K+1)-uplets représente un état possible du réseau : lacomposante

ei

indique la position du message de larequête

ri

surson parcours, etl'entier

d

l'état duréseau, à savoir le graphe

SG[d]

pour

d≤ τ

etlegraphe

G

lorsque

d = τ + 1

.

Soit

E

0

l'ensemble de tous les couples

(X, Y )

où

X

et

Y

sont des états compatibles de

V

0

: deux états

(e1, . . . , ek, d1)

et

(f1, . . . , fk, d2)

sont compatibles s'il estpossible de passerdu premier au deuxièmeen une étape,en faisant émettre simultanément l'ensemble desn÷uds

{ei|ei

6= fi, 1≤

i_{≤ K}}

, lorsque le graphe du réseau est

SG[d1]

pour

di

≤ τ

, ou

G

si

d = τ + 1

.Compte tenu de l'évolutiondelatopologie,si

d1

6= τ +1

,alorsnécessairement

d2= d1+1

,autrement

d1

= d2

= τ +1

. Pour tout

ei

6= fi

, les sommets

ei

et

fi

doivent être immédiatement consécutifs dans le parcours

Clairement

G

0

_{= (V}0_{, E}0₎

est un graphe orienté constructible en temps polynomial, puisque le nombre d'états est d'au plus

(|V (G)|

K

_{× τ)}

. Le (K+1)-uplet

(s1, . . . si, . . . sk, 1)

représente l'état initial du réseau. Chacun des (K+1)-uplets

(t1, . . . ti, . . . tk, d)|d ∈ [1, τ + 1]

désigne un état nal, danslequel lesrequêtes de

R

ont étésatisfaites.

Nous pouvons associer à tout chemin

Q

entre l'état initial

(s1, . . . si, . . . sk)

et tout état nal

(t1, . . . ti, . . . tk, d)

une aectation de dates

d

, correcte etsans conit, telleque la plus grandedate aectéeest égaleau nombred'arcsdu chemin,etréciproquement.

Précisément, soient

A

et

B

deuxsommetsde

G

0

consécutifsdans

Q

.Sile

i

-èmesommet

x

de

A

estdiérent du

i

-ème sommetde

B

alors

d(ri, x)

est égalau l'indice de

A

dansle chemin

Q

.

En recherchant le plus court chemin entre l'état initial et un état nal quelconque, nous en déduisons une aectation de dates online correcte et sans conit sur l'instance

((G, SG), R, P )

. Puisque la recherche d'un plus court chemin dans un graphe est un problème connu pour être polynomialnouspouvonsdirectement conclure.



Corollaire 11 :

Pour toutentier naturel

K

,le problème online-DAWN-

K

-requests est polynomial. Preuve :

Sur lemême principe quelapreuve ducorollaire 9.



Vers une heuristique pourDAWN-paths?

La polynomialité de online-DAWN-

K

-requests ouvre de nouvelles perspectives pour résoudre ecacement les instances de DAWN-paths. Supposons un ensemble non borné

R

de requêtes à satisfaire surun graphe

G

.Notre étude a montré que trouverle nombre minimum d'étapes requis estNP-dicileetnonapproximableàunefacteurconstantprès.Aussidoit-onenvisagerl'utilisation d'heuristiques ande pouvoirformulerune solution approchée dansdestemps raisonnables.

Une idéed'heuristiqueconsécutiveauxtravauxsuronline-DAWN-

K

-paths consisteraitàdécou- perl'ensemble de requêtesen paquets

R1, R2, . . .

de

K

requêteschacun :

 Ondénituneaectation optimale

d1

du premierpaquet

R1

sur

G

,enuntemps polynomial.  Lesystème

(G, d1)

permetdedénirungrapheévolutif

(G, S

1

G)

,représentant l'étatduréseau lors del'exécution desrequêtes de

R1

.

 Ondénitalorsuneaectationoptimale

d2

dusecondpaquet

R2

surlegrapheévolutif

(G, S

1

G)

, enun temps polynomial.

