II.4 Calcul des grandeurs globales
III.1.2 Lecture des composantes vectorielles comme ´ el´ ements de suites
Une mani`ere originale de caract´eriser les grandeurs de phase est ici propos´ee : elle consiste `
a assimiler les composantes des vecteurs de phase introduits dans la mod´elisation vectorielle du chapitre I comme les ´el´ements d’une suite N -p´eriodique. Ainsi, il est possible d’associer `a chaque vecteur de phase un vecteur TFD, ce qui permet de supprimer la matrice d’inductance dans l’´ecriture de la relation entre flux et courant.
III.1.2.1 Transform´ee de Fourier discr`ete sur les vecteurs de phase
Dans la mod´elisation vectorielle, les grandeurs de phase sont regroup´ees dans un vecteur.
(x0, . . . , xn, . . . , xN −1) 7−→ −→ xN = x0 .. . xn .. . xN −1
Les composantes des vecteurs de phases peuvent ˆetre consid´er´es comme les ´el´ements d´efinissant une suite N -p´eriodique. Sur le plan des notations, ceci signifie que les compo- santes des vecteurs de phase peuvent ˆetre rep´er´ees sans pr´ecautions particuli`ere sur les indices.
C’est-`a-dire :
∀n ∈ Z xn= xmod(n,N )
Dans ce contexte d’interpr´etation par suites N -p´eriodiques du vecteur de phase, il lui est associ´e un vecteur dont les composantes correspondent aux termes de la TFD de la suite d´efinie par le vecteur −→xN. Ce vecteur est not´e −−→XN et son calcul par TFD `a partir de−→xN est not´e2 : −−→ XN = FN −→ xN avec Xk= 1 √ N N −1 X n=0 xne−j 2π Nnk (III.5)
Les composantes du vecteur−−→XN ainsi obtenues sont les composantes de Fortescue3. Comme tous les vecteurs de phase sont `a composantes r´eelles, les composantes de leurs vecteurs TFD v´erifient la propri´et´e de sym´etrie hermitienne (III.2). C’est-`a-dire :
∀k ∈ [0 . . . N − 1] XN −k = (Xk)∗ (III.6)
D´esormais, tous les vecteurs de phase introduits au chapitre I (section I.1.2, page 14) ad- mettent une TFD et leurs composantes v´erifient la propri´et´e (III.6) :
• pour le vecteur tension,−→VN = F N
−→ vN
• pour le vecteur courant,−I→N = FN
−→ iN
• pour le vecteur force ´electromotrice,−→EN = FN
−→ eN
• pour le vecteur flux statorique du au stator,−→ΦNss= FN
−→ φNss
La propri´et´e de circularit´e de la matrice d’inductance statorique (qui justifie l’usage de la transform´ee de Fortescue pour la diagonalisation) permet de la repr´esenter `a l’aide d’un vecteur inductance statorique −−→mN constitu´e des N termes de la premi`ere colonne de la ma- trice inductance statorique Mss (comme dans l’exemple du paragraphe III.1.1.4). Du fait de
la sym´etrie de la matrice d’inductance, les composantes du vecteur inductance v´erifient la propri´et´e suivante :
∀n ∈ [0 . . . N − 1] mN −n= mn (III.7)
Exceptionnellement, le vecteur TFD du vecteur inductance est d´efinie avec un facteur cor- recteur √N par rapport `a la d´efinition de la TFD :
−−→ MN = √ N FN −−→ mN (III.8)
Ce facteur correcteur permet d’avoir l’identit´e entre les termes Mk du vecteur transform´e et
les inductances cycliques d´efinies dans la relation (I.10) (cf. page 17). La propri´et´e de sym´etrie (III.7) permet de montrer que les termes Mk du vecteur transform´e sont r´eels et de retrouver
2
Il s’agit d’un abus de notation : a priori la TFD agit sur des suites et non pas sur des vecteurs. Mais ce choix va am´eliorer la lisibilit´e des d´eveloppements ult´erieurs.
3Il est ´egalement possible de d´efinir des vecteurs TFDr. Dans les composantes de ces vecteurs TFDr sont
III.1. LA TRANSFORM ´EE DE FOURIER DISCR `ETE : OUTIL POUR LA
CARACT ´ERISATION DES MACHINES FICTIVES 99
l’expression (I.13) : ∀k ∈ [0 . . . N − 1] MN −k = Mk= N −1 X n=0 mncos 2π N nk (III.9)
Le r´esultat concernant le nombre de valeurs propres distinctes est bien retrouv´e : il existe au plus Nf = N +2−mod(N,2)2 inductances cycliques distinctes.
