III.2 Bobinage fictif
III.2.2 Transform´ ee de Fourier discr` ete des vecteurs de bobinage
III.2.2.3 Familles ´ etendues d’harmoniques de machines fictives
L’introduction de la TFD d’ordre Ns0, c’est-`a-dire d’un outil traduisant la disposition r´eguli`ere des encoches statoriques, doit permettre d’associer aux machines fictives des har- moniques de force magn´etomotrice et ainsi d’´etendre la notion de familles d’harmoniques qui
0 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Angle Mécanique (degré)
Pondération
(a) Origine ´echantillonn´ee de la distribution fictive de conducteurs de la machine princi- pale : les 3 paires de pˆoles sont apparentes
0 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Angle Mécanique (degré)
Pondération
(b) Origine ´echantillonn´ee de la distribution fictive de conducteurs de la machine secon- daire : les 9 paires de pˆoles sont apparentes
Figure III.4 — Visualisation du nombre de paires de pˆoles des bobinages des deux machines fictives diphas´ees (machine M5-IRENAV )
ne concernent jusqu’`a pr´esent que les forces ´electromotrices et les inductances. C’est le but de ce paragraphe.
Classiquement, la d´ecomposition en s´erie de Fourier d’un signal de phase est r´ealis´ee en l’int´egrant sur sa p´eriode, c’est-`a-dire 2πelec. Pour ´evaluer le contenu harmonique de l’onde de
force magn´etomotrice, le signal repr´esentant l’onde doit ˆetre int´egr´e sur sa p´eriode spatiale qui est 2π/pgcd(Ns, p). Dans le cadre d’un bobinage `a nombre entier d’encoches par pˆole et par
phase, les deux p´eriodes sont ´egales (pgcd(Ns, p) = p). Par contre, dans le cadre d’un bobinage
fractionnaire, les deux p´eriodes ne concordent pas : il apparaˆıt alors ce qui est classiquement appel´e des sous-harmoniques de force magn´etomotrice. Le terme de sous-harmonique se d´efinit donc par rapport `a la p´eriode de r´ef´erence 2πelec. Physiquement, ce ph´enom`ene traduit des
irr´egularit´es dans le champ tournant statorique cons´ecutives `a la distribution non ´equivalente des bobines au-dessus des diff´erentes paires de pˆoles. Evidemment, ces irr´egularit´es influencent le comportement des machines fictives. Pour en ´evaluer leurs effets sur les machines fictives, la notion de famille d’harmoniques doit ˆetre ´etendue aux harmoniques de force magn´etomotrice. Les amplitudes des diff´erents harmoniques de force magn´etomotrice pr´esents dans la ma- chine polyphas´ee correspondent aux composantes, not´ees Bh,0, du vecteur
−−→ BN
0 s
0 . En d’autres
termes, Bh,0 est l’amplitude de l’harmonique discret de rang h pour la force magn´etomotrice.
Donc, pour ´evaluer quelles harmoniques de force magn´etomotrice se projettent sur la machine fictive d’inductance Mk, il faut exprimer les composantes Bh,kf du vecteur
−−−→ BNs0,f
k en fonction
des composantes Bh,0 du vecteur
−−→ BNs0
0 .
En utilisant la propri´et´e de circularit´e entre les vecteurs de bobinage de phase r´eelle et en posant ic = dNs0/N , le terme B
f
h,k s’exprime comme suit :
Bh,kf = Bk,0 r 1 N N −1 X n=0 e−j2πNn(dh+k)
III.2. BOBINAGE FICTIF 113
Cette relation met en ´evidence que la fonction de bobinage de la machine d’inductance fictive Mk est une composition d’harmoniques particuliers de la fonction de bobinage de phase de
la machine polyphas´ee. Plus pr´ecis´ement, il vient :
Bh,kf =
√
N Bk,0 si h ∈ ZN −kd ∩ Z
0 sinon (III.25)
Ainsi, la connaissance de la TFDr de la fonction de bobinage r´eel de la phase 0 et de l’indice de circularit´e permet de construire les TFDr de chacune des fonctions de bobinage fictif par une r`egle de correspondance d’harmoniques. En d’autres termes, les Ns0 harmoniques de la fonction de bobinage de la phase 0 se distribuent sur les diff´erentes machines fictives selon une r`egle arithm´etique conditionn´ee par l’indice ic, c’est-`a-dire par le nombre de phases et le
nombre de pˆoles.
