2.4 Ajustement de mod`eles
2.4.1 Mod`eles physiques
A partir des mesures de cisaillement effectu´ees dans la section pr´ec´edente (§2.3.2), on peut tenter de trouver quels sont les meilleures valeurs s’ajustant au mieux, pour chacun des mod`eles de masse param´etriques pr´esent´es `a la section 1.3.
Dans la mesure o`u tous les mod`eles ´etudi´es pr´esentent une expression non-lin´eaire pour leur profil de cisaillement, il est impossible d’adopter une approche simple (inversion matricielle) pour ce probl`eme. On choisit donc d’explorer l’espace des param`etres par une routine informatique it´erative, afin de trouver l’ensemble des valeurs minimisant l’´ecart du mod`ele ajust´e au profil. Pour cela on se donne un crit`ere de moindres carr´es pond´er´es J qui est minimal pour le mod`ele s’approchant au mieux des points de mesure :
J = 1 N N X k=1 ,k− gmodel(xk) σk 2 (2.16) o`u k d´esigne le kieme point parmi les N composant le profil.
,k d´esigne la moyenne
h i (Eq. 2.5) pour la couronne k, xk et σk (Eq. 2.6) la position et l’erreur du kieme
point respectivement. Le mod`ele ajust´e est le cisaillement r´eduit gmodel (Eq. 1.44)
puisqu’il d´ecrit le cisaillement mˆeme quand il est le plus intense, au voisinage du rayon d’Einstein.
La figure 2.17 pr´esente les meilleurs mod`eles de sph`ere isotherme (SIS), loi de puissance (Pow) et NFW ajust´es au profil de cisaillement pour l’image R de Abell 1689, d´ej`a pr´esent´e sur la figure 2.16.
La partie interne du profil (en dessous de 70 secondes d’arc) n’a pas ´et´e prise en compte car elle a curieusement des valeurs de cisaillement croissantes dans un premier temps. De mˆeme, les valeurs au-del`a de 1100 secondes d’arc sont n´eglig´ees car `a ce niveau la composante tangentielle est de l’ordre de la composante radiale. De plus l’effet de vignettage devient significatif (Fig. 2.15). Par contre, l’ensemble des points (correl´es) dans l’intervalle [7000
,110000
] interviennent dans l’ajustement des mod`eles, car il n’existe pas une seule s´erie l´egitime de points d´ecorrel´es mais un nombre cons´equent de s´eries fonction de l’incr´ement ∆r du glissement de la fenˆetre (§2.3.2). Certains profils recontr´es pouvant changer de mani`ere significative suivant la position o`u est initialis´ee la s´erie d´ecorrel´ee, l’ensemble des points sont pris en compte en prenant garde de ne pas sous-estimer les erreurs d’ajustement des mod`eles. L’interpr´etation physique des ajustements pour Abell 1689 sera discut´ee en sec- tion 3.2.6. La table 2.3 r´esume les meilleures valeurs d’ajustement pour les trois mod`eles consid´er´es. La valeur du crit`ere J est indiqu´ee, avec entre parenth`eses le nombre de degr´es de libert´e pour le mod`ele consid´er´e.
Le mod`ele de sph`ere isotherme s’ajuste convenablement au profil, mais il d´ecrit mal dans ce cas les valeurs les plus elev´ees du cisaillement, proche du centre. Comme attendu, en lib´erant sa pente dans le mod`ele en loi de puissance, l’ajustement est pr`es
2.4. AJUSTEMENT DE MOD `ELES 87
Fig. 2.17: Meilleurs mod`eles SIS, loi de puissance (Pow) et NFW ajust´es au profil de cisaillement pr´esent´e fig.2.16. Seul l’ensemble des points compris entre 70 et 1100 secondes d’arc ont ´et´e utilis´es.
Tab. 2.3: Meilleurs param`etres ajust´es au profil de cisaillement de l’image d’Abell 1689 pour les mod`eles pr´esent´es fig. 2.17. Le crit`ere J (qualit´e de l’ajustement) est indiqu´e, avec entre parenth`eses le nombre de degr´es de libert´e pour le mod`ele consid´er´e.
