Influence de la bande de fréquence sur l’inversion

Figure 13 : Sensibilité de l’inversion de la courbe de dispersion des ondes de Rayleigh à la bande de fréquence, sur l’exemple du modèle M2.1, avec un espace des paramètres initial à 2 formations : graphiques de droite

(a2,b2,c2,d2) : courbe de dispersion (DC) en noire, DC bruitée (points noirs) et DC correspondant aux modèles de l’inversion (échelle de couleur selon la valeur de l’erreur) ; graphiques de gauche (a1,b1,c1,d1) : profil de vitesse du modèle (en noir) et des modèles obtenus par inversion (couleurs selon l’erreur). De haut en bas: extension de la bande de fréquence sur laquelle la courbe de dispersion est déterminée : 8-20 Hz, 4-20 Hz,

2.5-20 Hz et enfin 1.5-20 Hz

a1 _a2

d1 _d2

c1 _c2

La bande de fréquence accessible à partir de données réelles est toujours limitée vers les basses et les hautes fréquences, à cause non seulement des caractéristiques des capteurs, mais aussi de la bande de fréquence propre du bruit ambiant et des limites de résolution et d’aliasing. Il est donc indispensable de bien appréhender l'influence de la bande de fréquence utilisable. Ce premier test, concernant l’inversion, est l’influence qu’à la largeur de la bande de fréquence, où la courbe de dispersion est définie, sur les profils (résultats) obtenus par inversion de cette courbe de dispersion.

La Figure 13 illustre cette influence pour le modèle M2.1 dans l'hypothèse où la courbe de dispersion est identifiable jusqu'à très haute fréquence (10 fois la fréquence fondamentale, hypothèse très optimiste), et où la limite basse fréquence est variable de 8 Hz (4 f₀, cas très pessimiste) à 1.5 Hz (0.75 f₀, cas très optimiste). Une première remarque, qui conditionne directement les mesures sur le terrain, est que plus la bande de fréquence est large, meilleurs sont les résultats de l'inversion en terme d’étalement avec une valeur d’erreur équivalente (voir Figure 13 ci-dessous).

Notons que dans cet exemple sur le site M2.1, il y a une erreur globale entre la courbe de dispersion théorique brute et bruitée de 0.13 environ, donc en dessous de ce niveau d’erreur les modèles n’ont pas plus de valeurs les uns par rapport aux autres. L’échelle de couleur ici n’est donc pas représentative.

La Figure 13 présente l’inversion d’une courbe de dispersion, des ondes de Rayleigh du modèle M2.1, définie sur une bande de fréquence de plus en plus large (de haut en bas). Cette figure montre les profils de vitesse résultant de l’inversion en couleurs selon la valeur de l’erreur, et le profil du modèle M2.1 en noir.

La Figure 13 montre que la bande de fréquence sur laquelle est déterminée la courbe caractéristique a une influence sur les profils résultat. Il est donc primordial de déterminer la bande de fréquence à partir des limites d’aliasing et de résolution. La Figure 14 cherche à montrer que les hautes fréquences contraignent la vitesse superficielle.

Figure 14 : Sensibilité de l’inversion de la courbe de dispersion des ondes de Rayleigh à la bande de fréquence, sur l’exemple du modèle M2.1, avec un espace des paramètres initial à 2 formations : graphiques de droite (a2,b2,c2) : courbe de dispersion (DC) en noire, DC bruitée (points noirs) et DC correspondant aux modèles de l’inversion (échelle de gris selon la valeur de l’erreur) ; graphiques de gauche (a1,b1,c1) : profil de vitesse

du modèle (en noir) et des modèles obtenus par inversion (niveau de gris selon l’erreur). De haut en bas: extension de la bande de fréquence sur laquelle la courbe de dispersion est déterminée : 2-4 Hz, 2-6 Hz et

enfin 2-10 Hz

Sur la Figure 13 et la Figure 14, l'amélioration de la définition des profils Vs(z) avec la largeur de la bande de fréquence de la courbe de dispersion inversée, est à noter. Il y a moins d'étalement des modèles possibles, et la profondeur de la première couche est mieux contrainte. On remarque aussi que les hautes fréquences contraignent la surface (Figure 14) et les basses fréquences contraignent la profondeur (Figure 13). La largeur de la bande de fréquence a donc une action directe sur les résultats finaux c’est pourquoi il est important de se demander quelle est la bande de fréquence maximale obtenue avec l’analyse FK des mesures de bruit de fond en réseau. La bande de fréquence utilisable varie selon plusieurs paramètres:

