R´ eflexions sur la notion d’aimants fictifs

L’allure segment´ee des fonctions d’aimantation fictive incite `a v´erifier si elle ne d´erive pas d’une couche d’aimants fictifs. Ceci est possible `a la condition suivante : la fonction d’aimantation fictive doit avoir une forme qui permet de consid´erer qu’elle r´esulte d’un rotor constitu´e d’aimants (fictifs) aux propri´et´es g´eom´etriques parfaitement identifiables, `a savoir : • pour un aimant radial, une largeur, une position et une valeur d’aimantation r´emanente

(sign´ee),

• pour un aimant parall`ele, une largeur, une position, une valeur d’aimantation (norme) et une orientation d’aimantation r´emanente.

Par exemple, si une fonction d’aimantation fictive radiale est un cr´eneau, il est assez naturel de consid´erer qu’elle r´esulte d’un aimant radial aux caract´eristiques g´eom´etriques d´ependant de la position et de la largeur du cr´eneau.

Dans le cadre d’un rotor constitu´e d’une couche d’aimants radiaux, les fonctions d’ai- mantation fictive radiale sont toujours des fonctions en escalier. Dans ce cas, il est toujours possible d’identifier des caract´eristiques d’aimants fictifs radiaux. Cependant, comme l’illustre la figure III.12-a (pr´esentant les fonctions d’aimantation r´eelle et fictive pour une machine `

a 5 phases), cette identification peut ˆetre assez fastidieuse. La relation (III.36) permet de calculer les caract´eristiques des 150 aimants fictifs (50 par machine fictive). Il faut bien noter que, dans ce cas, les aimants radiaux constituant les rotors fictifs ont des valeurs diff´erentes d’aimantation r´emanente. De man`ere g´en´erale, le nombre d’aimants fictifs constituant un ro- tor fictif d´epend des caract´eristiques de la couche d’aimants radiaux r´eels (nombre d’aimants et disposition).

III.3. FONCTION D’AIMANTATION FICTIVE 125 0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 −Br Br Réel 0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 −Br Br Fictif0 0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 −Br Br Fictif1 0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 −Br Br Fictif2

Angle Electrique (deg)

(a) Fonction d’aimantation radiale fictive pour une couche d’aimants radiaux

0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 −Br Br Réel 0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 −Br Br Fictif0 0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 −Br Br Fictif1 0 36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 −Br Br Fictif2

Angle Electrique (deg)

(b) Fonction d’aimantation radiale fictive pour une couche d’aimants parall`eles

Figure III.12 — Etude de la possibilit´e d’identifier des param`etres d’aimants fictifs pour une aimantation radiale et parall`ele (machine `a 5 phases)

Par contre, dans le cadre d’un rotor constitu´e d’une couche d’aimants parall`eles, l’identifi- cation est beaucoup plus d´elicate. La figure III.12-b illustre cette difficult´e pour une fonction d’aimantation radiale sur une machine `a 5 phases. Pratiquement, tenter d’extraire des pa- ram`etres d’aimants fictifs `a l’aide de la relation (III.36) est une op´eration tr`es d´elicate et pas forc´ement r´ealisable.

Au final, l’identification de param`etres d’aimants fictifs est int´eressante pour une in- terpr´etation visuelle des r´esultats. Mais, pratiquement, sur le plan de l’optimisation, cette recherche n’est pas n´ecessaire. C’est la forme de la fonction d’aimantation fictive qui agit sur la machine fictive : c’est donc celle-ci qu’il faut optimiser au travers des param`etres concrets de la couche d’aimants r´eels.

