Modèle de Benilov en 1995

La zone cathodique et le corps du plasma sont traités séparément. Ce modèle [Ben_01] considère les phénomènes dans la couche proche électrode à partir d’une description multi fluides, cela signifie que l’on considère chaque type d’espèces séparément au travers d’un fluide.

Une première étape consiste à résoudre le transfert du courant à travers la zone cathodique par une approche à une dimension. Afin de déterminer le transfert de courant jusque dans la cathode et décrire l’interaction cathode/arc dans son intégralité, un modèle de chauffage de surface non linéaire est couplé au modèle multi fluides. Ce modèle de chauffage de surface non linéaire permet de résoudre, dans un premier temps, la couche cathodique. Une distribution de la température à l’intérieur du corps de la cathode est ensuite calculée à partir de la résolution de l’équation de conduction de la chaleur (1.1) dans le matériau.

∇. (κ∇T) = 0 (5.1)

Avec 𝜅 la conductivité thermique du matériau considéré. 1.5.1.1 Paramètres d’entrée

Les paramètres d’entrée du modèle [Ben_01] sont la température de surface de la cathode TW ainsi que la chute de tension cathodique U, qui est la somme de la tension dans la gaine UD et celle dans la pré-gaine UI. En revanche il est possible de s’affranchir de ce dernier paramètre et de considérer la température électronique comme second paramètre d’entrée.

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1.5.1.2 Hypothèses simplificatrices

La conductivité électrique des métaux, et particulièrement celle du cuivre, est très élevée. Ceci a permis d’établir une première hypothèse qui consiste à négliger la production de chaleur par effet joule dans le corps de la cathode, menant à une simplification de la modélisation de l’électrode.

De plus, le diamètre du spot à la surface de la cathode est supposé suffisamment grand devant l’épaisseur de la zone cathodique. Cette hypothèse permet de faire une description à une dimension pour décrire le transfert de courant à travers cette couche.

En revanche, Benilov s’affranchit dans la plupart de ses modèles des hypothèses d’équilibre thermique, d’équilibre d’ionisation et de neutralité électrique pour décrire les couches proches électrode, comme cela est représenté sur la figure 1.9. En effet, il considère les phénomènes de cette région comme étant trop éloignés de ceux observables dans la colonne du plasma pour supposer qu’il y ait équilibre thermodynamique local.

Figure 1.9: Représentation des sous-couches et hypothèses associées (h : rayon de Debye, d : longueur d’ionisation, 𝜆u : longueur de relaxation en énergie des électrons) Un calcul de composition à deux températures, basé sur les équations de Saha, permet de déterminer les densités de particules à l’interface pré-gaine/plasma. En revanche, à l’interface gaine/pré-gaine, Benilov considère qu’il n’y a plus équilibre d’ionisation. Il exprime donc la densité d’ions à cette frontière n_is, à partir de celle calculée à l’interface pré-gaine/plasma n_i∞ en s’appuyant sur un formalisme basé sur la cinétique :

39 n_is = n_i∞ ^0.8

2 + α (5.2)

Un coefficient de recombinaison noté 𝛼 apparait donc dans l’équation (1.3) et son expression est la suivante :

α= ( ^k𝐵Th m_iD_i0∞k_rn_i∞2)

1/2

(5.3)

Avec D_i0∞ le coefficient de diffusion ion/neutre dans le plasma et k_r le coefficient de recombinaison. Cette expression prend en considération toutes les réactions cinétiques se produisant dans la zone de charge d’espace.

La densité électronique à l’interface gaine/pré-gaine est quant à elle déduite à partir de la neutralité électrique ne=ni, car cette égalité est maintenue dans la couche d’ionisation (pré-gaine).

1.5.1.3 Conditions limites

Le modèle de chauffage de surface non linéaire nécessite des conditions limites à la cathode. Pour qu’un transfert de chaleur ait lieu, une différence de température doit apparaître d’un bout à l’autre de l’électrode. Par conséquent, une première condition en température (1.4) est posée à la base de la cathode (figure 1.10 (3)).

T_base = T₀ (5.4)

Comme évoqué précédemment, tous les paramètres dont ceux à la surface de la cathode, vont être exprimés en fonction de la température de surface de la cathode Tw et de la chute de tension dans la zone cathodique U. Par conséquent, la densité de courant j et le flux de chaleur q provenant du plasma à la surface de la cathode, sont fonctions de ces paramètres d’entrée. Tout le reste de la surface de la cathode, c’est-à-dire la zone en contact avec le plasma (figure 1.10 (1)) et celle avec le gaz froid (figure 1.10 (2)), sont régies par une seconde condition limite:

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κ∂T

∂n^{= q(Tw, U)} (5.5)

n est le vecteur directeur à la surface de la cathode, dirigé vers l’extérieur.

