Apport des ondes de Love

Les ondes de Love ayant plus d'énergie à plus basse fréquence que les ondes de Rayleigh, on peut en principe espérer déterminer leur courbe dispersion en dessous de la fréquence du pic de l'ellipticité des ondes de Rayleigh, fréquence limite pour les ondes de Rayleigh. Cette courbe de dispersion nous donnant ainsi des informations à plus grande profondeur. De plus les ondes de Love sont uniquement contraintes par la vitesse des ondes S, on espère alors être plus précis sur le profil Vs(z). Pour estimer l'apport des ondes de Love trois modèles, M2.1, M2.2 et M10.2b sont considérés. Comme dans les sections précédentes, chaque courbe de dispersion est calculée puis bruitée avec 10 % de variation pour simuler le cas réel où l’analyse FK procure des courbes de dispersion avec une marge d'erreur. Ensuite les courbes de dispersion sont inversées à partir d'un espace de paramètres simple à deux formations, voir Tableau 1. Trois types d’inversion sont comparés :

- L’inversion de la courbe de dispersion des ondes de Love - L’inversion de la courbe de dispersion des ondes de Rayleigh

- L’inversion des courbes de dispersion des ondes de Love et Rayleigh simultanément Remarque sur l’inversion des ondes de Love : à l’époque de ces tests, le logiciel d’inversion définissait Vs à partir de Vp et du paramètre Vs/Vp. Donc on définissait des valeurs de Vp même si les ondes de Love ne nous fournissent aucune information sur ces vitesses. C’est pourquoi sur les figures suivantes, concernant l’inversion des ondes de Love, des profils Vp sont représentés.

L’erreur sur l’inversion combinée des ondes de Love et Rayleigh est une moyenne sur l’erreur correspondant aux ondes de Love d’une part, et de Rayleigh, d’autre part.

2.5.1. Modèle M2.1

Dans cet exemple (Figure 20) les figures de haut en bas représentent: - L’échelle de couleur représente la légende de la valeur de l’erreur - en haut :

1. à droite la courbe de dispersion bruitée des ondes de Love en points gris et les courbes de dispersion correspondant aux modèles en couleurs selon leur valeur d'erreur (a3)

2. au milieu les modèles de profil Vs (couleurs selon la valeur de l’erreur) (a2) 3. à gauche les modèles de profil Vp (couleurs selon la valeur de l’erreur) (a1) - au milieu :

1. à droite la courbe de dispersion bruitée des ondes de Rayleigh en points noirs et les courbes de dispersion correspondant aux modèles en couleurs selon leur valeur d'erreur (b3)

2. au milieu les modèles de profil Vs (couleurs selon la valeur de l’erreur) (b2) 3. à gauche les modèles de profil Vp (couleurs selon la valeur de l’erreur) (b1)

- en bas :

1. à droite les courbes de dispersion bruitées des ondes de Rayleigh et love (points) et les courbes de dispersion correspondant aux modèles en couleurs selon leur valeur d'erreur (c3)

2. au milieu les modèles de profil Vs (couleurs selon la valeur de l’erreur) (c2) 3. à gauche les modèles de profil Vp (couleurs selon la valeur de l’erreur) (c1)

Les ondes de Love donnent des modèles légèrement plus contraints en Vs, surtout en profondeur, tandis que les ondes de Rayleigh donnent des modèles plus contraints sur le profil Vp. L'inversion combinée des deux courbes de dispersion donne des modèles moins étalés. La vitesse en surface est estimée à 30% près dans le cas le plus défavorable, voir le Tableau 4. Attention, ici la valeur de l’erreur n’est pas tout à fait comparable d’une inversion à l’autre car ce n’est pas le même objet qui est inversé dans les 3 cas. En effet l’erreur c’est en fait l’erreur par rapport à la courbe inversée et ici on a d’abord la courbe de Love puis la courbe de Rayleigh et enfin les deux combinées.

Cependant notons que la vitesse Vs en profondeur est très mal estimée même si les données sont moins étalées avec l’apport des ondes de Love. Il faut donc garder en mémoire l'incapacité de résoudre Vs au-delà de la première formation (erreur de plus de 50%) avec une telle bande de fréquence.

