Le modèle [Di,AsyncArbo,]

Le modèle [Di,AsyncArbo,] estle seulmodèle asynchronequenous étudions.Le problème de diusionestabordédansunenvironnementoùchaquetransmetteurn'émetqu'unefois,etn'accepte le message que du n÷ud père qui lui a été assigné. Un transmetteur ne peut pas temporiser son émission : sitôt la réception de son père acceptée, il la réémet au terme d'un délai de traitement non bornéetpropre aun÷ud. Nousintroduisonslesdénitions suivantes :

Dénition 32 (élément dominant) :

Soient

A

une arborescence et unensemble

S

⊆ V (A)

.

L'ensemble

S

possède un élément dominant dans

A

si et seulement s'il existe un élément

x

de

S

tel que

x

est ancêtre de

y

dans

A

, pour tout

y∈ S − {x}

.

Lagure2.2représenteunepartied'ungraphe

G

,etunearborescence

A

surcegrapheenracinée en

s

(désignéepar les arcs épais).Soit

S = NG(m)

.Alors

a

est l'élément dominant de

S

.

PSfragreplacements s a b c d e f g h i j k l m

Fig. 2.2 Représentation partielled'ungraphe

G

,d'unearborescence

A

Dénition 33 (séquence d'émissions, robustesse, coecient de robustesse) : Soient

A

une arborescence etun ensemble

S⊆ V (A)

.

Un sous-ensemble

S

0

_{⊆ S}

avec

|S

0

_{= k|}

décrit une séquence d'émissions dans

A

si et seule- ment s'ilexiste unordre

O = (s1, s2, . . . , sk)

sur les élémentsde

S

0

telque

si

est ancêtre de

sj

dans

A

, quels que soient

i

et

j

telsque

1≤ i < j ≤ k

.

La robustesse d'uneséquence d'émissionsdans

A

décrite par

S

,notée

rseA(S)

,est la cardina- lité du plusgrandsous-ensemble

S

0

_{⊆ S}

tel que

pereA(x)6= y

pour tout

x, y∈ S

0

.

Le coecient de robustesse

crA(S)

d'un ensemble

S

dans

A

est déni par :

crA(S) = max

S0

⊆S

rseA(S

0₎₋

S− S0





pour toute partie

S

0

de

S

telleque

S

0

décrit une séquence d'émissionsdans

A

.

Calculonssurlagure2.2lecoecientderobustessedusommetrécepteur

m

.Soit

S

l'ensemble des voisins transmetteurs de

m

. On a

S = NG(m)∩ V (A)

. Alors

S1

=

{a, c, e, g} ⊆ S

et

S2

=

{a, h, i, j, k, l} ⊆ S

sontlesdeuxséquencesd'émissionsdans

A

maximalesausens del'inclusion.On a

rseA(S1) =|{a, c, e, g}| = 4

et

rseA(S2) =

|{a, i, k}| = 3

. Le coecient de robustesse

crA(S)

est maximumpour

S2

,etde valeur

0

(Pour

S1

,

rseA(S1)− |S − S1| = −1

).

Une hypothèsedumodèleasynchroneestquelestransmissionssont deduréesidentiques.Soient trois n÷uds

a

,

b

,

c

situés dansle voisinage de

d

, tels que les émissions de

b

et

c

sont liéespar une relation de précédence. Le n÷ud

a

peut émettre indépendamment de l'émission de

b

et/ou de

c

. Alors

a

peutinterféreravec

b

et

c

si

b

et

c

sont immédiatement consécutives.Dans lecascontraire,

a

ne peutinterférer qu'avec auplus uneseule de cesdeux émissions.

Propriété 2 Soit

x

un sommet donné n'appartenant pas à

A

et dont le coecient de robustesse de son voisinage

NG(x)

est supérieur ou égal à

1

. Alors il existe un nombre susant d'émissions consécutives dans

NG(x)∩ A

, de sorte que

x

puisse recevoir au moins l'une de ces émissions sans interférence.

Une stratégie de diusion valide dans lemodèle [Di,AsyncArbo,] se représente alors par une arborescenceparticulière

A

dite cohérente pour [Di,AsyncArbo,],dénie commesuit : Dénition 34 (Arborescence cohérente pour [Di,AsyncArbo,]) :

Soient un graphe

G = (V, E)

, une source unique

s

∈ V

possédant un message

m

, et une arbores- cence

A = (V

0_{, E}0₎

telleque

V

0_{⊆ V, E}0

_{⊆ E}

.

