Rayonnement global incident dans le plan des modules

Le rayonnement et l’irradiation solaire au sol ont été estimés précédemment vis-à-vis d’une sur-face horizontale ; or, dans le but de maximiser l’énergie captée par les modules d’un générateur PV, il est presque toujours nécessaire de les incliner d’un certain angle β par rapport à l’horizontale et, par conséquent, de les orienter vers le soleil, à savoir vers le sud (respectivement nord) dans l’hémisphère nord (respectivement sud) (Evseev et Kudish, 2009 ; Notton et al., 2006). Typiquement, le rayonne-ment global G_β atteignant une surface inclinée d’un angle β peut se dissocier en trois composantes (Demain et al., 2013) : une composante directe G_b,β, une composante diffuse G_d,β, et une compo-sante réfléchie G_r, β exprimant le flux renvoyé par le sol sur la surface et nulle dans le cas horizontal. De plus, de la même manière que dans la section 4.3.2 du chapitre 4, il est pertinent de décomposer le rayonnement diffus en ses composantes circumsolaire G_{d,β ,cs} et isotrope G_{d,β ,iso}; le rayonnement global incident s’exprime finalement sous la forme :

G_β = G_b,β+ G_d,β+ G_r,β

= G_b,β+ G_{d,β ,cs}+ G_{d,β ,iso}+ G_r,β

Chapitre 5 : Potentiel de la technologie photovoltaïque dans le cadre de l’électrification décentralisée des populations rurales

Sud Nord γm β n m θi r i Zénith γs αs *

FIGURE 5.8 – Angle d’incidence θ_i entre la direction −→_{ri du rayonnement solaire et la normale −nm}→ d’une surface, inclinée d’un angle β et orientée d’un angle γ_m.

C’est la forme classique de l’expression du rayonnement global incident sur une surface inclinée, c.-à-d. sans prise en compte des effets engendrés par le relief vus dans le chapitre 4 ; la formulation finale du rayonnement désagrégé ˆG_β, incluant la désagrégation de chaque composante, devient alors :

ˆ

G_β = ˆG_b,β+ ˆG_d,β+ ˆG_r,β (5.26) Où ˆG_b,β, ˆG_d,β et ˆG_r,β représentent respectivement les composantes désagrégées directe, diffuse et réfléchie dans le plan incliné, exprimées à l’aide du rayonnement direct G_bet diffus G_d dans le plan horizontal, et des coefficients d’ombrage direct S_b, diffus S_d et diffus dans le plan incliné S_d,β.

5.2.1.1 Angle d’incidence

Dans un premier temps, il est nécessaire de définir la configuration géométrique du problème, c.-à-d. de déterminer l’angle d’incidence θ_i des rayons du soleil sur une surface inclinée, équivalent de l’angle solaire zénithal θ_s pour une surface horizontale. Comme le montre la FIGURE5.8, l’angle θ_i représente ainsi l’angle entre la normale −_nm→_{à la surface, inclinée d’un angle β et orientée d’un azimut} γ_m, et la direction du flux solaire −→_{ri décrite, en coordonnées horizontales, par la hauteur α}∗

s, prenant en compte la réfraction atmosphérique, et l’azimut γ_s(Lorenzo, 2003). Le produit scalaire de −_n→_{met −}→_ri peut alors s’écrire :

−→

n_m· −^→r_i =k−n^→mk · k−^→r_ik · cosθi ^(5.27) En exprimant chaque vecteur dans les coordonnées cartésiennes du repère représenté par les points cardinaux et le zénith du lieu, il vient alors :

θ_i= arccos (cos β sin α_s^∗+ sin β cos α_s^∗cos(γs_{− γ}m)) (5.28)

5.2 Critères exogènes : rayonnement incident dans le plan des modules et température ambiante

5.2.1.2 Coefficients d’ombrage

La section 4.3.3 du chapitre 4 explicitait les coefficients d’ombrage dans le cas d’une surface horizontale ; dans le cas d’une surface inclinée et orientée de façon quelconque, le coefficient d’om-brage direct reste trivialement le même, cependant que le coefficient d’omd’om-brage diffus représente cette fois-ci le ratio des projections de l’horizon et de la partie visible de l’hémisphère sur cette sur-face (Quaschning et Hanitsch, 1998).

