Formalisme

Consid´erons le banc optique pr´esent´e sur la figure 1.3. La lumi`ere en provenance d’une source S, vue sous un angle β en l’absence de masse d´eflectrice, se trouve d´evi´ee par la pr´esence du champ gravitationnel li´e `a la masse M (le Soleil ou un amas de galaxies par exemple). La course du rayon lumineux est alors infl´echie vers le centre de masse et l’image I de la source est effectivement vue sous un angle θ

Lentille Plan

θ

O

β

M

I

S

Plan Source

ξ

PSfrag replacements ˆ α DOL DLS DOS

Fig. 1.3: Banc optique de l’effet de lentille gravitationnelle. Un photon en provenance de la source S (vue sous l’angle β) est d´evi´e d’un angle ˆα par la masse M, et l’image I est alors vue sous l’angle θ.

sup´erieur `a β, c’est l’effet de mirage gravitationnel. L’angle global d’infl´echissement, not´e ˆα, est alors naturellement appel´e angle de d´eflexion.

Dans le cadre de la Relativit´e G´en´erale, on peut invoquer la m´etrique de Schwarz- schild (1916) pour montrer que, pour une masse d´eflectrice M ponctuelle et un pa- ram`etre d’impact ξ, un photon est d´evi´e d’un angle ˆα s’ecrivant (Einstein, 1915a) :

ˆ

α = 4GM

c2_ξ (1.19)

ˆ

α est ainsi directement proportionnel `a la masse M et inversement proportionnel au param`etre d’impact ξ.

Le cas id´eal d’une seule masse ponctuelle peut ˆetre g´en´eralis´e en assimilant une distribution de masse, telle un amas de galaxie, `a une somme de masses ´el´ementaires. L’angle de d´eflexion final s’´ecrit alors comme la somme vectorielle des d´eflexions dues `a tous les ´el´ements de masse dans le plan lentille :

~ˆα(~ξ) = 4G c2 Z ~ ξ − ~ξ0 |~ξ − ~ξ0 |2Σ(~ξ)d 2_ξ0 (1.20) o`u l’on a introduit la densit´e de masse surfacique Σ(~ξ) de la lentille, projection de l’ensemble de la distribution de masse sur le plan-lentille.

De la figure 1.3, on peut ´ecrire facilement que θDOS = βDOS − ˆαDLS car les

distances en jeu sont bien les distances diam`etre-angulaires. Si l’on d´efinit l’angle de d´eflexion r´eduit comme

~

α = DLS DOS

~ˆα , (1.21)

alors les positions de la source S et de l’image I sont reli´ees simplement au travers de l’´equation dite des lentilles :

Equation des lentilles :

~

β = ~θ − ~α(~θ) (1.22)

Si il est ´evident qu’`a une image (li´ee `a θ) l’´equation des lentilles n’associe qu’une source (li´ee `a β), la r´eciproque n’est pas toujours vraie. Dans le cas g´en´eral ˆα est un terme non-lin´eaire et une source peut alors engendrer plusieurs images : on parle alors d’images multiples. Leur nombre est toujours impair (Burke, 1981) pour une distribution de masse non-singuli`ere.

Soit Σc la quantit´e appel´ee densit´e de masse surfacique critique, et d´efinie par :

Σc = c2 4πG DOS DOLDLS (1.23) L’´equation 1.20 se r´e´ecrit alors :

~ α(~θ) = 1 π Z ~θ − ~θ0 |~θ − ~θ0 |2κ(~θ 0 )d2θ0 (1.24)

1.2. LENTILLES GRAVITATIONNELLES 35

car ~ξ = DOL~θ. La quantit´e κ(~θ) = Σ(DOL~θ)/Σc introduite ici est la densit´e de

masse surfacique adimensionn´ee, ou convergence. Elle mesure la nature critique de l’amas et permet de d´efinir les limites des r´egimes de lentille forte (κ ∼ 1 ou plus) et faible (κ  1). Si la densit´e surfacique Σ(~ξ) est sup´erieure `a la valeur critique Σc

en un ou plusieurs points du plan-lentille, alors κ > 1 et l’´equation des lentilles peut avoir plus d’une solution pour certaines sources. Mˆeme si le caract`ere sur-critique est une condition suffisante pour produire des images multiples, un amas sous-critique peut parfois aussi en pr´esenter, sous certaines conditions (Subramanian & Cowling, 1986).