Selon ces consid´erations, pour l’exemple de la machine `a 7 phases du paragraphe III.1.1.4, le terme num´ero k de la suite transform´ee F7((mn)n∈Z) (relation (III.4)) correspond `a l’in-
ductance cyclique Mk :
[F7((mn)n∈Z)]k=
M√k
7
En tant que TFD de rang k, le terme Mk est associ´e une famille d’harmoniques discrets de
rang ZN ± k, ce qui signifie que cette interpr´etation par TFD des changements de base fait implicitement apparaˆıtre les familles d’harmoniques.
III.1.2.2 R´e-´ecriture du lien entre flux, inductance et courant
Dans la repr´esentation vectorielle, les vecteurs −→φNss et −i→N sont li´es par la matrice d’in- ductance Mss. Lorsque les composantes d’un vecteur sont interpr´et´ees comme les termes
d’une suite p´eriodique, la matrice d’inductance est remplac´ee par un vecteur inductance. Par cons´equent, dans le lien entre le vecteur−→φNss et−i→N, il faut chercher `a faire intervenir le vecteur inductance plutˆot que la matrice inductance. La relation sera plus concise et la TFD pourra ˆ
etre utilis´ee.
L’examen de la relation matricielle entre −→φNss et −i→N permet d’´ecrire :
∀n ∈ Z ϕss,n= N −1
X
r=0
mrin+r (III.10)
Dans la repr´esentation par suites p´eriodiques, une relation comme (III.10) est interpr´et´ee comme un produit de convolution. Par d´efinition, le produit de convolution de deux suites de SN(C) est not´e ∗. ∗ : (SN(C))2 → SN(C) ((un)n∈Z, (vn)n∈Z) 7→ ((un)n∈Z∗ (vn)n∈Z))n∈Z ((un)n∈Z∗ (vn)n∈Z))n= N −1 X p=0 upvn−p
Par commodit´e, un produit de convolution vectorielle est d´efinie : −→ zN =−→xN ∗−y→N avec zn= N −1 X r=0 xryn−r (III.11)
Ainsi, compte tenu de la propri´et´e sur la sym´etrie des inductances mutuelles (III.7) et de la relation (III.10), le vecteur flux statorique est ´egale `a la convolution du vecteur inductance
par le vecteur courant :
−→ φNss=
−−→
mN ∗−i→N (III.12)
Traduisant le couplage ´electromagn´etique existant entre les phases, cette relation (III.12) est valable d`es que la matrice d’inductance est circulante et sym´etrique. En d’autres termes, lorsque la relation (III.12) est ´ecrite, toutes les propri´et´es permettant la mise en ´evidence des machines fictives sont utilis´ees.
III.1.2.3 D´ecouplage de la relation entre flux et courant
Dans la repr´esentation vectorielle, c’est la matrice d’inductance qui traduit le couplage existant entre flux et courant. L’´ecriture des vecteurs dans la base propre de Fortescue ou Concordia permet de d´ecoupler cette relation. De fa¸con analogue, dans la repr´esentation par suites, la transform´ee d’une convolution apparaˆıt comme une op´eration de d´ecouplage :
FN((u ∗ v)n∈Z) =
√
N (Uk)k∈Z(Vk)k∈Z (III.13)
Ainsi, la transform´ee de Fourier discr`ete de la convolution de deux suites est le produit des transform´ees de chacune des deux suites. Pour pouvoir re-transcrire vectoriellement cette propri´et´e, un produit de vecteur est d´efini :
−→
zN =−→xN ×y−→N avec zn= xnyn
Ainsi, l’utilisation de la propri´et´e (III.13) sur la relation (III.12) donne le r´esultat suivant :
FN −→ φNss =√N FN −−→ mN × FN −→ iN
En utilisant la relation (III.8) qui d´efinit la TFD pour le vecteur inductance, il vient : −→
ΦNss=−−→MN×I−→N avec Φss,k= MkIk (III.14)
Cette relation (III.14) fait apparaˆıtre le d´ecouplage entre le flux statorique et le courant exprim´e dans la base de Fortescue : calculer les termes Φss,k et Ik des vecteurs
−→
ΦNss ou −I→N revient `a calculer les composantes k des vecteurs correspondants dans la base de Fortescue. Le fait de voir le flux statorique comme la convolution des vecteurs courant et inductance permet par TFD de d´ecoupler les relations sans aucune ´etude de diagonalisation.