Réponse théorique et limites associées à un réseau (aliasing et résolution)

Un réseau, selon sa géométrie permet de déterminer la courbe de dispersion sur une bande de fréquence limitée. En effet les mesures en réseau échantillonnent le champ d’onde, et comme tout type d’échantillonnage il présente des limites de résolution et d’aliasing. Les limites d’aliasing et de résolution sont deux limites propres à la géométrie du réseau.

Pour les déterminer, au moins en ce qui concerne l'analyse f-k classique, on doit s’intéresser à la réponse théorique Rth du réseau dans le domaine fréquence nombre d’onde, appelée aussi fonction de transfert du réseau. Cette fonction de transfert est la réponse du réseau à une source d’incidence verticale (ou de vitesse infinie de telle sorte que tous les capteurs sont en phase au même moment). Les équations sont tirées de [Wathelet, 2005] équations 1.1, 1.2 et 1.3. Elle peut être représentée dans le plan des nombres d’onde (kx,ky) :

Équation 11

( )

2 1 ) . . ( 2 1 ,

∑

= + − = ⁿ i y k x k j y x th i y i x e n k k R

Avec n le nombre de capteurs et (xi,yi) la position du capteur i. La réponse est donc entièrement déterminée par le nombre et la position des capteurs du réseau. Par construction, R_th montre systématiquement un pic d'amplitude 1 en (0,0) et des pics latéraux d’amplitude moindre (Figure 6, a2 et b2, et en coupe sur les graphiques a3 et b3). Ces pics latéraux représentent le phénomène d’aliasing, qui peut perturber l’obtention et l'interprétation de la courbe de dispersion. En effet dans le cas d’une seule onde plane, la réponse du réseau à cette onde, dans le plan des nombres d'onde, est la réponse théorique translatée par le vecteur (kx,ky) de l’onde.

Équation 12 : Réponse du réseau à une seule onde plane :

(

, ,

)

( ) ^{2 2}( ) ( ⁽¹⁾, ⁽¹⁾) 2 1 ) . . ( y y x x th n i y k x k j i y x k f S f e n A f R k k k k k R =

∑

x i y i = − − = + −

Avec : n : le nombre de capteurs, (xi,yi) les coordonnées du capteur i, et : Équation 13 : signal enregistré au capteur i, dans le domaine fréquentiel

( )

⁽ + − +Φ⁾ = jxk yk ft i y i x i e f A f S ^2π ) 1 ( ) 1 ( )

( Avec A(f) le spectre en amplitude, (k_x⁽¹⁾,k_y⁽¹⁾) le vecteur nombre d’onde de l’onde plane (1) qui traverse le réseau, F sa phase.

Dans ce cas la position du pic le plus élevé est liée à la vitesse et l’azimut de l’onde se propageant. Il faut donc être capable de distinguer ce pic des pics "parasites". Quand il n’y a qu’une seule onde c’est le pic le plus élevé mais avec plusieurs ondes, l’addition de pics secondaires dus à l’aliasing peut induire en erreur, et conduire un utilisateur insuffisamment averti à un défaut d'identification de la bonne onde, et donc des erreurs dans l'estimation de la vitesse et de l'azimut. Pour se prémunir contre de telles erreurs, il faut au préalable définir les limites d’aliasing.

Le premier pic d’aliasing apparaît à un nombre d’onde kalias, (Figure 6) et son amplitude est inférieure à celle du pic central. Comme il existe plusieurs pics parasites, il peut arriver en cas de coexistence de plusieurs ondes principales, que plusieurs pics d’aliasing se combinent et se retrouvent avec une amplitude supérieure au pic central. Il est donc prudent de se limiter à une zone réduite dans le plan des nombres d'onde, où l'on soit sûr qu'il n'y a pas d'aliasing. Cette prudence conduit à choisir un nombre d'onde maximal kmax=kalias/2 comme limite d’aliasing.

Une approche un peu plus conservative est de déterminer kalias à partir du moment où, sur le 2^nd pic (ou pic d’aliasing), de la courbe de réponse dépasse 0.5, donc légèrement avant le nombre d’onde correspondant au maximum du 2^nd pic (ou pic d’aliasing) si celui-ci dépasse 0.5. De la même façon la limite maximale est alors fixée à k_max=k_alias/2, voir Figure 6. C’est cette approche qui est choisie pour nos études. Cependant on verra que l’effet d’aliasing est visible à l’œil et qu’on ira parfois au-delà de la limite kmax.

La résolution, elle, correspond à la possibilité pour le réseau de séparer des ondes ayant des nombres d'ondes relativement proches; elle est donc reliée à la largeur du pic central, elle-même reliée à l'ouverture maximale du réseau. On choisit généralement comme limite de résolution kmin, avec kmin la largeur du pic central à mi-hauteur du pic central (qui est égal à 0.5 pour une réponse théorique), voir Figure 6. Cependant il arrive souvent que la résolution soit encore acceptable jusqu’à kmin/2.

