Résolution des équations

Le milieu plasmagène créé par l’arc électrique au sein du disjoncteur, est considéré comme un fluide Newtonien, nécessitant la résolution des équations hydrodynamiques (de Navier Stokes) afin de décrire l’évolution du système. Due à la présence de phénomènes électriques dans l’arc, sa modélisation passe aussi par la résolution des équations de l’électromagnétisme.

La modélisation sous le logiciel Fluent, basé sur la méthode des volumes finis, utilise une forme généralisée des équations (2.1) [Pat_01]:

CHAPITRE 2-PRESENTATION DU MODELE

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Avec Γ_ϕ le coefficient de diffusion, S_ϕ le terme source et ϕ la grandeur que l’on souhaite résoudre. Dans le tableau 2.2 figurent tous les symboles mathématiques utilisés dans les équations présentées ci-dessous :

𝛒 Densité de masse 𝐯 Vitesse

𝐒_𝐦 Terme source de l’équation de conservation de la masse 𝛚_𝐢 Fraction massique de l’espèce i

𝐃 Coefficient de diffusion 𝛍_𝐞 Viscosité effective

𝐒_𝐯 Terme source de l’équation de conservation de la quantité de mouvement 𝐏 Pression statique

𝐣 Densité de courant 𝐁 Champ magnétique 𝐓 Température

𝛋_𝐞 Conductivité thermique effective 𝐂_𝐩 Chaleur spécifique

𝐡 Enthalpie

𝐒_𝐓 Terme source de l’équation de l’énergie 𝝈 Conductivité électrique 𝐕 Potentiel scalaire 𝐤_𝐛 Constante de Boltzmann 𝐞 Charge élémentaire 𝝁_𝟎 Perméabilité du vide 𝐀 Potentiel vecteur

Tableau 2.2: Symboles mathématiques utilisés pour le modèle de colonne d’arc

La description de la colonne d’arc nécessite la résolution des équations de conservation de la masse, des moments et de l’énergie. De plus, nous résolvons les équations de conservation électriques, pour tenir compte du potentiel électrique et du champ magnétique (à travers le potentiel vecteur).

69 Conservation de la masse :

𝛛𝛒

𝛛𝐭 ^{+ 𝛁.}⃗⃗⃗ (𝛒𝐯⃗ ) = 𝐒_𝐦 (2.2)

En l’absence de modèle d’ablation, le terme source de l’équation de conservation de la masse, Sm, est nul. Ce terme source apparaît uniquement lorsque les processus d’ablation au sein du disjoncteur sont pris en considération dans la simulation. Dans ce cas, une quantité de masse ablatée s’ajoute à la masse du plasma. Les équations de conservation des fractions massiques de chaque espèce sont explicitées ci-dessous, pour les nouvelles espèces C2F4 (2.3), issues de la décomposition du PTFE, et pour les espèces SF6 (2.4) :

∂ρ. ω_C2F4

∂t ^{+ ∇.}⃗⃗⃗ (ρ. ω_C2F4. v⃗ ) = ∇.⃗⃗⃗ (ρ. D. ∇⃗⃗ ω_C2F4) + S_m (2.3)

∂ρ. ω_SF6

∂t ^{+ ∇.}⃗⃗⃗ (ρ. ω_SF6. v⃗ ) = ∇.⃗⃗⃗ (ρ. D. ∇⃗⃗ ω_SF6) (2.4)

Ces équations sont liées par la relation ω_C2F4 = 1 − ω_SF6. A partir de cette égalité, et de l’équation de conservation de la fraction massique de SF6, le terme source de l’équation de conservation de la masse (2.2) apparaît lorsque l’on considère un mélange de gaz. De ce fait, l’équation de conservation de la fraction massique du C₂F₄ (2.3) n’est pas résolue.

Conservation de la quantité de mouvement : 𝛛𝛒𝐯

𝛛𝐭 ^{+ 𝛁.}⃗⃗⃗ (𝛒𝐯.⃗⃗ 𝐯) = 𝛁.⃗⃗⃗ (𝛍_𝐞𝛁^⃗⃗ 𝐯) + 𝐒_𝐯 (2.5)

avec 𝐒_𝐯= −∇⃗⃗ (P)+∇.⃗⃗⃗ 𝜏̿+ j ∧ B (2.6)

Le terme source (2.6) de l’équation de la quantité de mouvement (2.5) prend en compte : − La force de pression: ∇⃗⃗ (P)