Ainsi sont mises en ´evidence les familles d’harmoniques de force magn´etomotrice associ´ees aux machines fictives. Elles sont not´ees comme suit (avec d, l’indice de circularit´e r´eduit d´efini par (II.4), page 53) :
FN,d(Mk) = ZN ± k d ∩ Z (III.26) Cette relation (III.26) exprime le fait que la TFDr de la fonction de bobinage fictif de la machine fictive d’inductance Mk contient exclusivement les harmoniques de FN,d(Mk). La
relation de correspondance entre les rangs d’harmoniques sur 2πelec vers les rangs d’harmo-
niques 2π/pgcd(Ns, p) est simple `a ´etablir (avec p0, le nombre de paires de pˆoles r´eduit d´efini
par (II.3), page 52) :
Z −→ Z
h 7−→ mod(p0h, Ns0) (III.27)
La figure III.5 donne les TFDr des fonctions de bobinage fictif de la machine M5-IRENAV. Elle illustre la notion de correspondance entre les harmoniques de force magn´etomotrice qui sont calcul´es sur la p´eriode 2π/pgcd(Ns, p) et ceux calcul´es sur la p´eriode polaire 2π/p. Par
exemple, la machine fictive secondaire (rep´er´ee Alpha-2 ) est sensible aux harmoniques 2πelec
de rang -7, -3, 3 et 7 (par d´efinition des familles d’harmoniques). D’apr`es la relation (III.27), les harmoniques -7, -3, 3 et 7 correspondent respectivement aux harmoniques -1, -9, 9 et 1 ou encore, en exploitant la Ns0-p´eriodicit´e, aux harmoniques 19, 11, 9 et 1. Ceci est clairement apparent sur la figure III.5.
Cette analyse par TFD des grandeurs de bobinage m`ene `a la conclusion suivante : `a nombre d’encoches, nombre de pˆoles et nombre de phases fix´es, la connaissance de la suite de bobinage d’une phase permet par TFD de celle-ci de calculer les grandeurs de bobinage fictif (distribution et fonction) et de visualiser la r´epartition des pˆoles des bobinages fictifs. Les grandeurs d’optimisation des machines fictives ´etant les inductances et la force ´electromotrice, il serait maintenant int´eressant de parvenir `a exprimer ces deux grandeurs en fonction des TFD des distributions fictives et des fonctions de bobinage fictif. Alors, en ce qui concerne le bobinage, tous les calculs li´es `a l’optimisation des valeurs fictives se ram`eneraient `a l’´etude de l’un des deux vecteurs de bobinage de phase : `a savoir le vecteur de distribution
−→ dNs0
0 ou le
vecteur de fonction de bobinage −→ bNs0
0 . Sachant que ces deux vecteurs contiennent exactement
la mˆeme information (une simple op´eration d’int´egration ou de d´erivation discr`ete permet de passer de l’une `a l’autre), une formulation concise des objectifs d’optimisation pourrait alors ˆ
0 0 1 7 2 6 3 1 4 8 5 5 6 2 7 9 8 4 9 3 10 10 11 3 12 4 13 9 14 2 15 5 16 8 17 1 18 6 19 7 cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin Harmonique 2π / pgcd(N s,p) 2π / p Homo−0 Alpha−1 Alpha−2 Energie 1 2.148 1.543
Figure III.5 — Transform´ee de Fourier discr`ete r´eelle des fonctions de bobinage fictif pour la machine pentaphas´ee `a 20 encoches et 3 paires de pˆole M5-IRENAV