 Lesystème

((G, S

1

G), d2)

permetàsontourdedénirungrapheévolutif

(G, S

2

G)

,représentant l'étatdu réseaulors de l'exécution desrequêtes de

R1

et

R2

.

 Nouscontinuonscette exécution jusqu'àtraiter l'ensembledespaquetsde requêtes.

Cette heuristique, à l'heure non implémentée, permettrait de dénir en temps polynomial des solutions dont lecoûtmoyen sembleintuitivement bonpar rapportàlasolution optimale.Naturel- lement,ce coûtestd'autantmeilleur que

K

estgrand, maisinduitun tempsd'exécution beaucoup plus long.Aussilamise enplace d'unetelle heuristique,lacomparaison desrésultatsobtenus avec

lasolutionoptimale,etl'impactduparamètre

K

surlecoûtdessolutionsconstitueraient dessuites intéressantes à donnerà cetravail.

Danscette secondepartie,nousavonsétudié leproblèmede satisfactionderequêtesdecommu- nicationdans unréseau radio multi-sauts synchrone.Ce problème aété envisagé selon l'hypothèse quelesroutes decommunications sontconnuesounon,cequinousaconduitàdénirauchapitre

6

lesdeuxfamillesdeproblèmesDAWN-pathsetDAWN-requests,etlesproblèmesqu'ellesenglobent.

Lesrésultatsprésentésdanslechapitre

7

établissentlacomplexitédecesproblèmes.Ilsinsistent sur le fait que ces problèmes restent diciles même lorsque des conditions supplémentaires sont envisagéessurlesinstances étudiées.Considérerseulementlesinstances surdestopologiestrèsspé- ciques comme l'arbre binaire, ou dans lesquelles la source de chaque requête est adjacente à sa destination, nechange en rienla complexitéde cesproblèmes.

Le chapitre

8

apportecependant un résultatencourageant, puisqueles résultatsquiysont pré- sentés annoncentque lesproblèmes sont polynomiaux dèslors quelenombrede requêtesest borné par une constante

K

.Cettepolynomialitéest garantiemême sur desréseauxdynamiques,qui mo- délisent ecacement desréseaux surlesquels unensemble de requêtes est en coursde satisfaction. Ceci permet d'envisager un processus de satisfaction de requêtes dans des conditions d'exécution plusréalistes etouvre une réexionsurlamiseen ÷uvred'heuristiques.

Le tableau8.1résumel'ensembledesrésultatsdecomplexité présentésdansleschapitres

7

et

8

. Nous ne pouvonsarmer queunstoppable-min-DAWN-requests peutserésoudreen temps po- lynomial, bienquel'ensemble desrésultatsénoncés nousincitent à penser queoui.

Soulignons dans les résultats présentés que D-DAWN-requests est NP-complet pour

D

≥ 2

, tandisqueD-DAWN-paths restepolynomialpour

D = 2

.Onconstatesanssurprise quelapertede l'informationderoutagerendleproblèmeplusdicile.Enrevancheilestplusétonnantdeconstater quelaversioninarrêtabled'unproblèmesembleaussidicilequeleproblèmelui-même:lefaitd'im- poserqu'unerequêtenesoitplustemporiséeunefoisdémarréenesemblepasjouerunrôleimportant danslacomplexitédesproblèmes.Pourtant,etdemanièreintuitive,ilestraisonnabledepenserqu'il existeuneclassed'instancessurlaquelleDAWN-paths (respectivementDAWN-requests)seraitNP- complet, mais pas unstoppable-DAWN-paths (respectivement unstoppable-DAWN-requests). Un apportintéressant à ce travail consisterait àmettre enévidence une telleclassed'instances.

Autermedecettepartie,leprincipalproblèmeouvertconsisteàétablirlacomplexitédeDAWN- paths lorsque legraphe est une chaîne, et que les requêtes sont orientées dans lamême direction. Nous savonsle problème approximable à une constanteprès (facilement majorable par

3

),et qu'il estmême polynomial lorsquepour chaquerequête source etdestination nesontdistantes qued'au

Problèmes Complexite Remarques DAWN-paths DAWN-requests unstoppable-DAWN-paths unstoppable-DAWN-requests NP-complet

ResteNP-completsurlesarbresbinaires,ousi chaque source estadjacenteà sadestination.

