2.2 Méthodes de reconstruction et d’analyse
2.2.4 Reconstruction spectrale
Le spectre de la source ne peut être reconstruit simplement en distribuant les évènements dans un histogramme en fonction de l’énergie mesurée. En effet, la reconstruction des évènements introduit une erreur dans l’estimation de l’énergie du gamma incident. Cette erreur, caractérisée par la résolution en énergie et le biais décrits à la section précédente, dépend de l’énergie. Il en résulte que la forme
24 Chapitre 2. L’expérience H.E.S.S. du spectre en énergie reconstruite est modifiée par rapport au spectre physique. Pour remonter au vrai spectre de la source, il est nécessaire d’utiliser une procédure prenant en compte la réponse de l’instrument. Dans le chapitre suivant, une méthode de déconvolution qui sera utilisée au chapitre 7 pour la recherche d’irrégularités spectrales sera présentée.
La méthode couramment utilisée dans H.E.S.S., dite de "forward folding" est fondée sur l’hypothèse d’une paramétrisation pour le spectre de la source, une loi de puissance par exemple [131]. Les paramétrisations typiques des spectres à haute énergie, qui seront utilisées dans les chapitres suivants sont :
– La loi de puissance : = 0 ✓ E E0 ◆ .
– La loi de puissance avec coupure exponentielle : = 0
✓ E E0 ◆ e E/Ec. – La parabole logarithmique : = 0 ✓ E E0 ◆ ↵ log E/E0 . – La loi de puissance brisée : =
8 > < > : 0 ⇣ E E0 ⌘ 1 si E < Eb 0 ⇣ Eb E0 ⌘ 2 1⇣E E0 ⌘ 2 si E > Eb . La méthode de "forward folding" ajuste les paramètres de la forme spectrale sup- posée sur les données mesurées en convoluant le spectre théorique avec les réponses instrumentales. Cette opération est effectuée avec un estimateur de vraisemblance qui compare le nombre de photons dans chaque bin en énergie reconstruite avec le nombre de photons dans le même bin prédit par la forme spectrale, en prenant en compte les réponses instrumentales. Pour la forme spectrale supposée, les para- mètres du modèle les plus vraisemblables sont obtenus en maximisant l’estimateur de vraisemblance. Cette méthode ne permet donc pas de reconstruire un spectre mesuré de la source mais peut estimer la pente du spectre ou encore comparer di- verses hypothèses de forme spectrale. Dans la suite, une méthode de déconvolution a été appliquée au cadre de l’expérience H.E.S.S. afin de reconstruire des spectres. Cette méthode permettra en particulier la recherche d’irrégularités spectrales, au chapitre 7.
Chapitre 3
Méthodes de déconvolution
spectrale
Sommaire 3.1 Introduction . . . 25 3.2 Notations . . . 27 3.3 Principes . . . 28 3.3.1 Différentes méthodes . . . 28 3.3.2 Des probabilités aux flux . . . 31 3.3.3 Ajustement d’un modèle spectral . . . 32 3.4 Spectres de sources astrophysiques . . . 34 3.5 Etudes systématiques . . . 36 3.5.1 Génération de spectres simulés . . . 36 3.5.2 Reconstruction d’un indice spectral. . . 37 3.5.3 Reconstruction d’une coupure exponentielle . . . 38 Dans le chapitre2, la méthode de reconstruction de spectre couramment utilisée dans la collaboration H.E.S.S. a été introduite. On s’intéresse dans ce chapitre à une méthode alternative permettant d’estimer les flux par bins en énergie sans faire d’hypothèse sur la forme spectrale intrinsèque. Le but de cette méthode alternative est de permettre la recherche ou l’identification d’anomalies ou d’effets de second ordre dans les spectres, alors même que la forme intrinsèque est inconnue. Les irrégu- larités spectrales induites par les oscillations entre photons et PTA dans un champ magnétique (voir chapitre1) sont un exemple d’effet, qui sera présenté au chapitre6. La méthode de reconstruction spectrale proposée dans ce chapitre sera notamment utilisée au chapitre 7 sur les données de H.E.S.S. pour la recherche d’irrégularités spectrales dans le spectre du noyau actif de galaxie PKS 2155-304. Cette méthodes est présentée dans une note interne de la collaboration H.E.S.S. [132].3.1 Introduction