Tableau 4 : Estimation de la vitesse moyenne sur les 10 premiers mètres avec différentes courbes inversées Courbe de

dispersion

Estimation de Vs moyen sur les 10 1^ers mètres [m/s]

Erreur par rapport au Vs du modèle M2.1 [%]

Rayleigh 190 à 260 5 à 30 %

Love 180 à 240 10 à 20 %

Figure 20 : modèle M 2.1, inversion des courbes de dispersion des ondes de Love (a) des ondes de Rayleigh (b) et des deux ensemble (c). Modèles sélectionnés avec une erreur inférieure à 0.16 en niveau de gris. En noir : profils de vitesse du modèle. Graphiques 1 pour le profil des ondes P, graphiques 2 pour le profil des ondes S

et graphiques 3 pour les courbes de dispersion.

a1 _{a2 a3}

c1 c2 c3

2.5.2. Modèle M2.2

Les 9 neufs graphiques de la Figure 21 du modèle M2.2 amènent aux mêmes conclusions qu’avec le modèle M2.1: Une utilisation combinée apporte légèrement plus de contrainte, en particulier sur le profil Vs en profondeur qui reste cependant très mal contraint. Cela n’a pas d’impact sur l’estimation de la vitesse (Tableau 5) de la 1^ère formation qui est estimée à 25% près.

Tableau 5 : Estimation de la vitesse moyenne sur les 10 premiers mètres avec différentes courbes inversées

Courbe de dispersion ^{Estimation de Vs moyen sur les} 10 1^ers mètres [m/s]

Erreur par rapport au Vs du modèle M2.2 [%]

Rayleigh 180 à 240 10 à 20 %

Love 180 à 250 10 à 25 %

Rayleigh et Love 180 à 250 10 à 25 %

Figure 21 : modèle M 2.2, inversion des courbes de dispersion des ondes de Love (a) des ondes de Rayleigh (b) et des deux ensemble (c). Modèles sélectionnés avec une erreur, inférieure à 0.15, en niveau de gris. En noir : profils de vitesse du modèle. Graphiques 1 : profil des ondes P, graphiques 2 : profil des ondes S et graphiques

3 : courbes de dispersion.

a1 a2 a3

c1 c2 c3

2.5.3. Modèle M10.2b

Les mêmes observations sont valables ici. Notons cependant qu’un espace d’inversion à deux formations pour un modèle à 3 formations ne permet pas une estimation de la vitesse de la 1^ère formation (jusqu’à 48% d’erreur) aussi bonne que dans les modèles précédents à deux formations (moins de 20% d’erreur).

Tableau 6 : Estimation de la vitesse moyenne sur les 10 premiers mètres avec différentes courbes inversées

Courbe de dispersion ^{Estimation de Vs moyen sur les} 10 1^ers mètres [m/s]

Erreur par rapport au Vs du modèle M10.2b [%]

Rayleigh 210 à 370 16 à 48 %

Love 243 à 350 3 à 40 %

Rayleigh et Love 240 à 350 4 à 40 %

Figure 22: modèle M 10.2b, inversion des courbes de dispersion des ondes de Love (a), de Rayleigh (b) et des deux ensemble (c). Modèles sélectionnés avec une erreur, inférieure à 0.3, en niveau de gris. En rouge : profils

de vitesse du modèle. Graphiques 1) profil des ondes P, 2) profil des ondes S et 3) courbes de dispersion.

a1 a2 a3

c1 _c2 c3

2.5.4. Conclusion

D'après l'étude des trois modèles ci avant (Figure 20, Figure 21, et Figure 22) la méthodologie à adopter est la suivante:

- Tout d’abord inverser séparément, dans leur gamme de validité (bande de fréquence) les courbes de dispersion des ondes de Love et de Rayleigh ;

- Puis inverser ensemble les deux courbes en contraignant l'espace des paramètres initial par les informations déduites des modèles trouvés avec les inversions précédentes.

Cette méthodologie mériterait d’être testée sur un plus grand nombre de modèles, mais reste cependant une indication utile dans les cas réels.

L'apport des ondes de Love tient uniquement dans le fait que ces dernières peuvent être connues à plus basses fréquences que les ondes de Rayleigh, une information plus basse fréquence va mieux contraindre les paramètres de terrain en profondeur. Les inversions montrent une légère amélioration sur la valeur des vitesses en profondeur, mais surtout une précision sur l'épaisseur de la première formation.

Cet affinement des résultats, par l’apport des ondes de Love, aura peut être une influence primordiale sur la réponse du sol puisque la profondeur est directement liée à la fréquence fondamentale. Une étude paramétrique à ce sujet devrait être envisagée. Par contre les résultats en surface ne sont pas drastiquement améliorés par l’apport des ondes de Love. Donc si le but de la prospection est de connaître uniquement la valeur de la vitesse dans la première formation la connaissance des ondes de Love n’apportera pas une contribution indispensable.

Rappelons cependant que la détermination expérimentale des courbes de dispersion (étape 1 des méthodes en réseau) des ondes de Love n’a pas été étudiée ici et qu’elle n’est pas incrémentée dans SESARRAY. L’augmentation de la bande de fréquence pour ces ondes est donc une hypothèse à confirmer.