En r´esum´e, cette partie propose une m´ethode de d´ecomposition de la fonction d’aiman- tation sur les machines fictives. Comme pour les forces ´electromotrices ou les courants fictifs, la somme des fonctions d’aimantation fictive est ´egale `a la fonction d’aimantation r´eelle. Le fait de d´efinir la fonction d’aimantation fictive comme une transform´ee de fonction d’aiman- tation de phase a permis de mettre en ´evidence la propri´et´e de segmentation : en raison de la distribution r´eguli`ere des axes de phase au-dessus des diff´erentes paires de pˆoles, les fonctions d’aimantations fictives pr´esentent des discontinuit´es `a intervalles r´eguliers. Dans le cadre d’un rotor constitu´e d’aimants radiaux, l’allure de fonctions en escalier pour les fonctions d’aimantation fictive permet de les relier `a des rotors constitu´es d’aimants fictifs. Par contre, si le rotor est constitu´e d’aimants parall`eles, la conclusion n’est pas ´evidente. En somme, l’ensemble des investigations men´ees dans cette partie vont permettre d’abor- der m´ethodiquement le probl`eme d’optimisation de la fonction d’aimantation de la machine polyphas´ee d´etaill´ee dans le chapitre suivant.

C

e chapitre ´etablit les bases th´eoriques permettant de mieux exploiter le concept de machines fictives. Pour faciliter la r´esolution des probl`emes d’optimisation, il est important de d´evelopper un formalisme sans information redondante et propice au traitement informatique. Les formalismes vectoriels et matriciels ne respectent pas ces deux crit`eres simultan´ement. Par contre, le formalisme utilisant des suites p´eriodiques et la transform´ee de Fourier discr`ete r´epond `a cette double exigence. Utilis´e pour caract´eriser ou construire les grandeurs de machines fictives, ce nouveau formalisme pr´esente deux grands int´erˆets. D’une part, il condense l’information contenue dans les matrices d’inductance et de bobinage. D’autre part, il permet d’interpr´eter de mani`ere fr´equentielle les changements de base d´efinissant les machines fictives.

Ainsi, les fonctions d’aimantation fictive peuvent ˆetre d´efinies `a l’aide de la Transform´ee de Fourier discr`ete. L’´etude des fonctions d’aimantation fictive a permis de montrer que les machines fictives ont une perception segment´ee du rotor de la machine polyphas´ee. Si l’ambition de d´efinir des aimants fictifs n’a pu ˆetre vraiment concr´etis´ee, les analyses men´ees donnent des indications utiles sur la mani`ere d’optimiser la couche d’aimants pour d´efinir la force ´electromotrice fictive.

A l’inverse, l’objectif de construction de bobinages fictifs est pleinement atteint. Il est pos- sible d’associer `a chaque machine fictive une distribution fictive et une fonction de bobinage fictif. Ces deux grandeurs de bobinage fictif influencent les inductances fictives et les forces ´

electromotrices fictives exactement comme les grandeurs de bobinage r´eel influencent les in- ductances mutuelles et la force ´electromotrice de phase. La lecture des vecteurs de bobinage comme suites p´eriodiques permet de r´esumer de fa¸con concise ces r´esultats :

• l’´energie des vecteurs de distribution fictive et de fonction de bobinage fictif condi- tionnent l’inductance cyclique,

• la forme de la distribution fictive (´equivalemment de la fonction de bobinage fictif) d´etermine les coefficients de bobinage fictif.

De plus, l’utilisation de la TFD se r´ev`ele r´eellement int´eressante. D’une part, elle permet de visualiser le nombre de paires de pˆoles du bobinage fictif. D’autre part, elle permet de d´efinir une proc´edure de calcul du bobinage fictif ne n´ecessitant aucun calcul matriciel. En effet, initialement d´efinis par changement de base, les bobinages fictifs peuvent ˆetre calcul´es `

a l’aide de la TFD et de la notion de famille ´etendue d’harmoniques de machines fictives. Une m´ethode d’optimisation du bobinage avec objectifs directement cibl´es sur les bobinages fictifs est ainsi sugg´er´ee.

