Hypoth` eses

Cette sous-partie pr´esente les hypoth`eses relatives aux machines polyphas´ees ´etudi´ees. Ces hypoth`eses classiques sont celles que n´ecessite la d´ecomposition multimachine.

I.1.1.1 Types de machines consid´er´ees

Les machines consid´er´ees dans ce m´emoires sont des machines radiales `a pˆoles lisses. Le rotor ne pr´esente donc aucun effet de saillance. Les N phases de la machines sont suppos´ees identiques et r´eguli`erement d´ecal´ees. Cette notion de r´egularit´e signifie que le d´ecalage entre deux phases cons´ecutives est 2πelec/N avec 2πelec= 2π/p (p, nombre de paires de pˆoles).

Selon [19, 20], le nombre de phases internes d’une machine polyphas´ee correspond sch´ematiquement au nombre de bobines de la machine. Par d´efinition, ces bobines sont r´eguli`erement espac´ees au-dessus d’une paire de pˆoles : elles d´efinissent donc des axes de phase r´eguli`erement d´ecal´ees. Par cons´equent, dans ce m´emoire, N d´esigne le nombre de phases internes de la machine. Selon la valeur de N , il est possible de connecter les phases internes entre elles de telle sorte `a r´eduire le nombre de phases accessibles pour alimenter la machine. N´ecessairement plus petit que le nombre de phases internes, ce nombre de phases accessibles est appel´e nombre de phases externes Next.

Par exemple, si le nombre de phases internes N est pair, alors chaque phase interne est en opposition diam´etrale d’une autre. Si les phases internes en opposition diam´etrale sont coupl´ees en anti-s´erie, alors le nombre de phases externes est ´egale `a la moiti´e du nombre de phases internes. Mais il faut bien noter que l’ensemble des phases externes obtenues ne forment pas n´ecessairement un syst`eme polyphas´e reguli`erement d´ecal´e. Le tableau I.1 illustre ceci en sch´ematisant quelques exemples de passage de nombre de phases internes N `a nombre de phases externes Next. En particulier, il apparaˆıt que le syst`eme double-triphas´e (6 phases

externes `a alimenter) d´erive en fait d’un syst`eme r´egulier `a 12 phases internes (N = 12). La mˆeme analyse peut ˆetre faite concernant le syst`eme double-pentaphas´e qui d´erive d’un syst`eme `a 20 phases internes (N = 20) [48]. Ce tableau montre la possibilit´e d’´etudier un syst`eme multi-´etoiles `a partir d’un syst`eme `a phases r´eguli`erement d´ecal´ees. Dans la suite, N d´esigne syst´ematiquement le nombre de phases internes qui peut ˆetre consid´er´ee comme le nombre effectif de phases de la machine.

I.1.1.2 Lin´earit´e

Pour la mise en ´equation de la machine, les relations entre les champs sont suppos´ees lin´eaires. En d’autres termes, les effets de peau, de saturation et de variation de r´eluctance du circuit magn´etique ne sont pas prises en compte. Concr`etement, la force ´electromotrice `a

N 6 6 10 10 12 12 20 20 Sch´ema interne

Next 6 3 10 5 12 6 20 10

Sch´ema externe

R´egularit´e oui oui oui oui oui non oui non

Remarque 2 x 3Φ 2 x 5Φ

Tableau I.1 — Exemples de passage de phases internes `a phases externes

vide et en charge sont identiques. Tout particuli`erement, la r´epartition harmonique de la force ´

electromotrice est invariante et est donc consid´er´ee comme une caract´eristique intrins`eque de la machine.

I.1.1.3 Environnement math´ematiques et notations

La mod´elisation vectorielle consiste `a regrouper N grandeurs de phase de mˆeme nature (courant, tension, ...) en un seul vecteur de dimension N , ce qui rend la mise en ´equation plus concise. Pour permettre cette mod´elisation vectorielle, la machine est associ´ee `a un espace vectoriel hermitien1 (c’est-`a-dire construit sur le corps de complexes C) de dimension N not´e EN. La base orthonorm´ee NN correspond `a la base naturelle, c’est-`a-dire la base telle que les composantes du vecteur correspondent aux grandeurs mesurables des phases statoriques (courant, tension, flux) [50,19]. Les vecteurs constituant cette base sont not´es comme suit :

NN ₌ −→ nN₀ , −→ nN₁ , ..., −−−→ nN_{N −1} 

Afin de faciliter la lecture des calculs matriciels, il convient de d´efinir une notation ma- tricielle pour les vecteurs. Un mˆeme vecteur disposant d’autant de notation matricielle que de bases d’´ecriture, la convention suivante est adopt´ee :

• si le vecteur est ´ecrit seul, il s’agit de la notation vectorielle ; par exemple, la notation vectorielle de la d´ecomposition d’un vecteur −→xN dans la base naturelle est

−→ xN = N −1 X n=0 xn −→ nN_n

• si le vecteur est ´ecrit entre parenth`eses avec en indice une base, il s’agit de la notation matricielle ; par exemple, la notation matricielle du vecteur −→xN dans la base naturelle

1

Un espace vectoriel euclidien (c’est-`a-dire construit sur le corps des r´eels R) serait suffisant puisque les grandeurs de phase sont r´eelles mais, pour des raisons pratiques, l’espace hermitien est choisi.

I.1. MISE EN ´EQUATION DE LA MACHINE POLYPHAS ´EE 13

Figure I.1 — Repr´esentation des deux rep`eres de calcul et de leur d´ecalage instantann´e

est ( −→ xN)_NN =         x0 .. . xn .. . xN −1         NN

L’espace hermitien EN est dot´e du produit scalaire canonique, not´e “.”. Le produit scalaire d´ependant de la base d’expression des vecteurs, il faut pr´eciser la base lorsqu’il est utilis´e :

( −→ xN)_NN.( −→ yN)_NN = N −1 X n=0 xn(yn)∗

Par ailleurs, la machine est munie de deux rep`eres de calcul, repr´esent´ees sur la figure I.1 :

• un rep`ere fixe li´e au stator dont l’origine est positionn´e sur un axe de phase de la phase 0 ; ce rep`ere est not´e Rs(Os, −→er, −→et),

• un rep`ere tournant li´e au rotor dont l’origine est positionn´e au centre d’un pˆole ; ce rep`ere est not´e Rr(Or, −→er, −→et).

Le d´ecalage instantann´e entre les deux rep`eres correspond `a la position instantann´ee du rotor. Cette position est not´ee :

θRr/Rs = Ωt + θ0 = θ (I.1)

Dans cette relation (I.1), Ω est la vitesse instantann´ee de la machine et θ0 est le d´ecalage

initial entre le rotor et le stator. Au synchronisme, la pulsation ´electrique est reli´ee `a la vitesse par la relation ω = pΩ.