D

-DAWN-paths,

D≤ 2

Polynomial Réduction vers2-LIST-COLORING

D

-DAWN-paths,

D≥ 3

NP-complet Réduction depuisD-COLORING

D

-DAWN-requests,

D = 2

NP-complet Réduction depuis3-SAT

D

-DAWN-requests,

D≥ 3

NP-complet Réduction depuisD-COLORING

min-DAWN-paths min-DAWN-requests unstoppable-min-DAWN-paths unstoppable-min-DAWN- requests NP-dicile

Nonapproximableàuneconstanteprès.Reste NP-dicilesurlesarbresbinaires,lesgraphes planaires, les graphes de disques unitaires ou sichaquesourceestadjacenteàsadestination.

min-DAWN-K-paths min-DAWN-K-requests unstoppable-min-DAWN-K- paths

Polynomial Algorithmeen

O(n

2K₎

.

online-DAWN-K-paths online-DAWN-K-requests

Polynomial Algorithmeen

O(n

2K₎

.

Tab.8.1 Tableau récapitulatifdesrésultats decomplexité

plus

3

. Quelques algorithmes polynomiaux ont été proposés et évalués de manière expérimentale. Les résultats des simulations laissent penser qu'en améliorant ces algorithmes, il serait peut être possible d'obtenir un algorithme polynomial pour résoudre le problème. Pourtant, et en dépit de nombreux eorts, ilne nousa pasétépossibled'aboutir àun résultatconcluant àlapolynomialité ou laNP-complétudede DAWN-paths dansles chaînes, nimême deunstoppable-DAWN-paths.

Pareillement, nousn'avonspasencoreétablilacomplexitéde DAWN-pathslorsque latopologie estunearborescence etquelesrequêtes sont orientées delaracineverslesfeuilles.Noussupposons lacomplexité de ceproblème identiqueà cellede DAWN-paths surles chaînes.

Conception de réseaux radio multi-sauts

Nous consacrons cette troisième et dernière partie à l'étude d'un problème de conception de réseauxradiomulti-sauts.Ceproblèmenousaétéinitialementproposépar uneentreprise française detélécommunications. L'objectif decetteentreprise estd'assurerladistributiond'unuxinternet haut-débitdansdeszonesruralesnoncouvertesen technologie ADSL.Ceuxinternet estrécupéré à partirde villessourcesetdoitêtre acheminé àdestination de villagesclientspar unjeu derelais. Unvillageclientpeutégalementservirderelais.Latechnologieradioestutiliséepourétablirunlien entre deuxn÷uds du réseau (villes, villages ou relais).De nombreuses contraintes viennent cadrer le déploiement d'untel réseau. La diculté du problèmeconsiste à dénir quelsliens établir pour assurerune distribution ecace,etce en respectant lescontraintesposées.

Le modèle de communication considéré se démarque de celui retenu dans les deux premières partiesdecemémoire :nousn'utilisonspasd'antennesomnidirectionnelles pour établirlescommu- nications entre n÷uds.Unlien estrendupossiblepar lamiseen placed'uneantennedirectionnelle sur chacune de ses extrémités. La communication est possible si et seulement si la qualité du si- gnal est susamment élevée. L'utilisation de cette technologie ore une meilleure robustesse aux interférences. Noussupposeronscesdernières inexistantes.

Organisation de cette partie

Cette partie sedécompose commesuit :

Le chapitre

9

précise les conditions dans lesquelles sont abordées le problème de conception. Nous y présentons notamment les diérentes contraintes que doit satisfaire le réseau à concevoir, ainsiqu'une modélisationformelle du problème.

Nous proposons danslechapitre

10

une étude de complexité duproblème de conception. Nous distinguonstroisparamètresrégissanttroisprincipalescontraintesdedéploiement.Notreétudeéta- blit ladiculté duproblème selonsi certainsde cestroisparamètres sontconsidérés ou non.Nous montrons notamment dansquelles mesures le problème de conception peut se ramener à des pro- blèmesalgorithmiques biens connus,etquels résultatsexistent alorssur cesderniers.