Altération du facteur d’ombrage diffus

L’incidence du rayonnement étant cette fois exprimée par l’angle θ_i, c.-à-d. que l’horizon est ici projeté non plus sur une surface horizontale mais sur un plan incliné et orienté, et la partie visible de l’hémisphère dépendant de l’angle d’inclinaison β , le facteur d’ombrage diffus S_di−i+1,β engendré par un polygone élémentaire d’arêtes verticales p_i et p_i+1 (cf. FIGURE 4.12 du chapitre 4) devient alors (Quaschning et Hanitsch, 1998) :

S_di−i+1,β = Rγ_i+1 γ_i Rmγ+n 0 cosθ_icosα dαdγ 1 2π (1 + cos β ) (5.29) Où on rappelle que m = (αi+1_{− α}i)/(γi+1− γi) et n = (αiγi+1− αi+1γi)/(γi+1− γi). L’importante complexité de la solution analytique générale de cette relation (Quaschning, 1996) rend son utilisation peu pertinente ; en revanche, le fait de se placer en permanence dans le cas spécifique où m = 0 (approximation des polygones rectangulaires) permet de retrouver une solution plus simple à mettre en œuvre. Dans ce cas-là, la borne supérieure de la seconde intégrale ne varie plus avec l’azimut et, en remplaçant θ_ipar son expression, on obtient :

S_di−i+1,β =

Rγ_i+1 γi

Rαi

0 (cos β sin α + sin β cos α cos (γ− γm)) cos α dαdγ 1

2π (1 + cos β ) (5.30) Pour des raisons de commodité dans le calcul, nous avons privilégié l’approche de Dozier et Frew (1990), qui utilise l’angle complémentaire de l’élévation α, à savoir l’angle θ_γ entre le zénith et le point de l’horizon dans la direction γ (cf. FIGURE 5.9), permettant alors de retrouver le facteur de visibilité du ciel V_d, contrepartie du coefficient d’ombrage, tel que :

V_d= 1 − Sd,β ^(5.31)

En couplant ces deux approches, celle de Quaschning (1996) et celle de Dozier et Frew (1990), on peut exprimer le facteur de visibilité V_d,iassocié au ième polygone élémentaire dont l’angle entre le sommet de celui-ci et le zénith est θ_γi :

V_d,i=

Rγ_i+1 γ_i

Rθ_γi

0 (cos β cos θ + sin β sin θ cos (γ − γm)) sin θ dθ dγ 1

2π (1 + cos β ) (5.32) Finalement, la résolution de cette double intégrale conduit à la formulation suivante (Dozier et Frew, 1990 ; Quaschning, 1996) :

Chapitre 5 : Potentiel de la technologie photovoltaïque dans le cadre de l’électrification décentralisée des populations rurales

Sud Nord γm β α_β γ-γm Ligne d’horizon de référence Horizon θ_γ Zénith

FIGURE 5.9 – Auto ombrage provoqué par une surface inclinée d’un angle β et orientée d’un angle γ_m; la ligne d’horizon de référence s’en trouve modifiée derrière le plan incliné, avec une élévation non plus nulle mais égale à α_β. La projection de la portion visible de l’hémisphère sur la surface est dans ce cas égale à π/2(1 + cosβ ).

V_d,i= cosβ sin²θγ_i(γ_i+1− γi) + sin β θγ_i− sinθγicosθ_γi
(sin (γ_i+1− γm) − sin(γi− γm))

π (1 + cos β ) (5.33)

