Influence de l'espace des paramètres initial de l'inversion

Cette étude a été effectuée uniquement sur les modèles M2.1 et M10.2b. Chaque courbe de dispersion est calculée puis bruitée (avec 10 % de variation) pour simuler le cas réel où le calcul donne des courbes de dispersion avec une certaine marge d'erreur.

Pour inverser une courbe de dispersion on doit cadrer au préalable les limites des modèles à inverser, ou "espace initial des paramètres": nombre de formations (bedrock inclus) au dessus du substratum, et pour chaque couche la gamme d’épaisseur de la formation, les gammes de vitesses des ondes S et des ondes P. Compte tenu de sa très faible influence sur la courbe de dispersion, la

masse volumique est fixée à 2 g/cm³. Trois types d'espace des paramètres ont été testés, (voir Tableau 1).

Tableau 1: Espaces des paramètres initiaux

Nom de l’espace Épaiss eur [m] Vp [m/s] Vs [m/s] Vs/Vp ? [g/c m³] Déviation de Vp [m/s] Nombre de sous-formation Evolution de la vitesse avec la profondeur 1-50 200-1500 40-750 0.2 – 0.5 2 0 1 homogène 2 formations 1500-3500 450-2480 0.3 – 0.7 2 0 1 homogène 1-50 200-1500 40-1060 0.2 – 0.7 2 100-1000 5 ^{Gradient (loi} puissance) 2 formations avec gradient 1500-3500 450-2480 0.3 – 0.7 2 0 1 homogène 3-10 200-800 40-565 0.2 – 0.7 2 0 1 homogène 10-50 500-1500 150-1060 0.3 – 0.7 2 0 1 homogène 3 formations 1500-3500 450-2480 0.3 – 0.7 2 0 1 homogène 2.4.1. Modèle M2.1

La courbe de dispersion des ondes de Rayleigh du modèle M2.1, considérée entre 2 Hz et 10 Hz (pour les raisons invoquées au paragraphe 2.3 : limite d’énergie des ondes de Rayleigh à basse fréquence et limite d’aliasing pour le plus petit réseau à haute fréquence avec un complément d’informations par la méthode MASW) a été inversée avec les trois espaces de paramètres décrits dans le Tableau 1. Les modèles obtenus sont présentés sur la Figure 17.

Le modèle M2.1 est un modèle à deux formations, donc forcément l'espace des paramètres à 2 formations fournit des modèles, sélectionnés selon la même valeur d’erreur maximale de 0.1, qui correspondent le mieux au modèle de M2.1 en terme d'étalement (en particulier au niveau de la détermination de l'épaisseur).

Le choix est donc l'espace des paramètres à 2 formations. Mais si l'on se place dans le cadre où la structure du sol n'est pas connue, alors il est difficile de choisir quel est l'espace des paramètres le plus approprié puisque les trois résultats semblent corrects en surface et peu précis en profondeur. En effet sur les modèles de vitesse sélectionnés, on observe un faible étalement sur les 20 1^ers mètres, et un étalement prononcé au-delà de 20 mètres. Notons que pour les trois inversions la vitesse des ondes S en surface est déterminée au pire à 25 % près, voir Tableau 2.

Figure 17 : Comparaison des inversions du modèle M2.1 selon l'espace des paramètres initial, de haut en bas : 2 formations homogènes, 2 formations avec un gradient dans la 1^ère, 3 formations homogènes (voir Tableau 2).

De gauche à droite: profil Vp, profil Vs et courbe de dispersion. Ensemble des modèles avec une erreur inférieure à 0.1 en couleur, profil de vitesse du modèle initial M2.1 en noir, courbe de dispersion directe et

bruitée en points noirs.

Les résultats et la comparaison au modèle canonique sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Tableau 2 : Estimation de la vitesse moyenne sur les 10 premiers mètres avec différents espaces initiaux pour l’inversion de la courbe de dispersion du modèle M2.1

Nom de l’espace ^{Estimation de Vs moyen sur les} 10 1^ers mètres [m/s]

Erreur par rapport au Vs du modèle M2.1 [%]

2 formations 190 – 250 5 à 25 %

2c-grad 170 – 250 15 à 25 %

3 formations 150 - 250 25 %

Figure 18: Sensibilité des résultats à l'espace initial de paramètres: exemple pour le modèle M102b. Comparaison des espaces initiaux de paramètres de haut en bas : 2 formations homogènes, 2 formations dont

la 1^ère avec un gradient, 3 formations homogènes (voir Tableau 2). De gauche à droite: profil Vp, profil Vs et courbe de dispersion. Ensemble des modèles avec une erreur inférieure à 0.11 en couleur, profil de vitesse du

La courbe de dispersion des ondes de Rayleigh du modèle M10.2b, considérée entre 2.6 Hz et 10 Hz (pour les raisons invoquées au paragraphe 2.3) a été inversée avec les trois espaces de paramètres décrits dans le Tableau 1. Les modèles obtenus sont présentés sur la Figure 18.

