Généralités et état de l’art
1.5 Modèles d’interaction arc/électrode dans la littérature
1.5.3 Modèle de Benilov en 2008
mi+ 1 ma) (5.21)
Avec β= Te⁄ . C1 est un coefficient sans dimension qui varie entre 0.67 et 1, Th Qia est la section efficace moyenne des collisions élastiques entre un ion et un atome, et ki correspond au coefficient d’ionisation. Le terme Cia représente la vitesse relative moyenne des ions et des atomes.
Hormis ces trois modifications, le modèle de 2002-2003 reste identique à celui de 1995. En revanche, Benilov élabore en 2008 un nouveau modèle [Ben_05], basé sur un seul ensemble d’équations pour décrire la totalité de l’interaction, s’appuyant sur une procédure différente de celle énoncée précédemment.
1.5.3 Modèle de Benilov en 2008
La diversité des mécanismes observables au voisinage de la cathode, ainsi que les très petites dimensions caractéristiques des couches proches cathode complexifient la modélisation de l’interaction plasma/cathode. Néanmoins, la description de cette couche proche cathode reste l’élément primordial pour décrire cette interaction. Benilov revoit donc sa résolution numérique.
La division de la couche cathodique en sous couches reste inchangée et chacune d’elles conservent ses propriétés (différents équilibres). En revanche, elles ne feront plus l’objet d’une description individuelle basée sur des équations propres à chaque couche. La zone cathodique et le corps du plasma ne font donc plus l’objet d’un traitement séparé. Dans le but de modéliser l’espace inter électrodes dans son ensemble, Benilov décide d’utiliser un seul ensemble d’équations, sans hypothèse simplificatrice et en fixant uniquement des conditions limites aux deux extrémités de la zone étudiée.
47 1.5.3.1 Paramètres d’entrée
La valeur des paramètres d’entrée change suivant le gaz étudié, mais ces paramètres sont toujours les suivants : la densité de courant j, la température de surface de la cathode Tw et la pression du plasma à x=L (cf. figure 1.13).
1.5.3.2 Hypothèses
Benilov ne considère pas qu’il y ait équilibre d’ionisation, thermique et quasi neutralité sur l’ensemble de la couche étudiée, par conséquent il n’utilise pas ces hypothèses simplificatrices, jugées injustifiées. En revanche, il néglige toujours les effets convectifs dans la région proche électrode et maintient l’hypothèse de 2002 concernant l’unique prise en compte des ions simplement chargés, négligeant ainsi la présence d’ions à charges multiples.
1.5.3.3 Conditions limites
Les conditions limites de ce système apparaissent au niveau des deux frontières de la couche étudiée. Par conséquent, à x=0, la frontière correspond à la surface de la cathode, et à x=L, celle-ci est marquée par l’interface entre la couche cathodique et le plasma à l’ETL (cf. figure 1.13).
Figure 1.13: Schéma représentatif des deux frontières du domaine de calcul
a) A l’interface cathode/gaine
A l’interface cathode/gaine, autrement dit à la surface de la cathode, Benilov estime que la densité d’ions est bien plus petite que celle au sein du plasma à l’ETL, où l’ionisation y est bien plus importante. Concernant la densité électronique, il la détermine
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à l’aide de la densité de courant due aux électrons thermo émis à la surface de la cathode. Par conséquent, il exprime les densités de particules chargées par:
ni cath/G = 0 (5.22) jem e − neCe 4 = Je avec Ce = √ 8k𝐵Te πme (5.23)
A cette interface, la température des particules lourdes est supposée correspondre à la température de surface de la cathode (1.24), et la température électronique est déterminée à partir d’un bilan de flux d’énergie des électrons à la surface de la cathode (1.25). Le premier terme de la partie gauche correspond au flux d’énergie transporté par les électrons émis par la cathode, le second terme s’apparente au flux d’énergie transporté par les électrons arrivant du plasma vers la surface et le terme à droite de l’équation (1.25) est le flux net d’énergie électronique.
Th= Tw (5.24) jem e 2k𝐵Tw− neCe 4 2k𝐵Te = Je 5 2k𝐵Te+ he (5.25)
Le paramètre he correspond à la densité de flux d’énergie transportée par les électrons.
b) A l’interface pré-gaine/plasma
Concernant la deuxième limite du domaine, à x=L, en plus de l’hypothèse d’équilibre thermodynamique local, il considère que tous les gradients sont négligés. Cela implique une balance entre ionisation et recombinaison, une balance entre le chauffage par effet joule et les pertes par rayonnement, et une dernière entre les densités de particules :
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kina− krnine = 0 (5.26)
jE = ωrad (5.27)
ni PG/plasma= ne PG/plasma (5.28)
ki, kr sont respectivement les coefficients d’ionisation et de recombinaison, et 𝜔𝑟𝑎𝑑 représente les pertes par rayonnement. Il considère ensuite que la pression est égale à P0 à x=L. A cela il ajoute une expression de la densité de courant jLen fonction de celle à la surface de la cathode jc:
jL = − jcrc 2
(rc+ L)2 (5.29)
rc correspond au rayon de la cathode et L est la distance comprise entre la cathode et le plasma (cf. figure 1.13).