CHAPITRE

IV

Conception bas´ee

sur la

d´ecomposition

multimachine

Sommaire

IV.1 Optimisation du bobinage . . . 131 IV.1.1 Analyse du probl`eme . . . 131 IV.1.2 D´emarche d’optimisation . . . 143 IV.1.3 Exemples . . . 145 IV.2 Optimisation de la couche d’aimants . . . 159 IV.2.1 Analyse du probl`eme . . . 159 IV.2.2 Optimisation pour une couche d’aimants radiaux . . . 162 IV.2.3 Optimisation pour une couche d’aimants parall`eles . . . 166

C

e dernier chapitre d´polyphas´ee `a ses machines fictives. L’aptitude d’une machine fictive `ecrit des m´ethodes visant `a adapter la conception de la machinea produire un couple ´elev´e et non fluctuant est d´etermin´ee par les caract´eristiques de sa force ´

electromotrice ´el´ementaire : id´ealement, celle-ci doit ˆetre sinuso¨ıdale et d’amplitude bien pr´ecis´ee (cf. chapitre I). Le premier objectif de conception multimachine concerne donc les forces ´electromotrices fictives. Pour adapter au mieux la fr´equence de Modulation de Largeur d’Impulsions de l’onduleur `a l’ensemble des machines fictives (et ainsi r´eduire les courants parasites, cf. chapitre I), il faut chercher `a obtenir des inductances de machines fictives de valeurs aussi proches que possible. Le deuxi`eme objectif de conception multimachine vise donc `

a ´egaliser les inductances fictives. Dans la suite, le terme “objectifs multimachines” d´esignent ces deux objectifs de conception.

A g´eom´etrie de machine fix´ee (al´esages, ´epaisseur de la couche d’aimant, dimension des encoches, ...), les param`etres influen¸cant les forces ´electromotrices et les inductances sont le bobinage et la couche d’aimant mod´elis´ee par les fonctions d’aimantation radiale et tangen- tielle. Ce sont les deux grands degr´es de libert´e pris en compte. La philosophie des d´emarches

d’optimisation est de reporter les objectifs multimachines sur les bobinages fictifs et sur les fonctions d’aimantation fictive (d´efinis au Chapitre III).

La premi`ere partie de ce chapitre d´ecrit le principe de l’optimisation du bobinage qui repose sur sa mod´elisation par suites p´eriodiques. L’utilisation de la Transform´ee de Fourier discr`ete permet de caract´eriser les performances du bobinage en terme de filtrage et de valeurs des inductances cycliques. Les objectifs cibl´es sur les bobinages fictifs sont ainsi d´efinis. La seconde partie de ce chapitre propose des m´ethodes d’optimisation de la couche d’aimants. Les m´ethodes s’appuient sur l’hypoth`ese de lin´earit´e qui permet d’assimiler la g´eom´etrie de la machine et son bobinage `a un filtre avec, en entr´ee, les fonctions d’aimantation, et, en sortie, la force ´electromotrice ´el´ementaire. R´eversible, ce filtre permet de d´efinir des profils id´eaux pour les fonctions d’aimantation fictives et r´eelles, ce qui d´efinit les objectifs. L’optimisa- tion consiste alors `a rechercher des couches d’aimant permettant d’approcher ces fonctions d’aimantation id´eales.

IV.1. OPTIMISATION DU BOBINAGE 131

IV.1

Optimisation du bobinage

Le chapitre II a mod´elis´e l’influence du bobinage de phase sur la composition harmonique de la force ´electromotrice et sur les valeurs de la s´erie d’inductances mutuelles. Le chapitre III a introduit les fonctions de bobinage fictif et leur repr´esentation par suites p´eriodiques. Ceci a permis de relier de fa¸con concise les valeurs des inductances fictives et des coefficients de bobinage fictif aux tranform´ees de Fourier discr`ete des distributions et fonctions de bobinage fictif. Cette sous-partie exploite ce dernier r´esultat pour ´etablir une proc´edure d’optimisation du bobinage. Le probl`eme est tout d’abord analys´e : les objectifs sont formul´es et la possibilit´e de les atteindre est ´evalu´ee par l’´etude de bobinages conventionnels. Ensuite, la proc´edure proprement dite est explicit´ee. Enfin, des exemples concrets d’optimisation du bobinage avec objectifs multimachines sont trait´es.

Dans le document Développement d'outils de conception de Machines polyphasées à aimants utilisant l'Approche multimachine. (Page 145-152)