Figure 1.10: Représentation schématique des trois zones du modèle : (1) surface de la cathode en contact avec l’arc

(2) surface de la cathode en contact avec le gaz froid, (3) base de la cathode 1.5.1.4 Système d’équations

Benilov considère les phénomènes aux différentes frontières, et s’appuie sur l’expression des différents flux de particules pour établir son système d’équations :

 Flux d’électrons thermo émis déterminé grâce à la formulation de Richardson-Schottky: Φ_em= ^A e^{Tw2exp (−} W − ∆W k_𝐵T_w ^{) avec ∆W = √} e3E 4πε₀ (5.6)

 Flux d’électrons rétrodiffusés déterminé à partir du facteur de Boltzmann : Φ_bd = n_ev_e = ^A

e^{exp (−} eU_𝐷

k_𝐵T_e⁾ (5.7)

 Flux d’ions défini à partir de la densité d’ions à l’interface gaine/pré-gaine et du critère de Böhm :

41 Φ_i = n_isv_is = n_is√^{k𝐵(Tis+ ZTe)}

m_i

(5.8)

Avec A le coefficient de Richardson, e la charge élémentaire, W le travail de sortie des électrons et ∆W la réduction de Schottky. La permittivité du vide 𝜀₀, et le coefficient de Boltzmann k_𝐵 sont des constantes. E et Z correspondent respectivement au champ électrique à la surface de la cathode et à la charge moyenne d’un ion. Cette dernière est calculée à partir du rapport de la moyenne des charges de chaque ion sur leur densité respective.

Le champ électrique E, ainsi que la densité de particules lourdes à l’interface gaine/pré-gaine nis doivent être déterminés en amont.

L’équation (1.6) caractérise le flux d’électrons thermo émis à la cathode. Ce flux est représentatif des électrons capables de surmonter la barrière de potentiel du matériau. Ce flux de particules est étroitement lié au champ électrique dans la gaine E. Pour déterminer ce paramètre, l’équation de poisson dans la gaine est résolue :

ε₀d2φ

dz2 = e(n_e− Zn_i) (5.9)

Afin de déterminer les densités électronique et ionique dans la gaine, respectivement ne et ni dans l’équation (1.9), il résout l’équation de Boltzmann sans collision, et décrit le mouvement des ions à partir d’une fonction porte (1.10), la gaine étant hors d’équilibre.

v_z^∂f ∂z⁻ Ze m_i dφ dz ∂f ∂v_z^{= 0} f(z, v) = { n_is 2u_i ^{pour − v+ < 𝑣 < −v−} 0 dans le cas contraire

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f est la fonction de distribution des ions et φ correspond au potentiel électrostatique. Celui-ci tend vers 0 à la surface de la cathode, vers UD à l’interface gaine/pré-gaine et vers U, à l’interface pré-gaine/plasma. v_z s’apparente à une vitesse limite fréquemment déterminée grâce au critère de Böhm. Quant à la vitesse d’agitation thermique u_i, celle-ci s’exprime de la manière suivante (1.11) :

u_i = √^kBTi

m_i (5.11)

Où m_i est la masse de l’ion. Les vitesses v₊et v₋ correspondent respectivement aux vitesses maximale et minimale caractéristiques du mouvement des ions dans la gaine pour un point donné et sont déterminées à partir de l’équation de conservation de l’énergie mécanique [Cay_01] :

v_∓(z) = √(v_s∓ u_i)2−^2Zeφ

m_i (5.12)

Avec v_s la vitesse moyenne selon l’axe z.

La résolution de la fonction porte, nécessite de déterminer la densité d’espèces n_is à l’interface gaine/pré-gaine, aussi présente dans l’expression du flux d’ions à la cathode. D’après l’équation (1.2), la densité n_is est fonction de la densité de particules 𝑛_𝑖∞ à l’interface pré-gaine/plasma, déterminée précédemment à partir d’un calcul de composition à deux températures. Il en déduit alors les densités d’espèces dans la région de la gaine sans collision et peut alors exprimer le champ électrique dans la gaine (1.13). Ce paramètre est utilisé dans le calcul de la correction de Schottky présent dans l’expression du flux d’électrons thermo émis à la cathode:

E =^dφ dz ^{= {} 2n_is ε₀ [m_i(^v+ 3− v₋3 6u_i ^{− vs2) − Zk𝐵Te(1 − exp} eφ k_𝐵T_e^)]} 1 2 ⁄ (5.13)

Une démonstration détaillée de cette expression du champ électrique est jointe en annexe (annexe 1).

43 L’obtention des densités de particules aux interfaces et du champ électrique dans la gaine permettent de définir les flux de particules (1.6) (1.7) (1.8) et de calculer la densité de courant j (1.14) et le flux d’énergie q à l’interface cathode/gaine (1.15) :

j = e(ZΦ_i+ Φ_em− Φ_bd) (5.14)

q = Φ_i[k (2T_is+^ZTe

2 ^{− 2Tw) + ZeUD+ Ei− Z(W − ∆W)]} +Φ_bd[2k_𝐵T_e+ (W − ∆W)]−Φ_em[2k_𝐵T_w+ (W − ∆W)]

(5.15)

Ei est l’énergie d’ionisation moyenne dans la couche cathodique.

Afin de visualiser clairement l’ensemble du système d’équations utilisées, voici un schéma récapitulatif du processus de résolution de Benilov en 1995 :

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