L’erreur étant normalisée (1.2.3) par rapport au nombre d’échantillonnage de la courbe de dispersion en fréquence, l'espacement en fréquence des points retenus sur la courbe de dispersion n’a pas d’influence sur la valeur de l’erreur.

Le modèle M10.2b est un modèle à trois formations, l'espace des paramètres à 3 formations est celui qui fournit le plus grand nombre de modèles avec la plus petite valeur d’erreur. Mais si l'on se place dans le cadre où la structure du sol n'est pas connue, alors il est difficile de choisir quel est l'espace des paramètres le plus approprié. En effet même si les valeurs d‘erreur très faibles sont fournit par l’inversion avec l’espace à trois formations, les trois résultats semblent corrects et les meilleurs résultats en terme d’erreur montrent un étalement plus grand des profils de vitesse sélectionnés, à toutes les profondeurs. Notons que pour les trois inversions la vitesse des ondes S en surface est déterminée au pire à 30 % près, voir Tableau 3.

On remarque aussi que le modèle à 3 formations est celui qui donne une estimation de la vitesse en surface moins bonne que les autres espaces initiaux. Dans ce cas on peut penser que le contraste n’est pas assez grand pour être très net sur la courbe de dispersion, le bruitage de la courbe atténue l’effet de cette formation. Donc l’espace à trois formations donne une large possibilité de modèles de vitesse qui ne sont pas forcément cohérents avec le profil réel. Dans ce cas il reste en ouverture, la possibilité d’effectuer d’autre réalisation de bruitage.

Tableau 3 : Estimation de la vitesse moyenne sur les 10 premiers mètres avec différents espaces initiaux pour l’inversion de la courbe de dispersion du modèle M10.2b

Nom de l’espace ^{Estimation de Vs moyen sur}

les 10 1^ers mètres [m/s]

Erreur par rapport au Vs du modèle M10.2b [%]

2 formations 215-325 14 à 30 %

2c-grad 130-270 et 230-430 12 à 28 %

3 formations 200-330 20 à 32 %

Conclusion : Si c’est la vitesse de la première formation qui est cherchée, alors il semble qu’il faudrait utiliser un espace des paramètres simple de type 2 formations avec des gammes de vitesse et de profondeur assez larges, surtout quand aucune donnée extérieure n’est disponible. Cette remarque est valable pour des modèles simples mais semble être aussi adaptée dans des cas réels, certainement plus complexes, étudiés par la suite (étude sur l’Ebron et sur les stations grecques, paragraphes 14 et 5.2.3 réciproquement). Rappelons aussi que la bande de fréquence où est définie la courbe de dispersion comprend la zone plate en haute fréquence de la courbe de dispersion qui caractérise les 1^ers mètres. Pour avoir ce résultat on doit donc bien s’assurer que la courbe de dispersion décrit cette zone plate.

La valeur de l’erreur et l’étalement doivent être observés afin de déterminer l’espace des paramètres qui fournit les profils qui semblent le mieux correspondre à la courbe de dispersion.

L'inversion avec un espace ne comprenant pas les paramètres du modèle a été testée (Figure 19). Le résultat montre que les modèles obtenus, avec une faible valeur d’erreur, entrent en butée sur les limites de l'espace initial. Cela semble signifier que les profils cherchent à dépasser l’espace des paramètres pour atteindre une meilleure valeur de l’erreur. Donc, même si l’espace des paramètres est vraiment mal défini (c’est-à-dire qu’il ne contient même pas le modèle initial), le comportement des profils résultant de l’inversion (cherchant à dépasser les limites de l’espace des paramètres) peut permettre de réaliser l’erreur faite sur la détermination de l’espace initial.

Figure 19: Inversion avec un espace initial des paramètres ne comprenant pas le modèle M2.1, en couleur modèles sélectionnés après l’inversion, en noir modèle initial M2.1, de gauche à droite : Vp, Vs, courbes de dispersion (points noirs : DC théorique bruitée), zoom sur les 5 1^ers mètres de Vp puis de Vs

Ces observations mettent en avant la difficulté de trancher pour un espace de paramètres particulier quand il n’y a pas d’informations extérieures. Les résultats peuvent être assez différents surtout en terme de profondeur et de vitesse du substratum. Cependant, même dans les cas étudiés les plus défavorables la vitesse de la première formation est estimée à 32% près dans le pire des cas et en moyenne sur l’ensemble des cas étudiés elle est estimée à 20% près. Bien sûr cela dépendant si la courbe de dispersion est décrite sur la zone plate à haute fréquence caractérisant les 1^ers mètres du sous-sol.

Cette remarque est valable pour nos cas d’étude simples. On peut penser que pour des cas réels plus complexes, on ne verra pas d’amélioration des résultats sur la vitesse en profondeur et sur l’épaisseur des formations sédimentaires. Nous retiendrons donc que le résultat le plus fiable est uniquement la vitesse des ondes S de la 1^ère couche.