SIS σ1D(km s −1 ) θE( 00 ) J 998 ± 68 22.4 ± 3.0 1.98 (1) Pow q θE( 00 ) J 0.75 ± 0.07 14.6 ± 0.3 0.637 (2) NFW c r200(h70 −1 Mpc) M200(1012M ) θE( 00 ) J 3.5+0.5−0.3 1.99 ± 0.25 1410 +630 −470 2.6 +1.4 −0.2 0.334 (2)
de 3 fois meilleur (J). Le mod`ele NFW, qui pr´esente un profil de cisaillement plus plat au centre et plus raide `a grand rayon, est `a son tour pr`es de 2 fois meilleur pour d´ecrire ces donn´ees. Cependant, mˆeme s’il semble ˆetre le meilleur mod`ele, les valeurs physiques d´eduites s’´ecartent trop des valeurs mesur´ees par d’autres m´ethodes : le rayon d’Einstein d´eduit ici est par exemple beaucoup trop faible par rapport `a la valeur directement observ´ee via l’effet de lentille forte.
Plusieurs issues s’offrent alors pour affiner `a la fois l’ajustement des mod`eles et mieux les discriminer :
– disposer de donn´ees proches du centre, l`a o`u le signal et la contrainte sur les mod`eles sont maximaux,
– inclure une contrainte ind´ependante lors des ajustements, comme la valeur observ´ee du rayon d’Einstein,
– utiliser une approche non-param´etrique.
Cette derni`ere approche, non-param´etrique, est pr´esent´ee ci-apr`es (§2.4.2) : elle consiste en une d´etermination de profil de masse directement issue des mesures d’ellipticit´e des galaxies. Elle a l’avantage de ne pas pr´esenter les `a priori inh´erents aux mod`eles de masse, si proche de la r´ealit´e soient-ils.
Consid´erations sur les erreurs associ´ees aux mod`eles ajust´es
A chaque mod`ele ajust´e (pr´esent´es table 2.3 par exemple) on a associ´e une va- leur de χ2, reflet de la qualit´e avec laquelle le mod`ele d´ecrit les donn´ees. Il permet
notamment une comparaison entre mod`eles. Par exemple pour l’image R de Abell 1689, le meilleur mod`ele de loi de puissance s’approche en moyenne 3 fois mieux des points mesur´es que ne le fait le mod`ele de sph`ere isotherme. Cependant cette valeur ne permet pas une mesure absolue de l’erreur associ´ee `a chaque mod`ele. Pour cela on choisit donc de consid´erer les erreurs σk (´eq. 2.6) et de se placer dans le cas
le plus d´efavorable : au profil ,k (k ∈ [0, N]) on associe les deux profils extrˆemes
( ,k− σk) et ( ,k+ σk) pour lesquels on utilise rigoureusement la mˆeme proc´edure
d’ajustement. Ces mod`eles extrˆemes permettent alors de d´efinir les barres d’erreur sur les param`etres trouv´es pr´ecedemment. Par exemple, pour la sph`ere isotherme ajust´ee table 2.3, on obtient un rayon d’Einstein de 22.4 secondes d’arc, avec des extrˆemes `a 19.300
et 25.400
, soit l’erreur moyenne de 3.000
indiqu´ee. Cette proc´edure permet ainsi de refl´eter la d´ependance des profils `a certains param`etres. Par exemple pour la loi de puissance l’ajustement est beaucoup plus sensible `a la pente q (erreur estim´ee `a 9%, cf table 2.3) qu’au rayon d’Einstein θE (2%).
Masses d´eduites
Avec les meilleurs mod`eles ainsi ajust´es, il est possible de d´eduire les profils de densit´e de masse surfacique moyenne (¯κ) selon les expressions pr´esent´ees `a la section 1.3. La masse incluse dans le rayon r s’´ecrit alors simplement :
2.4. AJUSTEMENT DE MOD `ELES 89
Fig. 2.18: Profils de masses int´egr´es pour les 3 mod`eles de masse ´etudi´es (SIS, Power law, NFW) et pour la m´ethode d’Aperture Mass Densitometry (AMD, §2.4.2), avec leurs barres d’erreur associ´ees.
La figure 2.18 pr´esente ces profils M (< r) pour les trois mod`eles de masse ´etudi´es. Mˆeme si les r´esultats physiques seront discut´es pour chaque amas dans la section 3.2, on peut d’hors et d´ej`a constater que les mod`eles SIS et NFW fournissent des profils de masse tr`es similaires, alors que la loi de puissance, malgr´e (ou `a cause de) ses deux degr´es de libert´e aboutit `a un profil nettement sup´erieur : sa pente plus faible (q = 0.75) compar´ee `a celle de la sph`ere isotherme induit une d´ecroissance plus lente de sa densit´e de masse, d’o`u une masse int´egr´ee plus ´elev´ee.