Réseaux circulaires

Les trois réseaux circulaires présentés dans la Figure 29 (a) ont été utilisés pour définir la courbe de dispersion à partir du bruit synthétique simulé sur ces réseaux. La Figure 31 représente les histogrammes de semblance (en rouge le nombre de fenêtres temporelles, qui ont leur maximum à cette vitesse, est nul) et les limites d'aliasing et de résolution du réseau utilisé. En pratique, on ne connaît pas le modèle de vitesse donc on ne connaît pas non plus les courbes de dispersion théoriques, c’est pourquoi on ne les représente pas ici. Le lecteur, qui ne connaît pas le logiciel, peut ainsi imaginer la difficulté de chaque étape. En effet à partir de ces histogrammes on va définir la courbe de dispersion. Il y a deux possibilités pour déterminer la vitesse selon la fréquence, soit un choix manuel, en piquant sur la figure, soit une sélection automatique qui définit pour chaque fréquence la moyenne et l’écart type à partir des valeurs de vitesse obtenues sur les différentes fenêtres temporelles. La deuxième solution offre l'avantage de donner un écart type, mais présente l'inconvénient d'être influencée par des artéfacts dus soit aux limites d'aliasing et de résolution, soit aux modes supérieurs. Ces artéfacts sont en partie distinguables visuellement c'est pourquoi le choix manuel des vitesses est parfois préférable.

Un nouvel outil de SESARRAY, dans le module na_viewer, permet de « nettoyer » ces artéfacts visibles à l’œil et ainsi de conserver l’estimation des écarts-types. A une fréquence donnée, cet outil permet la visualisation d’une coupe dans l’histogramme. On peut alors couper des bandes de fréquence si on estime qu’elles contiennent par exemple des pics d’aliasing ou des vitesses qui dépassent les valeurs extrêmes attendues. Cet outil donne un aspect tronqué aux histogrammes car ils ont été « nettoyés », et introduit une étape qui peut dépendre de l’utilisateur. On veillera donc à utiliser cet outil avec parcimonie.

Les histogrammes bruts et « épurés » pour les trois réseaux circulaires sont présentés respectivement sur les Figure 31 et Figure 32. Le pointage automatique est alors utilisé à partir des histogrammes de la Figure 32, et matérialisé sur les figures par les points noirs (moyenne statistique) et des barres verticales (écart-type). Les courbes de dispersion pour chaque réseau sont sélectionnées dans une bande de fréquence restreinte par les limites d’aliasing et de résolution avec un jugement subjectif pour choisir où arrêter la courbe entre kmin et kmin/2 et entre kalias et kalias /2.

La Figure 32 montre en plus, en bleu foncé, les courbes de dispersion du modèle canonique M2.1 (mode fondamental et les deux modes supérieurs) obtenues par calcul direct. Bien sûr ces courbes n’ont pas été visualisées avant la détermination de la courbe de dispersion pour que le jugement sur la capacité de la méthode à déterminer la courbe de dispersion soit le plus juste possible. Les courbes théoriques sont là pour vérifier l’exactitude des courbes estimées.

Après l’observation des résultats obtenus, notons que:

- L’effet de l’aliasing est en effet visible et suit la courbe correspondante à k=kalias (Figure 31)

- Pour le plus petit réseau: la bande de fréquence exploitable est 5.9 à 12.3 Hz, l'estimation de la vitesse de dispersion (Figure 32, a, courbe noire avec des points) est erronée apparemment à cause de l'influence du 1^er mode supérieur. Mais on ne peut avoir donner cette explication que parce que le modèle initial est connu et les courbes de dispersion correspondant à ce modèle ont été déterminées (Figure 32, a, courbes bleu foncé). Dans un cas réel il n’est pas possible de détecter ce biais.

- Pour le réseau de 17m de rayon: la bande de fréquence exploitable est 4.4 à 6.5 Hz,

l'estimation de la courbe de dispersion suit de très près la courbe théorique (Figure 32, courbes bleu foncé) et peut même être étendue au-delà de son domaine de validité à plus haute fréquence jusqu’à k_max (Figure 32, b).

- Pour le plus grand réseau: la bande de fréquence exploitable est 3.2 à 5 Hz, l'estimation de la courbe de dispersion reste très proche de la courbe théorique (Figure 32, courbes bleues). Là aussi l'estimation des vitesses peut être étendue au-delà du domaine de validité à plus haute fréquence jusqu’à k_max (Figure 32, c).

- La courbe de dispersion est bien estimée entre 3.2 et 6.5 Hz.