Dans le cas d’une surface inclinée, à la différence du cas horizontal, il existe, en plus de l’ombrage dû à l’horizon, un phénomène d’obstruction engendré par l’inclinaison de la surface elle-même. Phé-nomène que l’on peut observer sur la FIGURE 5.9, et qui se retrouve dans l’équation (5.29) où la pro-jection de la partie visible de l’hémisphère sur la surface n’est plus égale à π mais à π/2(1 + cosβ ). Dès lors, lorsqu’un point de l’horizon engendré par la topographie du terrain se trouve devant la sur-face, l’angle θ_γ est déterminé normalement, mais lorsqu’il se situe en arrière de la surface, le calcul de θ_γ est effectué cette fois par rapport à la hauteur α_β de la ligne d’horizon de référence (cf. FI

-GURE5.9). Si celle-ci se situe en dessous du ième polygone considéré, θ_γi représente l’angle entre le zénith et le sommet de celui-ci ; a contrario, si la hauteur du polygone est inférieure à α_β, θ_γi consti-tue l’angle entre le zénith et cette ligne. En termes mathématiques, on exprime cette double condition de la façon suivante : θ_γi= ( _π 2− αi ^{si γ}m− π/2 ≤ γi< γ_m+ π/2 min π 2− αi,^π₂− αβ
^{si γ}m+ π/2≤ γi< γm+ 3π/2 (5.34) Afin de déterminer α_β, on peut utiliser la projection horizontale du demi-grand cercle de l’hé-misphère situé derrière la surface, et engendré par l’inclinaison de celle-ci. En effet, la projection orthogonale d’une circonférence de cercle sur un plan est une ellipse (Rouché et De Comberousse, 1891) ; cette dernière est donc définie ici par un demi-petit axe b_β = cos β et un demi-grand axe a_β = 1. Dans les coordonnées polaires (ρ_β, γ), l’équation de cette ellipse prend la forme :

5.2 Critères exogènes : rayonnement incident dans le plan des modules et température ambiante ρ_β(γ) = b_β q 1 − e2 βcos2(γ − γm− π/2) (5.35)

Avec e_β l’excentricité, s’exprimant sous la forme e_β =^q1 − b2

β/a²_β =p1−cos2β . On retrouve alors l’élévation α_β en passant à l’arc cosinus :

α_β = arccos ρ_β = arccos cosβ

p1−(1−cos2β ) cos²(γ − γm− π/2) !

(5.36)

En définitive, on retrouve le facteur d’ombrage diffus S_d,β à partir de la somme de l’ensemble des facteurs de visibilité, associés à chacun des n polygones élémentaires constituant le relief visible depuis la surface inclinée :

S_d,β = 1 −Vd= 1 − n

∑

i=1 V_d,i (5.37) 5.2.1.3 Rayonnement direct Formulation initiale

L’estimation du rayonnement direct incident G_b,β sur une surface inclinée est purement géomé-trique ; ce dernier correspond en effet à la section efficace du flux solaire direct normal G_b,n (DNI) atteignant la surface, soit (Demain et al., 2013 ; Notton et al., 2006) :

G_b,β = G_b,ncosθ_i (5.38) Or, de la même façon, le rayonnement direct horizontal correspond à la section efficace du rayon-nement direct normal incident sur une surface horizontale, et est donc relié à ce dernier par la relation géométrique :

G_b= G_b,nsinα∗

s (5.39)

Par ailleurs, afin d’éviter de prendre en compte le rayonnement direct atteignant le dessous de la surface (θ_i> π/2), il est souvent préférable d’introduire le facteur de conversion géométrique r_b défini tel que (Evseev et Kudish, 2009) :

r_b= max  0,^cosθi sinα_s∗  (5.40)

Finalement, en combinant les relations (5.38) et (5.39), et en introduisant le coefficient de conver-sion r_b (équation (5.40)), le rayonnement direct incident sur une surface inclinée s’exprime sous la forme :

Chapitre 5 : Potentiel de la technologie photovoltaïque dans le cadre de l’électrification décentralisée des populations rurales

Désagrégation

Comme il a été dit précédemment, le coefficient d’ombrage direct pour un plan incliné reste le même que celui déjà exposé pour une surface horizontale ; on en déduit donc de manière triviale le rayonnement direct désagrégé ˆG_b,β à l’aide de S_bet de la relation (5.41) :

ˆ

G_b,β = (1 − Sb) G_br_b (5.42)

