Probl´ematique

Grˆace `a SExtractor, les objets de chaque mosa¨ıque ont pu ˆetre rep´er´es, me- sur´es et classifi´es. Mais l’effet de distorsion gravitationnelle se manifestant grˆace `a la d´eformation des sources, il reste `a mesurer la forme des images observ´ees. De plus, pour avoir l’estimation la plus correcte possible, il convient de tenir compte des effets de la PSF (Point Spread Function) qui bruite le signal imprim´e dans la forme des images. La PSF est la r´eponse impulsionnelle du syst`eme. Elle inclut les effets de l’ensemble des ´el´ements travers´es sur le trajet du rayon lumineux : de l’espace inter- stellaire (n´eglig´e) jusqu’au syst`eme optique (t´elescope) en passant par l’atmosph`ere terrestre. Les turbulences des hautes couches de l’atmosph`ere entraˆınent principale- ment une oscillation de l’image dans le plan focal (perturbations temporelles). Leur manifestation la plus ´evidente est le scintillement des ´etoiles dans le ciel. Pour le syst`eme optique, la qualit´e des optiques, la mise au point, l’´ecart `a l’axe optique (irr´em´ediable pour les grands champs) sont autant de points qui d´et´eriorent l’image (perturbations spatiales). Et mˆeme dans le cas d’optiques id´eales, la tache d’Airy (transform´ee de Fourier du miroir dans le plan focal) est toujours pr´esente du fait de la taille finie des optiques. Au final, la r´eponse impulsionnelle traduit l’int´egration temporelle de ces deux familles de perturbations : l’image d’une source ponctuelle en entr´ee du syst`eme est un objet ´etendu de forme variable.

Plusieurs m´ethodes s’offrent pour mesurer la forme des images tout en tenant compte de la PSF. Bonnet & Mellier (1995) ont les premiers tent´e de prendre en compte ses effets sur les moments quadrupolaires (les param`etres d’ellipse) des images en supposant qu’elle (la PSF) pouvait ˆetre d´ecrite par une matrice de forme inversible et constante sur tout le champ. La m´ethode a ´et´e g´en´eralis´ee par Kaiser, Squires, & Broadhurst (1995, dite KSB) et est aujourd’hui la plus largement utilis´ee. Elle consiste dans un premier temps en une mesure des composantes de la polarisa- tion, li´ee au ´el´ements ei=1,2 que l’on s’attend `a ˆetre, en moyenne, proportionnels aux

´el´ements γi=1,2 du cisaillement gravitationnel (Eq.1.49). La PSF est pour sa part

d´ecrite par des composantes de forme similaires not´ees pi=1,2. La perturbation δei

due `a la PSF sur les composantes ei est reli´ee aux pi par la relation δei = Pijspj o`u

Ps

ij est le tenseur de polarisabilit´e de la d´eformation1. Pijs est mesur´e sur les galaxies,

pi sur les ´etoiles, et la correction −Pijspj peut alors ˆetre appliqu´ee aux composantes

ei des galaxies. Cette m´ethode a ´et´e test´ee par plusieurs auteurs (Luppino & Kai-

ser, 1997; Hoekstra et al., 2000; Rhodes et al., 2000) et r´evis´ees par Bacon et al. (2001) et Erben et al. (2001) par exemple, mettant en ´evidence des anti-corr´elations r´esiduelles entre la PSF et les galaxies d´econvolu´ees. Elle s’av`ere de plus inefficace pour un cisaillement ´elev´e (γ > 0.3).

Kuijken (1999) a d´evelopp´e une m´ethode bay´esienne dans laquelle la PSF et les galaxies sont d´ecrites par des gaussiennes. Ratnatunga et al. (1999) ont eux aussi

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utilis´e une m´ethode de maximum de vraisemblance, et Refregier et al. (2002) et Bernstein & Jarvis (2002) utilisent pour leur part une m´ethode de d´ecomposition des images en shapelets (composantes ´el´ementaires de forme, par similitude aux d´ecompositions en ondelettes).

La technique de Kuijken (1999) a ´et´e reprise par Bridle et al. (2001) qui a d´evelopp´e le logiciel Im2shape, permettant ainsi une approche purement bay´esienne du probl`eme. Ce logiciel estime a posteriori les param`etres d’un mod`ele pour la forme des objets en utilisant a priori la PSF mesur´ee et un profil 2D suppos´e gaussien ou somme de gaussiennes. De plus une attention particuli`ere est donn´ee `a l’estimation des incertitudes sur les mesures d’ellipticit´e, grˆace `a la distribution de probabilit´e du mod`ele r´esultant de l’approche bay´esienne ; Im2shape dispose ainsi d’un atout majeur.

L’´etude pr´eliminaire2 _{`a ce sujet de th`ese a permis de valider la robustesse de}

ce logiciel face au bruit. De plus la reconstruction par un profil 1-gaussien d’une image simul´ee par des profils 1-gaussien, 2-gaussien ou de Moffat n’introduit pas de biais dans la reconstruction des param`etres de forme. Une ´etude plus compl`ete et comparative aux autres techniques est en cours de pr´eparation (Bridle et al., 2004). Les r´esultats pr´eliminaires de la compararaison entre Im2shape et IMCAT3 _tendent

notamment `a montrer que Im2shape obtient des reconstructions des param`etres de forme des galaxies `a un niveau de confiance comparable `a celui d’IMCAT.

Si on d´efinit le vecteur ~x comme l’ensemble des param`etres (niveaux de bruit et du fond, position, ellipticit´e, orientation, taille et amplitude de la ou des gaussiennes 2D) du mod`ele d´ecrivant une image I, ayant subi une PSF suppos´ee connue, alors on peut ´ecrire le th´eor`eme de Bayes :

Th´eor`eme de Bayes :

p(~x|I; P SF ) ∝ p(I|~x; P SF ) × p(~x; P SF )

p(~x|I; P SF ) est la densit´e de probabilit´e des param`etres ~x du mod`ele connaissant l’image I observ´ee, la PSF ´etant connue (loi a posteriori ).

p(I|~x; P SF ) est la vraisemblance de l’observation I, connaissant les param`etres ~x originels et la PSF subie.

p(~x; P SF ) est la loi a priori sur les param`etres. Ils sont fix´es dans le fichier d’entr´ee de Im2shape. Par exemple l’orientation peut ˆetre choisie uniform´ement entre 0 et 2π, alors que l’ellipticit´e appartient `a l’intervalle [0, 1] mais selon une loi carr´ee (e2 _{est uniform´ement r´eparti entre 0 et 1, favorisant les faibles ellipti-}

cit´es).

De la loi retrouv´ee a posteriori, un ´echantillonnage par Chaˆıne de Markov - Monte Carlo (MCMC : tirage de points dans l’espace des param`etres du mod`ele et dont la

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S. Bardeau, Juin 2001, Reconstruction du profil de masse de l’amas Abell 383 par analyse du «Weak Lensing », rapport de stage de DEA, sous la direction de J.-P. Kneib.

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2.2. MESURE DES ELLIPTICIT ´ES 67

Fig. 2.5: A gauche : distribution en ellipticit´e des galaxies brutes, telle que la mesure Im2shape sans d´econvolution de PSF. A droite : Mˆeme distribution mais avec la d´econvolution par Im2shape. L’effet de circularisation (e → 0) est ´evident sur les galaxies brutes (avec PSF donc).

distribution suit la loi donn´ee) permet alors d’estimer les valeurs les plus probables et d’associer l’erreur (li´ee `a leur dispersion) en les param`etres.