Cette arborescence est cohérente pour [Di,AsyncArbo,] si et seulement si la stratégie de diusion dénie comme suitest valide:

 Les n÷uds de

V (A)

représentent l'ensemble des transmetteurs.

 Un arc

(x, y)

de

E(A)

désigne len÷ud

x

comme père de

y

dans la stratégie dediusion. Cette stratégieesteectivementvalidesietseulementsipourtoutepairedetransmetteurs

{x, y}

adjacents dans

G

, les émissions de

x

et de

pere(y)

ne sont pas simultanées, sans quoi

y

pourrait ne pas recevoir la transmission de

pere(y)

. De même les émissions de

y

et

pere(x)

doivent être successives. Il en résulte que les émissions de

x

et

y

doivent être successives, ou que

pere(x) =

pere(y)

. Enn, soit

x

un récepteur. S'il existe un élément dominant dans

NG(x)∩ V (A)

, alors

x

doit recevoir correctement l'émissionde ce dernier, ou alors il doit exister dans

NG(x)∩ V (A)

une séquence d'émissionsdans

A

susamment robuste pourassurer la réception de

x

.

1.

A

est enracinée en

s

. 2.

∀{x, y} ∈ P2(V

0_{)∩ E}

, l'une des trois conditions suivantes est satisfaite : (a)

x

est ancêtre de

y

dans

A

,

(b)

y

est ancêtre de

x

dans

A

, (c)

pereA(x) = pereA(y)

. 3.

∀x ∈ V − V

0_,

_N

G(x)∩ V0

possède un élément dominant, ou bien

crA(NG(x)∩ V

0_{)≥ 1}

La gure 2.1(a) ne représente pas une arborescence cohérente pour [Di,AsyncArbo,] : par exemple le sommet récepteur

c

ne possède ni élément dominant, ni un coecient de robustesse susamment grand. Enrevanche lagure 2.3illustreune telleconguration.

1 5

1 8

2 0

1 9

1 6

1 7

2 2

2 1

2 3

2 4

2 6

2 5

PSfragreplacements s a b c d e f g h i j k l m

Fig. 2.3Une arborescence cohérentepour [Di,AsyncArbo,].

Letempsdediusiond'unetellestratégienepeutêtreévaluéavecprécision,puisquelesdélaisde traitementsontnonbornés.Cependantl'indicateurleplusableenmoyenneestlahauteurdel'arbo- rescence,

hauteur(A)

.Noussupposonsletempsdediusionproportionnelà

hauteur(A)

.Lenombre d'émissions est ici égal à la cardinalité de l'ensemble

V (A)

. Nous introduisons deux problèmes de décision [Di,AsyncArbo,]-Temps (problème 2.3.5), et[Di,AsyncArbo,]-émissions (pro- blème 2.3.6), dont les coûtssont liés àchacun deces deuxparamètres.

Donnée : un graphe

G = (V, E)

,un sommet

s∈ V

,un entier

k

Question : Existe-t-il une arborescence

A

cohérente pour [Di,AsyncArbo,] ettelle que

hauteur(A)_{≤ k − 1}

?

Problème de décision 2.3.5:Le problème [Di,AsyncArbo,]-Temps

Donnée : un graphe

G = (V, E)

,un sommet

s∈ V

,un entier

k

Question : Existe-t-il une arborescence

A

cohérente pour [Di,AsyncArbo,] ettelle que

Nousappelons[Di,AsyncArbo,]-minTempset[Di,AsyncArbo,]-minÉmissionslesversionsop- timisation de [Di,AsyncArbo,]-Temps et[Di,AsyncArbo,]-émissions.

Étude de stratégies de diusion

Nous menons une étude sur les stratégies introduites dans lechapitre précédent, et précisément sur la stratégie dediusion en arborescence. Nous dénissons dans une première section les condi- tionsd'existence d'une solutionenfonctionde la stratégie retenue. Le seconde section s'oriente sur la complexité des problèmes de minimisation du temps de diusion et du nombre d'émissions pour une stratégie donnée. Nous étudions notamment dans la troisième section l'impact de la topologie sur de telsproblèmes.

3.1 Satisabilité et comparaison de modèles

Dans le document Problèmes algorithmiques et de complexité dans les réseaux sans fil (Page 46-50)