5.2.1.4 Rayonnement diffus Formulation initiale

De manière analogue au chapitre 4, le rayonnement diffus est dissocié en ses composantes circum-solaire et diffuse isotrope ; afin de garder une certaine cohérence dans le passage du plan horizontal au plan incliné, cette décomposition est également réalisée à l’aide du facteur de clarté de Hay : F_Hay. Le rayonnement circumsolaire possédant les mêmes propriétés que le rayonnement direct, il est donc exprimé, sur un plan incliné, à partir du flux incident G_d,cs sur une surface horizontale et du coefficient de conversion r_b(Evseev et Kudish, 2009 ; Notton et al., 2006) :

G_{d,β ,cs}= r_bG_d,cs= r_bFHayG_d (5.43) Le rayonnement diffus isotrope est considéré comme provenant de manière uniforme de la totalité de l’hémisphère ; sur une surface inclinée, le flux G_{d,β ,iso} s’exprime donc à partir de G_d,iso et de la portion de l’hémisphère visible depuis celle-ci, soit (Demain et al., 2013 ; Notton et al., 2006) :

G_{d,β ,iso}= 1 + cosβ 2  G_d,iso= 1 + cosβ 2  (1 − FHay) G_d (5.44) Le rayonnement diffus dans le plan incliné G_d,β représente alors la réunion des fractions circum-solaire et diffuse isotrope :

G_d,β= G_{d,β ,cs}+ G_{d,β ,iso}= Gd  r_bF_Hay+ 1 + cosβ 2  (1 − FHay)  (5.45) Désagrégation

De la même façon que dans le plan horizontal, la part circumsolaire est sujette à l’ombrage direct, modélisé par le facteur S_b, pendant que la fraction diffuse isotrope se voit réduite de la partie de l’hémisphère cachée par le relief, ici exprimée par le coefficient S_d,β déterminé précédemment ; en intégrant ces deux facteurs à l’équation (5.45), il vient donc :

ˆ G_d,β = G_d  r_bFHay(1 − Sb) + 1 + cosβ 2  (1 − FHay) 1 − Sd,β
 (5.46)

5.2.1.5 Rayonnement réfléchi par le sol Formulation initiale

5.2 Critères exogènes : rayonnement incident dans le plan des modules et température ambiante

Lorsque la configuration du système passe du plan horizontal au plan incliné, une nouvelle compo-sante radiative apparaît : le rayonnement réfléchi par le sol sur la surface ; typiquement, on considère que le rayonnement global incident est diffusé par le terrain sur le plan incliné, avec en outre le même coefficient de réflexion pour la part directe et la part diffuse (Demain et al., 2013). Dans ce cas, le flux réverbéré dépend uniquement de l’albédo de surface A_s, du rayonnement global horizontal G et de la distribution de la radiance réfléchie ; vis-à-vis de cette dernière, la formulation la plus commu-nément utilisée dans la littérature considère la réflexion du sol comme isotrope (Demain et al., 2013 ; Loutzenhiser et al., 2007 ; Notton et al., 2006). Par conséquent, le flux réfléchi G_r,β est défini par la relation : G_r,β = GAs 1 −cosβ 2  (5.47) Désagrégation

La prise en compte du relief dans le calcul du flux réfléchi est triviale, puisque celui-ci ne fait intervenir que le rayonnement global horizontal G, dont on a déjà détaillé la désagrégation dans le chapitre 4 (cf. section 4.3.4) ; on exprime donc ˆG_r,β directement à partir de ˆG:

ˆ

G_r,β = ˆGA_s 1 −cosβ 2



(5.48)

En remplaçant ˆGpar son expression (cf. équation (4.52)) en fonction de G_b et G_d, il vient finale-ment :

ˆ

G_r,β = [(1 − Sb) (G_b+ F_HayGd) + (1 − Sd) (1 − FHay)G_d] A_s 1 −cosβ 2



(5.49)