1.5.3.4 Système d’équations
Cet unique ensemble d’équations inclut les équations de conservation de chaque espèce (atomes, ions et électrons), les équations de transport pour chaque espèce, une équation d’énergie pour les particules lourdes et une pour les électrons, ainsi que l’équation de Poisson. Il résout donc dans un premier temps les équations de conservation des espèces :
∇Jα= ωα avec α = e, i et a ωi = ωe = −ωa= kinane− krnine2
(5.30)
Le paramètre ωαcorrespond au taux net de production de particules de l’espèce α, qui peut être un électron, un ion ou un atome.
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A partir de ces différentes expressions, il détermine l’équation de continuité du courant :
∇. (Ji− Je) = Ji− Je = j
e (5.31)
Les équations de transport pour chaque espèce sont décrites à l’aide des équations hydrodynamiques de Stefan-Maxwell. En effet, la description antérieure du transport des espèces était faite au moyen de la loi de Fick pour les ions et les électrons, et était justifiable uniquement pour des degrés d’ionisation assez faibles. Afin de s’affranchir de cette restriction, Benilov décrit le transport des espèces en utilisant les équations de Stefan-Maxwell, applicables quel que soit le degré d’ionisation :
−∇pα+ nαeZαE +ρα ρ [∇p − e(ni− ne)E] − ∑nαnβkTαβCαβ nDαβ (vα− vβ) − RαT = 0 β (5.32)
Dans la partie gauche de cette équation, le premier terme correspond au gradient de pression des espèces α et le second est la force exercée par le champ électrique sur ces espèces. Le troisième terme, est un terme qui disparait de l’équation car Benilov fait l’hypothèse que la convection est négligée, par conséquent, la force exercée par le champ E, compense le gradient de pression ∇p. La force résultante des frottements entre les espèces α et les autres apparait dans le quatrième terme. Pour finir le dernier terme représente les forces de diffusion thermique.
Il faut maintenant résoudre l’équation d’énergie des particules lourdes et celle des électrons : ∇. (5 2kTeJe+ he) = −eJe. E − 3nek2Te min (Te− Th) (na Dea+ ni Dei) − ωe (e) (5.33)
51 ∇. (5 2kThJa+ 5 2kThJi+ hhp) = eJi. E − 3nek2Te min (Te− Th) (Dna ea+ ni Dei) (5.34)
he et hhp sont les densités de flux de chaleur transportées par les électrons et les particules lourdes respectivement.
Pour finir, il résout l’équation de poisson et l’équation de conservation de l’énergie de l’ensemble du plasma, afin d’extraire les paramètres de sortie : la densité de courant j, la température de surface de la cathode Tw, la chute de tension cathodique Us et la température électronique Te.
∇. [5 2kThJa+ ( 5 2kTh+ Ai− Af) Ji + ( 5 2kTe+ Af) Je+ he+ hhp] = E. j − ωrad (5.35)
La résolution numérique de ces équations est unidimensionnelle. Cette approche, basée sur l’unicité d’une résolution dans son ensemble, permet de modéliser la zone cathodique et la zone anodique au moyen d’une même résolution, donc du même code en changeant simplement le signe de la densité de courant et des flux de particules. Elle présente donc un avantage conséquent pour la suite de la modélisation.
De la même façon que pour le modèle de Benilov datant de 1995, ci-dessous est présenté un schéma récapitulatif du processus de résolution de Benilov en 2008 afin de visualiser la procédure :
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Figure 1.14: Résolution du modèle de Benilov datant de 2008
Celle-ci s’avère donc bien différente des méthodes que Benilov utilisait auparavant. Ces deux principales procédures (1995 et 2008) feront l’objet d’une comparaison avec notre modèle.
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1.6 Conclusion
Ce chapitre introduit le contexte de l’étude ainsi que les problématiques associées qui permettent de définir les différents axes de recherche dans cette thèse.
Une première partie a été consacrée à la phénoménologie des plasmas et à la création d’un arc électrique. Cette entrée en la matière permet de faire le lien avec notre étude qui consiste à caractériser l’interaction du plasma avec les matériaux constituant les disjoncteurs haute tension.
Une large gamme de disjoncteurs a ensuite été présentée, en évoquant leur fonctionnement, à basses et hautes tensions. Une attention particulière a été portée au disjoncteur haute tension SF6 à auto soufflage. En effet, notre étude, en collaboration avec Siemens, est directement en lien avec ce type d’appareillage.
Pour finir, un état de l’art, relatif à la modélisation des disjoncteurs et aux modèles d’interaction plasma/matériaux, a été réalisé. Les modèles de Benilov [Ben_01][Ben_04][Ben_05] ont été décrit de façon détaillée. Cette étude bibliographique associée aux travaux déjà entrepris au sein de l’équipe AEPPT [Ran_01][Cay_01] constitue le point de départ de nos recherches.
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