a1 _a2

c1 _c2

- Selon les ondes : pour des sources locales, les ondes de Rayleigh ne sont plus assez énergétiques en deçà de la fréquence du pic de l'ellipticité (certains auteurs limitent aussi en haute fréquence par la fréquence du ``creux'' de l'ellipticité [Scherbaum-2003]). Dans la suite des études on supposera que la fréquence du 1^er pic de l’ellipticité est équivalente à celle du rapport H/V (voir [Bonnefoy-Claudet 2004] pour les conditions d’égalité de ces deux fréquences). Les ondes de Love ont un peu plus d'énergie à plus basses fréquences, mais elle chute aussi très rapidement dès que l’on est en dessous de la fréquence de résonance fondamentale ([Lachet, 1994], [Sesame 2001-2004]). Pour cela le contenu fréquentiel des enregistrements et le rapport H/V (considéré proche de l'ellipticité des ondes de Rayleigh dans certains cas où le contraste d'impédance est supérieur à 3) nous donnent des informations. Cependant on ne peut pas avoir une action sur le champ d’ondes existant.

- Selon les réseaux : Ouverture, géométrie, nombre de capteur et nombre de réseaux

influencent l’échantillonnage du champ d’ondes. Il existe donc des limites de résolution (définie par le nombre d’onde k_min) et d'aliasing (définie par le nombre d’onde k_max), dans lesquelles la courbe de dispersion pourra être estimée, voir paragraphe 3.2. Ces limites sont entièrement définies par le nombre et la position des capteurs du réseau. Sur ce point il est possible d’agir.

- Selon le pas d’échantillonnage de l’acquisition : fréquence de Nyquist. Pour les cas

d’études de ce chapitre, le bruit synthétique a été simulé avec un pas temporel de 0.00875 secondes.

Toutes ces limitations nous montrent l'importance de choisir les réseaux adaptés au site puisque c’est le seul paramètre sur lequel on peut avoir une action.

La Figure 15 nous montre les courbes de dispersion des ondes de Love et de Rayleigh avec des limites d'aliasing et de résolution de réseaux circulaires, avec un capteur central et 5 capteurs sur la circonférence, de rayon respectif 15, 30, 60 et 110 mètres. La façon de définir ces limites sera expliquée au paragraphe 3.2. Ces réseaux ont été choisis pour correspondre au cas pratique où l’on dispose de 6 capteurs et deux rouleaux de câble de 50m et de 10 mètres pour chaque capteur, correspondant à un rayon maximal de 110m. En pointillé sont représentées les parties des courbes qui sont considérées difficilement estimables avec du bruit de fond en réseau.

En effet en partie haute fréquence, le mélange des modes supérieurs ainsi que l’aliasing réduisent les possibilités d’estimer la courbe de dispersion. Une alternative est l’utilisation de la méthode SASW ou MASW (voir annexe, paragraphe 15.2, page 267). En effet plusieurs sites-test (Saint Guillaume [Meric et al., 2007], Stations RAP de Grenoble, réunion interne avec P. Gueguen) montrent que la méthode SASW permet de définir plus précisément la courbe de dispersion du mode fondamental à hautes fréquences, correspondant aux caractéristiques très proches de la surface. On peut le voir sur la Figure 16 sur un exemple réel dans les argiles du glissement de Saint Guillaume dans le Trièves. Cette approche devrait être testée d’avantage, mais elle semble prometteuse.

A basse fréquence les ondes de surface sont moins énergiques, les ondes de Rayleigh s’estompent en dessous de la fréquence de résonance et les ondes de Love sont énergétiques jusqu’à légèrement plus basse fréquence. Sur la Figure 15 la limite de 2Hz (passage du rouge à l’orange) pour les ondes de Rayleigh correspond à la fréquence de résonance du site tandis que la limite de 1.5 Hz des ondes de Love (passage du bleu au violet) est définie à partir de l’ouverture maximale d’un le cas pratique de 6 capteurs en réseau circulaire. La limite fréquentielle sur la présence des ondes de Love à basse fréquence n’a pas été déterminée à notre connaissance.

Figure 15: Modèle M2.1, courbes de dispersion théoriques de Rayleigh (en rouge et orange) et de Love (en bleu et violet). Limites d’aliasing et de résolution des réseaux circulaires de rayon 8, 17, 41, 60 et 110 mètres

Figure 16: Exemple sur le glissement de Saint Guillaume, Trièves, de la complémentarité de l'analyse des réseaux de bruit de fond et de la méthode SASW. Superposition de la courbe de dispersion (en noir avec les écarts type) issue du réseau de bruit de fond sismique et de la carte de semblance des ondes de surface à partir

d’une source active. Figure issue de [Meric et al., 2007]