Pour reconstruire correctement le spectre en énergie d’une source, il est nécessaire de corriger les données des effets de l’instrument. Comme il a été détaillé dans le chapitre 2, lors de l’analyse des évènements, l’énergie du photon est mesurée avec une certaine erreur (le biais et à la résolution en énergie). L’énergie mesurée, appelée dans la suite "énergie reconstruite" diffère donc de l’énergie réelle que le photon
26 Chapitre 3. Méthodes de déconvolution spectrale avait, appelée "énergie vraie". Ces erreurs dans la reconstruction de l’énergie des évènements peuvent dégrader la reconstruction du spectre en énergie. Les méthodes dites de "déconvolution spectrale" ont pour objectif de corriger les spectres de ces effets instrumentaux. Si l’on suppose que ces erreurs sont gaussiennes, l’écart type de la gaussienne est appelée la résolution en énergie et la différence entre la moyenne et l’énergie vraie est appelée le biais. Typiquement, dans H.E.S.S. la résolution en énergie est de 15% de l’énergie vraie et le biais est de l’ordre de quelques pourcents. Une méthode possible de déconvolution des effets instrumentaux consiste à di- viser la distribution des évènements en énergie reconstruite par l’acceptance (voir chapitre 2) calculée en fonction de l’énergie reconstruite. Dans ce cas, les effets instrumentaux sont compris dans l’acceptance. Comme expliqué au chapitre2, l’ac- ceptance est calculée à l’aide de simulations Monte Carlo de la réponse du détecteur. Alors que dans le cas de l’acceptance en fonction de l’énergie vraie, des gerbes sont générées à énergie fixe pour estimer l’acceptance à cette énergie, cette procédure n’a pas de sens pour l’acceptance en fonction de l’énergie reconstruite. L’acceptance en énergie reconstruite est calculée en fonction d’un spectre physique en entrée, et le résultat sera donc fonction du choix de ce spectre. A partir d’une hypothèse de départ pour le spectre de la source, un spectre reconstruit est obtenu grâce à l’ac- ceptance en énergie reconstruite calculée avec l’hypothèse de départ. Si le spectre reconstruit diffère significativement de l’hypothèse de départ, la procédure est itérée en calculant l’acceptance en énergie reconstruite avec le spectre obtenu à l’itération précédente. Cette méthode requiert donc de nombreux calculs et n’est actuellement pratiquement plus utilisée dans H.E.S.S.
Une autre méthode, dite de "forward-folding" et présentée au chapitre 2 sup- pose une certaine paramétrisation de la fonction décrivant le spectre en énergie de la source. Ce spectre théorique, une fois convolué par les effets de l’instrument, peut être directement comparé aux données. Les paramètres du spectre théorique per- mettant de décrire au mieux les données sont ainsi déterminés de cette façon. Le résultat de cette méthode est donc l’ensemble des valeurs des paramètres du spectre théorique qui décrit le mieux les observations. Pour une hypothèse différente du spectre théorique, il faut recommencer l’analyse avec la nouvelle paramétrisation. Cette méthode est utilisée de façon générale dans H.E.S.S. car les spectres astrophy- siques observés avec H.E.S.S. nécessitent peu de paramètres (par exemple deux pour une loi de puissance, voir chapitre 2). En revanche, lorsque des effets de physique exotique sont recherchés dans les spectres, il devient nécessaire de s’affranchir de l’hypothèse d’une forme spectrale pour la reconstruction du spectre ; on parle alors de spectre déconvolué.
Le but de ce chapitre est de présenter des méthodes de déconvolution des effets instrumentaux, par ailleurs souvent utilisées en physique des hautes énergies. La première méthode, développée dans les années 1970 pour la reconstruction d’images astrophysiques floutées, repose sur un algorithme faisant intervenir le théorème de Bayes. La deuxième méthode repose sur une simple minimisation de 2 avec un
terme de régularisation. Ces deux méthodes sont d’abord décrites dans la suite puis testées sur les données de quatre sources astrophysiques observées par H.E.S.S.
3.2. Notations 27