L’´equation 1.24 implique que l’angle de d´eviation peut ˆetre ´ecrit comme le gra- dient du potentiel de d´eflexion ψ (~α = ~_∇θψ(~θ)) d´efinit par :

ψ(~θ) = 1 π Z ln |~θ − ~θ0 |κ(~θ0 )d2θ0 (1.25) Ce potentiel ψ est l’expression r´eduite du potentiel gravitationnel newtonien ϕ : ils sont li´es par la relation

ψ(~θ) = 2 c2

DLS

DOSDOL

ϕ(~θ) (1.26)

et satisfont `a l’´equation de Poisson ∆ψ(~θ) = 2κ(~θ).

L’´equation des lentilles (1.22) d´ecrit la transformation du plan source vers le plan image, via le gradient du potentiel gravitationnel projet´e (potentiel de d´eflexion ψ). Dans le cas d’objets-sources ´etendus, ce sont les d´eriv´ees secondes locales du potentiel qui interviennent dans la loi de transformation. Le jacobien A correspondant s’´ecrit donc : A ≡ ∂ ~β ∂~θ ! = δij − ∂αi(~θ) ∂θj ! = δij − ∂2_ψ(~θ) ∂θi∂θj ! (1.27) A est l’inverse de la matrice d’amplification A−₁

. Son expression montre que la matrice des d´eriv´ees partielles du potentiel ψ d´ecrit l’´ecart de la transformation due `a la lentille `a l’identit´e. De plus, Etherington (1933) a montr´e que la brillance de surface (´energie re¸cue par unit´e d’angle solide et par unit´e de fr´equence) est conserv´ee par l’effet de lentille gravitationnelle.

Etant donn´e que le laplacien de ψ vaut 2 fois la convergence, on peut ´ecrire : κ = 1

2 tr ψ,ij = 1

2(ψ,11+ ψ,22) (1.28) o`u l’on a introduit la notation ψ,ij ≡ ∂

2 ψ

∂θi∂θj. On peut aussi d´efinir deux autres

combinaisons lin´eaires des ψ,ij :

γ1(~θ) =

1

2(ψ,11− ψ,22) (1.29) γ2(~θ) = ψ,12 = ψ,21 (1.30)

γ1 et γ2 sont les deux composantes de la grandeur appel´ee cisaillement complexe

(shear en anglais) :

γ ≡ γ1+ iγ2 = |γ|e2iφ (1.31)

Avec ces d´efinitions, la matrice A s’´ecrit donc finalement :

Jacobien de la transformation – Matrice d’amplification inverse : A =  1 − κ − γ_−γ 1 −γ2 2 1 − κ + γ1  (1.32) = (1 − κ) 1 0_{0 1} 

− γ cos 2φ_{sin 2φ − cos 2φ}sin 2φ 

(1.33)

Les effets de chaque terme (convergence et cisaillement) s’expriment ici clairement. Le facteur de convergence, associ´e `a la matrice identit´e, modifie la taille de l’image de mani`ere isotrope : une galaxie dans le plan-source garde la mˆeme forme dans le plan- image mais a une taille plus grande8_{. Le cisaillement, lui, introduit un ´etirement de}

cette forme selon la direction φ. La norme de γ fixe l’amplitude de ce cisaillement, et son argument φ en d´etermine l’orientation. Au final, l’image d’une source circulaire est une ellipse dont les rapports entre les axes principaux et le rayon de la source sont les valeurs propres de A, soit 1 − κ ± γ. Du fait de la conservation de la brillance de surface, le flux total de l’image est plus ´elev´e que celui de la source : c’est l’effet de magnification. Le rapport µ de leurs flux est alors le d´eterminant de A−₁

, soit µ−₁

= (1 − κ)2 _{− |γ|}2_{. Dans le cas d’un objet ponctuel (non r´esolu), on}

parle d’amplification dans la mesure o`u on n’observe pas la modification de la taille mais toujours la magnification.

Dans le document Distribution de masse d'un echantillon d'amas de galaxies determinee par effet de lentille gravitationnelle faible (Page 34-37)