1.2 Lentilles gravitationnelles
1.2.4 R´egime fort : lignes critiques et caustiques
Pour un amas suffisamment massif, il existe un lieu de points dans le plan-source o`u le jacobien A est singulier, et donc o`u son d´eterminant s’annule. L’amplification y est donc infinie. Ce lieu de points est g´en´eralement constitu´e par une ou plusieurs lignes appel´ees lignes critiques, et leur image dans le plan-image les lignes caustiques. Cas du profil isotherme
Les propri´et´es physiques de la Sph`ere Isotherme Singuli`ere sont d´ecrites en d´etail en section 1.3.2. De la densit´e de masse volumique d´efinie par :
ρ(r) = σ
2
2πGr2 (1.34)
8
Le lemme d’inversion matricielle permet d’´ecrire que si A = αI + B, alors A−1
= α−1
I − (B−1
+ I/α)−1
/α2
. Comme 0 < (1 − κ) < 1 dans le r´egime faible, la transformation du plan-source vers le plan-image, li´ee `a A−1, agrandit bien les images des objets.
1.2. LENTILLES GRAVITATIONNELLES 37
on peut montrer que la densit´e de masse surfacique s’exprime : Σ(r) = σ
2
2Gr (1.35)
et que le potentiel gravitationnel newtonien associ´e est de la forme :
ϕ(r) = 2πσ2r (1.36)
D’apr`es l’expression 1.27 du jacobien A et la relation entre ϕ et sa forme r´eduite ψ (Eq.1.26), on peut montrer que A s’´ecrit dans ce cas :
A =
1 0
0 1 − θθE !
(1.37) o`u l’on a introduit le rayon d’Einstein θE :
θE = 4πσ2 c2 DLS DOS (1.38) Le d´eterminant du jacobien (det A−1
= 1 − θE/θ) s’annule lorsque θ = θE. La ligne
critique o`u l’amplification est infinie est donc le cercle de rayon θE appel´e anneau
d’Einstein. Les ´equations 1.24 et 1.35 permettent d’exprimer l’angle de d´eflexion α, ici constant : α = 4πσ 2 c2 DLS DOS (1.39) On a donc α = θE, et l’image d’un point-source en β = 0 (ligne caustique r´eduite
`a un point) est donc l’anneau d’Einstein. C’est le premier cas pr´esent´e sur la figure 1.4.
De fa¸con g´en´erale, pour un potentiel circulaire, la matrice d’amplification pou- vant s’exprimer sous forme diagonale, les valeurs telles que ∂
2ψ
∂θ2 = 1 d´efinissent
l’´equation du cercle critique radial (inexistant dans le cas de la sph`ere isotherme singuli`ere mais apparaissant par exemple ni elle n’est plus singuli`ere mais pr´esente un rayon de cœur : voir le troisi`eme cas de la figure 1.4). Le cercle critique tangentiel est quant `a lui d´efinit par l’ensemble des points tels que 1
θ ∂ψ
∂θ = 1. A proximit´e des lignes critiques radiales (resp. tangentielles), les images des sources sont d´eform´ees pour s’orienter radialement (resp. tangentiellement) au centre de l’amas (Fig. 1.5).
L’int´erˆet des lignes critiques et caustiques r´eside dans leur lien avec la confi- guration des images multiples. Pour des distributions de masse qui ne pr´esentent pas de sym´etrie circulaire (cas g´en´eral), une caustique peut pr´esenter deux types de forme : soit courbe (fold en anglais), soit pr´esentant un point de rebroussement (cusp). Le type d’image form´ee est diff´erent selon la zone de la caustique travers´ee par la source. Si elle passe par une zone lisse, deux images vont se former et fu- sionner pour former un arc. Ces deux images disparaissent apr`es la travers´ee de la
+ + + + + + + (a) (c) (b) (d)
Fig. 1.4: Lignes critiques (symboles +) et caustiques (traits pleins) obtenues pour diff´erents profils de masse. Le d´eflecteur est `a zL = 0, 3 et les lignes sont trac´ees pour zS= 1. Les unit´es sont donn´ees
en secondes d’arc. (a) Sph`ere isotherme singuli`ere (σ = 1 000 km.s−1
). Il se forme une ligne critique tangentielle, la caustique correspondante est r´eduite `a un point. (b) Ellipso¨ıde isotherme singulier (σ = 1 000 km.s−1
, = 0.2). La caustique ant´ec´edente de la ligne critique tangentielle prend la forme d’une astro¨ıde. (c) Sph`ere isotherme avec rayon de cœur (σ = 1 000 km.s−1
, R0= 50 kpc).
En plus de la ligne critique tangentielle (`a l’ext´erieur), il en apparaˆıt une radiale (`a l’int´erieur) dont la caustique est un cercle. La ligne caustique tangentielle est r´eduite `a un point. (d) Ellipso¨ıde isotherme avec rayon de cœur (σ = 1 000 km.s−1
, = 0.2, R0 = 50 kpc). Par rapport au cas
1.2. LENTILLES GRAVITATIONNELLES 39
+ + +
Fig. 1.5: Position des images multiples en fonction de leur position par rapport aux lignes critiques, ainsi que leur type selon le lieu de la caustique que la source traverse. Si elle passe par une zone lisse (fold, fl`eches tirets-pointill´ees) de la caustique tangentielle, il se forme un arc compos´e de deux ´el´ements dans la direction tangentielle. Dans le cas d’une ligne caustique radiale, il n’existe que des zones courbes ; en la traversant (fl`eches en tirets), la source donnera un arc radial selon la direction radiale. Si la source traverse un point de rebroussement (cusp, fl`eches pleines), il existera un grand arc form´e de trois parties. D’apr`es Golse (2002).
caustique. Pr`es des points de rebroussement, il se forme trois images qui fusionnent pour former un grand arc qui peut ainsi prendre un aspect discontinu. Il ne subsiste qu’une seule image quand la source a pass´e la caustique. Lorsqu’il se forme ainsi des images multiples, chaque segment a une orientation diff´erente par rapport `a la source. La figure 1.5 r´esume ces diff´erentes configurations. Ces effets de miroir sont ainsi tr`es utiles pour identifier la formation des caustiques.
L’´etude des images multiples cr´e´ees par le positionnement d’une galaxie `a proxi- mit´e d’une ligne caustique permet de contraindre de mani`ere robuste le potentiel gravitationnel de l’amas. On peut par exemple citer l’´etude d’une paire d’images dans l’arc g´eant d’Abell 370 par Kneib et al. (1993). La connaissance de plusieurs syst`emes d’images multiples associ´es `a des galaxies situ´ees `a des redshifts diff´erents permet d’apporter une contrainte d’autant plus forte sur le mod`ele de masse de l’amas, et mˆeme `a ce stade sur les param`etres cosmologiques (Golse et al., 2000, 2002).