Calcul auto cohérent de la taille de la couche d’ionisation

3.2.1 Mise en place de la méthode

Dans le cadre de ces travaux, le calcul du potentiel électrique dans la pré-gaine est déduit de la loi d’ohm (3.34). De ce fait, la chute de tension dans la zone d’ionisation (3.35) s’exprime en fonction de la composante axiale de la densité de courant et du calcul de la conductivité électrique dans cette couche :

j_z= σ_2TE (3.34)

U_mod =^jzdm σ_2T

(3.35)

Dans cette expression, apparait la taille de la couche d’ionisation : dm. Les grandeurs jz et σ_2T sont connues. Pour déterminer la chute de potentiel dans cette couche à partir de l’équation (3.35), l’épaisseur de la pré-gaine doit être comme : dm était jusqu’alors fixée à 200µm. Cependant, ce paramètre est en réalité évolutif, en fonction du temps. Les travaux de F. Cayla [Cay_01] ont mis en évidence l’influence majeure de l’épaisseur de la pré-gaine sur la valeur de la densité de courant, la conductivité électrique

115 et la chute de tension dans la pré-gaine. Pour poursuivre les travaux entrepris, nous avons donc souhaité lever cette condition d’entrée, et prendre en compte son auto détermination.

Pour s’affranchir de cette hypothèse et calculer la taille de la pré-gaine, une nouvelle formule doit être implémentée pour déterminer le potentiel électrique dans cette zone. Pour cela, nous nous sommes appuyés sur l’équation de Boltzmann unidimensionnelle et non collisionnelle. L’approximation de la chute de tension au sein de la zone d’ionisation s’exprime sous la forme :

U_i =^kBTe e ^ln

n_e∞

n_es (3.36)

La nouvelle expression du potentiel électrique dans la zone d’ionisation (3.36) est dépendante de la température des électrons Te à la frontière gaine/pré-gaine et de leurs densités aux interfaces gaine/pré-gaine et pré-gaine/plasma, respectivement n_es et n_e∞. Grâce à cette expression, nous allons pouvoir calculer l’épaisseur de la couche d’ionisation :

d_calculé =^σ2TUi

j_z (3.37)

Les résultats de simulation obtenus sont présentés ci-dessous. 3.2.2 Résultats et comparaison

Nous nous sommes appuyés sur une modélisation 2D axisymétrique pour réaliser cette étude, dont la géométrie simplifiée du disjoncteur est illustrée figure 3.9. Un modèle de cathode est considéré, et permet de tenir compte de l’interaction électrode/plasma.

CHAPITRE 3-OPTIMISATION DU MODELE

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Sur la figure 3.9, la surface de l’électrode est repérée par la courbe rouge entre les points A et B. Afin d’observer l’évolution temporelle de l’épaisseur de la pré-gaine, trois instants distincts t1 t2 et t3 ont été considérés. Ceux-ci sont repérés sur la figure 3.10, qui illustre la variation du courant électrique, considérée dans cette étude, en fonction du temps.

Figure 3.10: Représentation de la variation temporelle du courant de 5 kA avec les instants t1

t2 et t3 repérés respectivement en noir, bleu et rose

Avant d’analyser l’évolution de la taille de la zone d’ionisation, nous avons souhaité comparer les valeurs de la chute de tension dans la pré-gaine Ui (3.36) avec celle précédemment calculée dans notre modèle, Umod (3.35).

Comparaison entre Ui et Umod

Les chutes de tension Ui et Umod le long de l’électrode, aux trois instants t1, t2 et t3 sont tracées figures 3.11, 3.12 et 3.13.

117 Figure 3.12: Evolution de la tension dans la pré-gaine, le long de l’électrode à t2 = 2.5 ms

Figure 3.13: Evolution de la tension dans la pré-gaine, le long de l’électrode à t3 = 5 ms Tout d’abord, les figures 3.11 3.12 et 3.13 témoignent d’une tension de pré-gaine très faible sur l’axe de l’électrode, autrement dit à l’endroit où réside le plasma, et ce, quel que soit l’instant d’observation. En effet, la chute de potentiel est en réalité très importante dans la région de la gaine due à la présence majoritaire d’électrons, et diminue fortement dans la pré-gaine. Cette dernière est-elle caractérisée par l’ionisation du milieu. Un pic de tension est ensuite remarqué, et s’apparente aux bords du plasma. La largeur de celui-ci augmente durant la phase de fort courant (L=1.5mm à l’instant t1, L=3mm à l’instant t2 et L=4mm à l’instant t3).

A t1 = 0.1 ms, on constate sur la figure 3.11, que le potentiel électrique obtenu à partir de la nouvelle formule (3.36) est identique à celui calculé auparavant dans notre modèle avec l’expression (3.35), les courbes étant superposées. De même, aux instants t2

CHAPITRE 3-OPTIMISATION DU MODELE

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et t3, les résultats présentent de bons accords. Seuls quelques points, autour de L = 3 mm, se différencient. La composition, faite avec une taille de pré-gaine de 200 µm pour le calcul de Umod, pourrait donc être éventuellement la cause de ces disparités.

L’expression d’Ui basée sur l’équation de Boltzmann (3.36), permet donc d’exprimer convenablement le potentiel électrique, sans avoir à utiliser l’expression (3.35) et par conséquent sans fixer une taille de pré-gaine.

Comparaison entre dcalculé et dm

Après avoir validé l’utilisation de la nouvelle expression du potentiel électrique dans la pré-gaine, nous souhaitons observer l’évolution de la taille de cette couche le long de l’électrode. Ces résultats sont reportés figure 3.14 aux différents instants t1, t2 et t3.

Figure 3.14: Evolution de l’épaisseur de la pré-gaine le long de l’électrode, à différents instants

Tout d’abord, il est clairement observé, sur la figure 3.14, que la taille de la pré-gaine est totalement différente des 200µm arbitrairement fixés auparavant. En effet, la taille de la pré-gaine est visiblement très dépendante du temps et n’a pas le même profil aux différents instants t1, t2 et t3. De plus, on constate que suivant la position le long de l’électrode, l’épaisseur de la pré-gaine varie de plusieurs centaines de µm et présente des pics. L’épaisseur de la zone d’ionisation sera donc déduite en fonction du temps et de l’interaction arc/électrode. Pour finir, l’épaisseur de la pré-gaine obtenue à partir du calcul d’Ui (cf figure 3.14) est très éloignée des 200 µm précédemment fixée. Pour autant les

0 2 4 6 8 0 500 1000 1500 2000 2500 d ^calculé (µm ) L (mm) t₁=0.1ms t₂=2.5ms t₃=5ms

119 tensions Ui et Umod sont semblables (cf. figures 3.11, 3.12 et 3.13). L’épaisseur de la pré-gaine joue donc faiblement sur la détermination de la chute de tension.