Estimation de l’albédo de surface

Au-delà du choix de privilégier une modélisation isotrope de la réflexion devant une approche anisotrope, le paramètre dont l’estimation se révèle réellement importante dans la relation (5.49) est l’albédo de surface (Demain et al., 2013 ; Gueymard, 1987). Si certaines études considèrent une valeur typique et constante de l’albédo égale à 0,2 (hypothèse de Liu et Jordan), notamment lorsque les mesures sont manquantes (Notton et al., 2006 ; Padovan et Col, 2010), l’étude réalisée par Gueymard (1987) démontre cependant que plus la discrétisation temporelle de celui-ci est importante, plus la précision sur le rayonnement réfléchi s’en trouve accrue. Par ailleurs, comme nous avons déjà pu le voir dans le chapitre 3 (cf. section 3.1.4.5), il est souvent possible de retrouver la distribution spatiale de l’albédo de surface au niveau régional à l’aide d’un atlas de données pré-compilées.

Dans ces travaux, nous nous sommes appuyés sur la cartographie journalière de l’albédo de sur-face construite par le LSA SAF (SAF on Land Sursur-face Analysis), centre de traitement rattaché à EUMETSAT, à partir des images satellitaires issues de la série Meteosat, librement accessible sur demande via le site http://landsaf.meteo.pt/ (Geiger et al., 2012). Afin de pouvoir les utiliser, nous avons reprojeté ces images, originellement à la résolution du satellite, sur la grille régulière de la carte du rayonnement solaire incident, à la résolution du MNT, à l’aide d’une interpolation au plus proche voisin. Le produit développé par le LSA SAF regroupe deux types d’albédos de surface à

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large bande, c.-à-d. correspondant au spectre solaire (0,3 − 4µm) : un albédo directionnel et un al-bédo bi-hémisphérique. Le premier est estimé pour une direction de référence du flux incident, c.-à-d. en fonction d’un angle solaire zénithal spécifique, tandis que le second représente l’intégrale de l’al-bédo directionnel dans l’ensemble des directions incidentes de l’hémisphère, soit ce que l’on peut considérer comme un albédo surfacique moyen (Geiger et al., 2012).

Afin de rester cohérent avec l’analyse de Gueymard (1987), qui montre donc que l’utilisation d’un albédo variable au cours de la journée minimise l’erreur finale sur le rayonnement réfléchi, nous avons privilégié la même méthodologie que celle employée par Brisson et al. (1999) et déjà résumée dans la section 3.1.4.5 du chapitre 3. Celle-ci considère la cartographie de l’albédo de surface pour un angle solaire zénithal de référence, typiquement θ_s = 0 (soleil au zénith), puis détermine celui-ci pour un angle solaire zénithal quelconque à partir de la formulation empirique exposée par Briegleb et al. (1986) :

A_s(θ_s) = A_s(θ_s= 0) 1 + 2d

1 + 2d cosθs ^{d = 0,4 (5.50)} Néanmoins, la cartographie de l’albédo directionnel développée par le LSA SAF est spécifique à un angle solaire zénithal de référence θ_s,ref correspondant au midi local, et donc fonction du jour et des coordonnées géographiques de chaque pixel de l’image Meteosat (Geiger et al., 2012). Afin de retrouver cet angle, nous avons utilisé l’algorithme du NREL présenté dans le chapitre 3, permettant, d’une part, de déterminer le midi local (moment où les méridiens du soleil et du lieu se confondent) à l’aide de la relation (3.20), et, d’autre part, de calculer l’angle solaire zénithal θ_spour n’importe quels lieu et date avec l’équation (3.18). Dès lors, en modifiant la relation (5.50), on peut exprimer l’albédo de surface A_s en fonction des valeurs de référence de l’angle solaire zénithal θ_s,ref et de l’albédo directionnel A_s θ_s,ref
estimé par le LSA SAF :

A_s(θs) = As θ_s,ref
^{1 + 2d cos θs,ref}

1 + 2d cosθs ^{d = 0,4 (5.51)}

Dans le document Planification de l’électrification rurale décentralisée en Afrique subsaharienne à l’aide de sources renouvelables d’énergie : le cas de l’énergie photovoltaïque en République de Djibouti (Page 174-181)