Fonctions de bobinage de phase

Utilis´ee dans [57] et [58], la fonction de bobinage est un outil charg´e de repr´esenter l’in- fluence du bobinage de la machine sur le champ tournant statorique. Le grand int´erˆet de cette fonction est de s´eparer dans le champ tournant les contributions spatiales, c’est-`a-dire li´ees aux caract´eristiques intrins`eques de la machine, des contributions temporelles, c’est-`a- dire li´ees `a l’alimentation de la machine. Par cons´equent, son utilisation permet d’aborder le probl`eme de l’adaptation du profil de la distribution des bobines de phase dans les encoches en fonction du type d’alimentation.

II.2.2.1 D´efinition de la fonction de bobinage de phase

La d´efinition de la fonction de bobinage s’appuie sur la notion d’onde de force magn´etomotrice statorique. Cette onde correspond au champ tournant statorique et est compt´ee en Amp`ere-tours (A.t). Elle se repr´esente en un instant t et en une position θs

du stator. Les variations temporelles sont issues des courants de phase in(t) et les variations

spatiales r´esultent de la distribution des conducteurs de phase dans les encoches. C’est cette distribution qui est mod´elis´ee `a l’aide de la fonction de bobinage, not´ee Nn(θs) pour la phase

20 encoches 4 poles Phase0 Phase1 Phase2 Phase3 Phase4 i_c = 2

(a) Bobinage r´egulier `a pas diam´etral

20 encoches 6 poles Phase0 Phase1 Phase2 Phase3 Phase4 i c = 8 (b) Bobinage fractionnaire spp= 2/3

Figure II.8 — Fonction de bobinage de deux bobinages pentaphas´es sur 20 encoches

n. Dans ce contexte, l’onde de force magn´etomotrice statorique s’exprime :

fmm(θs, t) = N −1

X

n=0

in(t)Nn(θs) (II.6)

Concr`etement, la fonction de bobinage en une position θssomme les conducteurs de la phase n

compris dans la zone [0, θs] en comptant positivement les conducteurs aller et n´egativement les

conducteurs retour. Elle correspond `a la force magn´etomotrice d’une phase aliment´ee par un courant constant de un Amp`ere. Son unit´e est le nombre de conducteurs.tours [ncd.tour]. La

figure II.8 donne les allures des fonctions de bobinage de phases correspondant aux bobinages 5 phases des figures II.3 et II.5. Les courbes repr´esentent des fonctions de bobinage normalis´ees par rapport `a leur maximum. Elles mettent en ´evidence que la fonction de bobinage pr´esente une varation lin´eaire le long de l’ouverture d’encoche. Cette information rend compte de la largeur d’encoche suppos´ee remplie uniform´ement. En cons´equence, la d´eriv´ee de la fonction de bobinage est nulle partout sauf dans les zones de conducteurs. Donc cette d´eriv´ee permet de localiser les conducteurs de la phase.

La d´eriv´ee de la fonction de bobinage correspond `a la fonction densit´e de conducteurs not´ee Dn(θs) pour la phase n :

Dn(θs) = 1 rst dNn dθs (II.7) Cette fonction indique le nombre de conducteurs de phase par m`etre en fonction de la po- sition d’un point de la p´eriph´erie statorique rep´er´e par l’angle θs. La fonction de densit´e de

conducteurs est un outil courammnent utilis´e (dans [37], [22], [63] et [7] notamment). Mais elle n’est pas d´efinie comme la d´eriv´ee de la fonction de bobinage.

L’observation des courbes de la figure II.8 met aussi en avant deux propri´et´es essentielles de la fonction de bobinage : la valeur moyenne nulle et la notion de circularit´e existant entre les fonctions des diff´erentes phases (ic = 2 pour le bobinage de la figure II.3 et ic = 8 pour le

II.2. REPR ´ESENTATION DES TERMES SOURCES 59

II.2.2.2 Propri´et´es de la fonction de bobinage

Sur le tour complet, le nombre de conducteurs aller est ´egal au nombre de conducteurs re- tour. Par cons´equent, la valeur moyenne de la fonction de bobinage Nn(θs) est n´ecessairement

nulle :

Z 2π

0

Nn(θs)dθs= 0

La p´eriode de la fonction de bobinage est au plus 2π (c’est-`a-dire ´egal au tour complet de la machine). La relation (II.2) permet de pr´eciser cette valeur : la p´eriode est 2π/pgcd(Ns, p).

Par exemple, pour les bobinages entiers (spp∈ N), la p´eriode est 2π/p (comme visible sur les

figures II.3 et II.4).

Le bobinage ´etant ´equilibr´e, les phases sont suppos´ees ´equivalentes. Par cons´equent, la propri´et´e de circularit´e sur la p´eriode de bobinage d´ecrite dans le paragraphe II.1.2.4 est re-transcrite dans la mod´elisation par fonction de bobinage de la mani`ere suivante :

Nn(θ) = N0(θ − nic

2π Ns

) (II.8)

Ces propri´et´es de valeur moyenne nulle et de circularit´e sont ´egalement valables pour la fonction densit´e de conducteurs Dn(θs).

II.2.2.3 Notion de bobinage convenablement r´eparti

Dans l’onde de force magn´etomotrice statorique, la fonction de bobinage localise les termes sources courant. Il devient alors possible d’adapter le profil de la fonction spatiale de bobinage au signal temporel de courant afin d’obtenir une onde de force magn´etomotrice sp´ecifique. Ce paragraphe illustre ce point.

Par exemple, le champ tournant statorique est parfaitement sinuso¨ıdal si l’onde de force magn´etomotrice est progressive de la forme :

fmm(θs, t) = F cos(pθs− ωt) (II.9)

En supposant que les courants de phase sont sinuso¨ıdaux de valeur efficace Ief f, l’onde de

force magn´etomotrice peut aussi s’exprimer `a partir de la relation (II.6) :

fmm(θs, t) = N −1 X n=0 Nn(θs) √ 2Ief fcos (ωt − n 2π N)

Et, en consid´erant la propri´et´e de circularit´e (II.8) de la fonction de bobinage, il vient :

fmm(θs, t) = N −1 X n=0 N0(θs− nic 2π Ns )√2Ief f cos (ωt − n 2π N) (II.10)

Il s’agit maintenant de rechercher un profil de fonction de bobinage permettant d’obtenir la forme d’onde progressive d´ecrite par (II.9). D´ecrit notamment dans [45], le bobinage convena- blement r´eparti, c’est-`a-dire `a r´eparitition sinuso¨ıdale des bobines, est une solution. En effet,

la fonction de bobinage correspondante est de la forme : N0(θs) = Nmaxcos (pθs)

En injectant cette relation dans (II.10) et en utilisant le fait que l’indice de circularit´e ordonne correctement les phases, l’onde de force magn´etomotrice se r´e-´ecrit :

fmm(θs, t) = N −1 X n=0 Nmaxcos (pθs− n 2π N) √ 2Ief fcos (ωt − n 2π N) (II.11)

Cette relation (II.11) peut s’identifier `a la relation (II.9). Donc, dans le cas d’une alimentation en courant parfaitement sinuso¨ıdale, un bobinage convenablement r´eparti permet d’obtenir un champ tournant parfaitement sinuso¨ıdal. Pour cet exemple, le bobinage convenablement r´eparti doit ˆetre vu comme un objectif de conception car il s’obtient par une r´epartition particuli`ere des bobines. Cependant, en raison de la distribution discr`ete des bobines dans les encoches, il est pratiquement impossible de r´ealiser cette r´epartition sinuso¨ıdale th´eorique.