Nous proposonsdanslechapitre

11

troisoutilsde résolution, dont deuxméthodesoptimaleset une heuristique, an de résoudre rapidement leproblème de conception sur desinstances de taille raisonnable.Nouscomparonslesrésultatsobtenuspar cesméthodesentermedetempsd'exécution.

Conception de réseaux radio multi-sauts

robustes : objectifs et contraintes

Ce chapitre introductif dénit dans une première section le problème de conception d'un réseau radio multi-sauts, dont la résolution doit permettre l'acheminement d'un ux réseau vers un en- semble dedestinations. Nousy présentons lescontraintesde déploiement que leréseau déployédoit satisfaire. La seconde section précise lamodélisationduproblème que nousadoptonslelong decette partie.

9.1 Le problème de conception

L'objectif destravaux de cette partie consiste à concevoirun réseau radio assurant ladistribu- tiondebandepassante depuisdesn÷udssourcesversdesn÷udsclientsgéographiquementproches. Cettedistribution estsoumise à plusieurs contraintes de divers ordres.

D'un point de vuefonctionnel, les n÷uds duréseau représentent :  desn÷uds sources,

 desn÷uds clients,

 desrelaisadditionnels qu'ilest possible de mettreen placepour assurerladistribution.

La dimension des réseauxconsidérés està l'échelle pluri-urbaine, etpeuts'étendre à un dépar- tement ouune région :

 Lesn÷uds sources représentent desvilles disposant d'un accès haut-débit à Internet et qu'il estpossibled'exploiter.Un n÷udsource estdoncl'associationd'unrouteur etd'unpoint de collecte fournissant unuxhaut-débit.

 Les n÷uds clients, ou points de desserte, sont des villages pour lesquels une demande de couverturehaut-débit(unebandepassante)aétédénie,detailleparexempleproportionnelle à la taille du village. D'un point de vue technique, ces n÷uds désignent un routeur auquel est connecté un sous-réseau. Ce sous-réseau représente l'ensemble des utilisateurs qui vont bénécier de la bande passante demandée par ce routeur. Remarquons qu'un n÷ud client peut également être un n÷udsource. Cestatut implique laconnexion d'unpoint de collecte aurouteur du n÷ud.

 Lesn÷udsrelaissontdessitesprésentantunintérêtcertainpourêtreenvisagéscommerelais potentiels dans le réseau à concevoir. Ils peuvent être desvilles dont la demande de couver- ture est nulle, ou des points stratégiques(ex. structures ou sommets élevés, ...)permettant d'atteindre des destinations plus éloignées.L'équipement déployé sur cessites se limiteà un routeur,maisnécessiteune source électriqueà proximité.

Nous utilisons le média radio comme support de communication. Une communication directe entredeuxn÷uds duréseau nécessitesurchacun d'entre euxlamiseen placed'uneantennedirec- tionnelle.Cesantennesdoiventêtreenvisiondirectel'unedel'autre,etsont parconséquentplacées surdessites situésen hauteur(clochers, châteaux d'eau, ...).

La gure 9.1 présente les diérents types de n÷uds rencontrés. Nous limiterons notre étude au déploiement d'un réseau radio assurant la connexion inter-routeurs (Nous n'étudierons pas la distribution duuxdepuis un routeuraux utilisateursnauxqui luisont rattachés).

PSfragreplacements antenne routeur pointde collecte pointdecollecte clients naux

(a)n÷udsource

PSfragreplacements antenne routeur pointde collecte pointdecollecte clients naux (b)n÷udclient PSfragreplacements antenne routeur pointde collecte pointdecollecte clients naux (c) n÷udrelais PSfragreplacements antenne routeur pointde collecte pointdecollecte clients naux

(d)n÷udsourceetclient

Fig.9.1 Typesde n÷uds envisagés.

Établir d'une communicationdirecte

L'utilisation d'antennes directionnelles s'opère parle déploiement suivant :

1. Lesdeuxantennes d'undoiventêtreorientéesen directionl'unedel'autre, etenlignede vue. 2. Une antenne est reliée à un routeur par une carte réseau qui sert d'interface entre ces deux

entités.