− Le tenseur des contraintes visqueuses: ∇.⃗⃗⃗ 𝜏̿

CHAPITRE 2-PRESENTATION DU MODELE 70 Conservation de l’énergie : 𝛛𝛒𝐇 𝛛𝐭 ^{+ 𝛁.}⃗⃗⃗ (𝛒𝐯⃗ 𝐇) = 𝛁⃗⃗ . (_𝐂^𝛋 𝐩𝛁⃗⃗ 𝐇) + 𝐒𝐇 (2.7)

avec 𝐒_𝐇 = S_joule− S_ray+ S_enth+ S_dif+ S_cor (2.8)

Le terme source (2.8) de l’équation d’énergie (2.7) prend en compte : − L’effet joule : S_joule=^j

2 σ

− les pertes par rayonnement ∶ S_rad = U (U déduit du modèle hybride) − le flux enthalpique des électrons : S_enth =⁵

2 k_b

e ^j.∇⃗⃗ (^T C_p)

Dans le cas où l’on considère les phénomènes d’ablation, autrement dit que le plasma est composé d’un mélange de gaz, la diffusion d’une espèce en fonction de l’autre mène à un nouveau transfert d’énergie. Un premier terme source S_dif, s’apparente donc à la diffusion d’enthalpie que l’on peut observer dans un mélange de gaz. Un second terme S_cor, correspond à une correction faite sur ce transfert d’énergie. Dans le cas d’un mélange de gaz, les termes S_𝑑𝑖𝑓 et S_𝑐𝑜𝑟 sont donc pris en compte dans le terme source de l’équation de l’énergie et sont explicités à travers des UDFs. Leurs expressions figurent ci-dessous : − Diffusion d’enthalpie:

S_dif= ∇.⃗⃗⃗ [(ρD)(h_SF6− h_C2F4)∇⃗⃗ ω_SF6] − Correction numérique:

S_cor= ∇⃗⃗ . [(−_C^κ

P) (h_SF6 − h_C2F4)∇⃗⃗ ω_SF6] Conservation du potentiel scalaire :

Les dimensions du maillage étant bien supérieures à la longueur de Debye, on peut considérer le plasma comme électriquement neutre dans chaque élément de volume et le potentiel électrique suit alors la loi de LAPLACE (2.9) :

71 𝛁

⃗⃗ (𝛔𝛁⃗⃗ 𝐕) = 𝟎 (2.9)

La résolution du potentiel scalaire permet de calculer le champ électrique et la densité de courant en s’appuyant respectivement sur les équations (2.10) et (2.11) :

E⃗⃗ = −∇⃗⃗ V (2.10)

j = σE⃗⃗ (2.11)

Conservation du potentiel vecteur :

Le potentiel vecteur magnétostatique A s’exprime en fonction des composantes de la densité de courant j, de la perméabilité du vide 𝜇₀ et de r, la position radiale :

𝛁 ⃗⃗ . (𝛁⃗⃗ 𝐀_𝐳) = 𝛍_𝟎𝐣_𝐳 𝛁 ⃗⃗ . (𝛁⃗⃗ 𝐀_𝐫) = 𝛍_𝟎𝐣_𝐫−^𝐀𝐫 𝐫𝟐 (2.12)

Où 𝐴 est le potentiel vecteur qui permet, à partir de l’équation de Maxwell suivante (2.13), de calculer le champ magnétique B, créant les forces de Lorentz :

B

⃗⃗ = rot⃗⃗⃗⃗⃗ A⃗⃗ _(2.13)

Tous les phénomènes physiques énumérés dans la partie 2.1.1, autrement dit, l’érosion des parois, l’effet joule, le rayonnement du plasma, les effets de la turbulence et du champ magnétique apparaissent dans ces équations, soit au travers des termes sources soit en modifiant les propriétés thermodynamiques et de transport du plasma. En effet, l’ablation des murs en téflon apparait au travers du terme source de l’équation de conservation de la masse et d’une modification apportée au terme source de l’équation de l’énergie. Le calcul du champ magnétique (forces de Lorentz), est pris en compte dans le terme source de l’équation de la quantité de mouvement. L’effet joule et les pertes radiatives sont pris en considération dans le terme source de l’équation de l’énergie. Quant aux effets liés à la turbulence, ceux-ci n’apparaissent pas directement dans les

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équations, mais sont responsables de la modification des propriétés du plasma, telles que la viscosité, la conductivité thermique, le coefficient de diffusion (cf. figure 2.6).

Après avoir explicité les équations résolues dans notre modèle pour caractériser le cœur du plasma, nous présentons dans la suite de cette section, les conditions limites fixées.