Figure 31: Histogrammes bruts de la semblance (échelle de couleur selon la valeur de la semblance) obtenus avec des réseaux circulaires de rayon: a) 8m, b) 17 m et c) 41 m. Courbes fines noires : limite d’aliasing (en trait hachuré correspondant à k_alias, en pointillés à k_alias /2) et limite de résolution (en trait plein k_min/2 et en pointillés k_min) selon la géométrie du réseau

Figure 32: Détermination de la courbe de dispersion du modèle M2.1 avec l’analyse FK. Les trois graphiques sont les histogrammes dont les valeurs sont représentées en couleur ; courbes épaisses bleues : courbes de dispersion théoriques, mode fondamental et les deux 1^er modes supérieurs ; (a) : Histogramme correspondant

au réseau circulaire de rayon 8 m ; b): de rayon 17 m; c): de rayon 41 m

a b c

Conclusion intermédiaire sur la détermination de la courbe de dispersion de M2.1 :

Sur le calcul de la courbe de dispersion nous pouvons retenir qu’il est souvent possible de dépasser la limite d’aliasing kalias /2 vers la limite kalias car l’apparition de l’aliasing est repérable. Par contre l’estimation à plus basses fréquences, dépassant la limite de k_min/2 est toujours supérieure à la vitesse du modèle, et entre k_min/2 et k_min l’estimation est souvent supérieure. Dans ces cas là, il n’est pas possible de détecter à l’œil le manque de résolution qui introduit une erreur sur l’estimation des vitesses. Il faut donc rester prudent sur l’estimation basse fréquence, et la meilleure façon de vérifier ces résultats est d’augmenter le nombre de réseaux avec différents diamètres en respectant la limite de résolution conservative de k_min.

Une estimation correcte de la courbe de dispersion est obtenue sur la bande de fréquence 3.2 à 6.5 Hz en mettant bout à bout les courbes de dispersion définies par les deux plus grands réseaux. Cependant l’erreur en hautes fréquences (petit réseau) n’est pas détectable sans connaissance du modèle direct, puisqu’on se place dans un cas d’étude « à l’aveugle » (c’est-à-dire que la détermination de la courbe de dispersion est faite sans superposer les courbes théoriques sur les histogrammes) la courbe de dispersion sera prise en compte de 3.2 à 12 Hz pour l’inversion.

Cette étape d’inversion, dont les paramètres ont été testés au paragraphe 3, est brièvement évoquée ici afin d’observer l’effet de l’erreur sur l’estimation de la courbe de dispersion entre 6.5 et 10 Hz sur le profil de vitesse obtenu par inversion et le résultat de l’inversion de la courbe bien définie mais sur une bande de fréquence plus petite. La question qui se pose est : vaut-il mieux définir la courbe de dispersion sur une large bande de fréquence avec une erreur sur cette courbe, ou réduire la bande de fréquence où la courbe de dispersion est alors définie sans erreur ?

La Figure 33 montre le résultat de l'inversion avec un espace des paramètres à deux couches (voir la Tableau 1) sur la courbe de dispersion définie de 3.2 à 12Hz (graphiques du haut) et de 3.2 à 6.5 Hz (graphiques du bas). Rappelons que l’échelle de valeurs d’erreur n’est pas considérée puisqu’on ne regarde que les limites extrêmes. L'inversion de la courbe de dispersion définie de 3.2 à 12Hz donne, malgré l'erreur sur la courbe de dispersion entre 6 et 10 Hz, une estimation de la vitesse des ondes S en surface qui est correcte : Vs(0) entre 200 m/s et 240 m/s sur l’ensemble des modèles avec une erreur inférieure à 0.8 (valeur choisie pour que les courbes de dispersions des modèles sélectionnés balayent au moins tous les points de la courbe de dispersion définie par le calcul).

Par contre, l'erreur semble se répercuter sur la profondeur de la couche qui est mal modélisée (les modèles de l'inversion montrent une couche légèrement plus profonde que le modèle canonique).

L'inversion de la courbe correspondant seulement aux réseaux circulaires de 17m et 41m (Figure 33, graphiques du bas) donne une estimation de la vitesse des ondes S en surface est correcte (Vs(0) entre 190 m/s et 225 m/s) et la profondeur est un peu mieux estimée puisque dans ce cas le modèle canonique fait parti des modèles sélectionnés.

Si seule la vitesse de la 1^ère couche nous aide à estimer l’effet de site alors les résultats obtenus par les deux inversions sont suffisamment précis. L’erreur faite sur la courbe de dispersion à haute fréquence n’a donc pas une répercussion trop néfaste sur les résultats.

Figure 33: Sur le modèle M2.1 - En haut : inversion de la courbe de dispersion estimée entre 3.2 et 12 Hz, modèles avec une erreur inférieure à 0.8 - en bas: inversion de la courbe de dispersion estimée entre 3.2 et

6.5 Hz, modèles avec une erreur inférieure à 0.6. Graphiques de gauche : profil Vp en gris résultant de l’inversion, en noir : Vp du modèle ; graphiques du milieu: idem avec Vs ; graphiques de droite : courbe de

dispersion estimée en noir et correspondant aux modèles de l’inversion en gris