3. Le fonctionnement d'une antenne est régi par un protocole issu de la norme 802.11. Une communication directeentre deuxn÷uds requiert que les deuxantennes impliquées utilisent lemême protocole.

Remarque 23 :

Le long denotre étude, nouslimitons par souci declarté lenombre de protocoles disponibles, etne considérons que les normes 802.11a et 802.11b.Néanmoins l'ajout detechnologies supplémentaires n'aecte enrien la dénition et la résolution du problème deconception.

L'existence d'unlienradioentredeuxn÷udsestdéterminéeparlaqualitédusignalémisdepuis l'un desn÷udsvers l'autre, quidépend notamment :

 dela puissanced'émission de latransmission,  defacteurs environnementaux etgéographiques.

Établir la qualité d'un lien entre deux sites n'est pas évident. Une méthode exacte consiste à positionner un émetteur sur un site, un récepteur sur l'autre site, et mesurer la qualité du lien. Cettemesuredoitégalement êtreopéréedansl'autresens,lamesurelaplusfaibleestalorsretenue. Cettedémarcheestcoûteuse entemps etenmoyensdéployés.Une solutionàcoûtréduitconsiste à utiliserun simulateur de qualitéde liens, quiprenden entrée:

 lesdonnées topologiquesetgéographiquesd'une zone,  lescoordonnées GPSdes sitessélectionnés.

Il enressort deuxmatrices :

1. une matricede qualité deslienspar paire de n÷uds, 2. une matricedes distancespar paire de n÷uds.

Un premier ltrage desliens estopéréen supprimant les liensdont laqualité de signalse situe audessousd'unseuilcritique. Lorsqu'unlien radiopossède unsignalsusamment fort, ilconvient d'endéniralors sacapacité, c'est-à-direledébit maximalqu'ilpeutfairetransiter. Lesprincipaux facteursqui peuvent inuer surlacapacitéd'unlien sont :

1. letype d'antennes (matériel), 2. ladistanceentreles antennes,

3. leprotocole de communicationutilisé.

Lescaractéristiquestechniques d'uneantennedirectionnelleindiquent lesdébits atteignablesen fonctionde ladistanceetduprotocoleutilisé.Nousassocionsàchaquelienleprotocole quipermet laplus grossecapacité,comme surlagure9.2.

PSfragreplacements 802.11a 802.11b débit capacité distance

0

0

Fig. 9.2 Capacité d'unlienen fonction de ladistanceetdu protocole.

Remarque 24 :

on peut considérer pour chaque paire de n÷uds autant de liens que de protocoles disponibles, et associer à chacun deces liens un coût enfonction deson protocole.

Pannes envisageables

Trois typesdepannes peuvent intervenir :

1. une panne sur un lien radio : laliaison entre deux n÷uds est interrompue. Ce cas intervient généralement lorsde pannesmatériellessurunecarte réseauou uneantenne,maispeutaussi avoirdesraisonslogicielles.Parmilescausesliéesàcespannescitonsladéfaillance d'unecarte réseau suite àune surchaue, ou uncoup de foudresurl'antennecorrespondante. Le routeur peutcependant continuerà distribuerunuxsurle sous-réseauqu'ilconnecte, ouacheminer lespaquets auxautres routeurs.

2. une panne sur un routeur : si une panne intervient sur le routeur d'un n÷ud, tous les liens assurant lescommunications versles routeursvoisinsdeviennent hors d'usage.Aucun uxne peutêtreacheminéverslesous-réseauqu'ilconnecte.Cetypedepanneintervientgénéralement siun impactde foudresurune antennes'est propagéà toutlerouteur, ouen casde coupure d'électricité.

3. une panne sur un point d'accès : en cas de panne sur un point d'accès, le routeur reste connectéauréseauetàsonsous-réseau,maisperdsacapacitéàdélivrerunux.Ilsecomporte commeunsimplerelai.Lorsquelen÷udconcernéestégalementunn÷udclient,lesous-réseau

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