Chaque réseau est donc caractérisé par une capacité limitée d'investigation dans le plan des nombres d'onde, limites données par le couple (k_min, k_max). Ces limites se traduisent, dans le plan fréquence-vitesse qui nous intéresse ici, par des courbes cmin(f) et cmax(f) permettant de borner le

domaine d'investigation possible pour la courbe de dispersion (Figure 6, a4 et b4). Plus précisément, on peut écrire:

k_min≤ k=2πf/c ≤ k_max

Soit cmin≤ c ≤ cmax avec cmin =2πf/kmax et cmax =2πf/kmin

Dans une représentation linéaire (ou log-log) du plan vitesse – fréquence, ces courbes sont des droites; dans la représentation log-lin utilisée sur la figure 23 et de nombreuses autres, ces courbes présentent une concavité vers le haut.

Comme ordre de grandeur on pourra retenir que :

- kalias est lié à la distance minimale qui sépare deux capteurs du réseau rmin, par : kalias~2π/rmin,

- kmin est reliée à la distance maximale qui sépare deux capteurs dans le réseau rmax, par : kmin~2π/rmax.

Dans notre exemple du réseau (a) on a défini kmax à 0.26, et kmin à 0.1 (Figure 5 et Figure 6). Les ordres de grandeur nous donnent : 2π/rmin=2π/25~0.25 et 2π/rmax = 2π/50∼0.125

Plus l‘ouverture (par exemple le rayon dans le cas d’un réseau circulaire) est grande plus les nombres d’ondes limites sont petits donc plus la zone de validité du réseau se déplace vers les basses fréquences, ce qui est observable sur la Figure 6 entre le réseau (a) de 25m de rayon et (b) de 50m de rayon.

Figure 5 : Emplacement des réseaux a et b avec un capteur central et 5 capteurs sur un cercle de 25 m de rayon (a) et de 50 m de rayon (b).

Sur la Figure 6, graphiques a4 et b4, les deux courbes kmin/2, kmin sont représentées car la limite kmin est beaucoup plus conservatrice. Conservatrice dans le sens où plus la limite de résolution en nombre d’onde est élevée, plus on est sur d’avoir une bonne résolution, et donc une bonne estimation de la vitesse. Cependant cette limite est restrictive et diminue beaucoup la bande de fréquence exploitable.

De même pour l’aliasing la limite k_alias/2 est aussi conservatrice. Cependant si seules ces deux limites très conservatrices sont prises en compte le domaine de validité du réseau peut se trouver extrêmement réduit comme ici pour un réseau circulaire centré à 6 capteurs. L’apparition de l’aliasing peut se détecter assez facilement (cf. Figure 31 et Figure 32) dans le plan fréquence

vitesse utilisé pour l’estimation des courbes de dispersion: la limite kalias/2 peut donc être assez souvent dépassée en observant l’apparition de l’aliasing.

Par contre la limite de résolution n’est pas forcément aisée à détecter, dans les cas complexes (plusieurs couches, apparition de modes supérieurs etc.) il vaut mieux par prudence s'en tenir aux limites cmax associées à kmin. Le paragraphe 3.4 utilisant le bruit de fond synthétique évoque et illustre ces problèmes.

Figure 6: a1 : échelle de la réponse théorique R_th ; a2 : R_th du réseau (a) dans le plan des nombres d’onde ; a3 : coupe de R_th selon la droite noire en a2 ; a4 : Courbes limites du réseau dans le plan fréquence-vitesse correspondant aux nombres d’onde, de gauche à droite : k_min/2, k_min (avec k_min la largeur du pic central à l’ordonnée 0.5), k_alias/2, k_alias (avec k_alias le nombre d’onde à partir duquel le premier pic d’aliasing atteint 0.5)

b1 b4 b3 b2 a3 a1 a2 a4 kalias kmin k_min/2 kalias kmin kalias/2

D'un point de vue concret, si nous avons à notre disposition un appareil d'acquisition qui enregistre 18 voies, soit 6 capteurs à trois composantes, nous pouvons nous demander si ces 6 capteurs verticaux sont suffisants pour déterminer le mode fondamental de la courbe de dispersion des ondes de Rayleigh sans être influencé par les modes supérieurs. En effet, on remarque souvent que l'influence des modes supérieurs donne une estimation erronée de la vitesse de la courbe de dispersion, surtout à hautes fréquences (au-delà de 10 Hz) et que la courbe de dispersion à des écarts-type de plus en plus important à basse fréquence (problème lié à la résolution).

C'est une des problématiques sur laquelle se pencher car cela va jouer sur la taille des réseaux à utiliser sur le terrain ainsi que sur la pertinence de combiner les réseaux à la méthode SASW (voir annexe 15.4.1.1) qui permet de déterminer la courbe de dispersion à hautes fréquences (au-delà de 10 Hz) avec une meilleure distinction des modes.

Dans le document Utilisation combinée des méthodes basées sur le bruit de fond dans le cadre du microzonage sismique (Page 45-49)