Questionnaires écrits pour les enseignants

Chacun des questionnaires écrits contient six problèmes géométriques. Les problèmes 1 et 2 changent selon l’enseignant alors que les problèmes 3, 4, 5 et 6 sont identiques à chacun d’eux. L’annexe 3 présente les problèmes 1 et 2 accompagnés de l’intention visée pour chacun au regard du projet de construction de l’enseignant. Ils sont fournis à nouveau lors de la discussion des niveaux d’activité des enseignants, présentée à la section 4.2. Les problèmes 3 à 6 sont disponibles à l’annexe 4. Nous

avons varié le type de problème et son approche vers GI ou GII. Voici un bref descriptif des six problèmes.

Problème 1, Type variable, vers GII, peut être dans le projet de construction Problème 2, Type variable, vers GI, peut être dans le projet de construction Problème 3, Justifier, vers GII, est atypique

Problème 4, Découvrir, vers GI, peut être dans un manuel Problème 5, Justifier, vers GII, peut être dans un manuel Problème 6, Justifier, vers GII, peut être dans un manuel

Pour les problèmes 3 à 6, nous avons décidé de n’en retenir qu’un seul vers GI du type Découvrir (P4) et trois vers GII du type Justifier (P3, P5, P6), puisque ces derniers sont pertinents pour favoriser l’expression des référents théoriques. Nous discutons d’abord des problèmes P3, P5, P6 et poursuivons avec le problème P4.

Nous avons procédé de manière à obtenir plus de variété dans les problèmes de justification selon les aspects suivants : figure, contextualisation et personnification du problème, longueur du texte et données superflues, éléments théoriques nécessaires à la résolution. L’idée étant de voir dans quelle mesure ces aspects seraient retenus, négligés ou discutés dans les évaluations des problèmes faites par les enseignants.

La figure du problème 3 est atypique car elle semble dessinée en perspective. De plus, elle est identifiée comme une esquisse dans l’énoncé. La figure du problème 5 est nommée figure à main levée alors que celle du problème 6 est tracée avec un logiciel de géométrie dynamique. Il n’y a pas de données numériques sur la figure du problème 3 (seulement dessous) alors que les figures des problèmes 5 et 6 montrent des données numériques entières, et décimales. Les sommets des figures, notamment, sont identifiés par des lettres majuscules. Seule la figure du problème 6 contient une marque de codage de l’angle droit, quoique les marques des angles CBA et DAE, générées par le logiciel, pourraient être interprétées, à tort, comme un indice de congruence de ces angles.

Le contexte du problème 3 réfère au pavage du plancher d’une navette spatiale en construction à l’aide de tuiles identiques où le docteur Vavite et le responsable du projet contribuent à personnifier le problème. Le problème 5 a un contexte géométrique, mais la personnification du problème se fait par Andréanne et Maude. Le problème 6 est élaboré dans un contexte géométrique, sans personnage. De plus, pour ces problèmes, les consignes rédigées sous le mode impératif, par exemple Donnez une explication…,

Déterminez qui a raison…, Justifiez chacune de vos étapes, traduisent la présence du ou des concepteurs des problèmes qui s’adressent aux lecteurs.

Le problème 3 a le plus long texte suivi, par ordre décroissant, des problèmes 5 et 6. De plus, au problème 3, la donnée numérique 30 cm, bien que pertinente dans le contexte de fabrication d’une tuile, est inutile pour déterminer la nature du quadrilatère. Toutefois, cette donnée numérique laisse entrevoir la possibilité que des élèves tentent de construire le quadrilatère à l’aide des instruments de géométrie. Il est peu probable qu’ils tracent des segments de 30 cm, mais ils pourraient en faire à plus petite échelle, par exemple de 3 cm ou 5 cm. Au problème 5, c’est la donnée le segment BD mesure 8 cm qui n’aide pas à le résoudre, c’est-à-dire argumenter à l’aide des propriétés géométriques. De même qu’au problème 3, il est possible que la donnée 8 cm, entre autres, incite des élèves à faire une figure avec les instruments de géométrie. Le problème 6 n’a pas de données superflues. De plus, même si la valeur de l’angle CBA est de 31,4 degrés, cela n’exclut pas que des élèves utilisent le rapporteur d’angles pour trouver la valeur d’angle recherchée (angle DAE), en particulier s’ils n’ont plus en mémoire le théorème selon lequel les angles opposés par le sommet sont congrus.

La résolution du problème 3 fera intervenir plus ou moins d’éléments théoriques selon la personne qui le résout, c’est-à-dire passer en revue les propriétés des côtés et des angles des quadrilatères offerts comme choix de réponses, se limiter à la définition du trapèze ou affirmer que la construction du quadrilatère est impossible. La résolution du problème 5 implique de recourir notamment à la définition du triangle isocèle, au théorème de la somme des angles intérieurs du triangle, au théorème selon lequel dans un triangle isocèle les angles opposés aux côtés congrus sont congrus et à celui disant que dans un parallélogramme les angles opposés sont congrus. Le problème 6 se résout en utilisant la définition de l’angle droit, le théorème de la somme des angles intérieurs du triangle et celui selon lequel les angles opposés par le sommet sont congrus.

Le problème P4 du type Découvrir vers GI a été choisi parce qu’il induit l’idée selon laquelle des exemples numériques (au nombre de trois ici) suffisent à énoncer une propriété géométrique. Le problème présente trois figures d’un triangle ABC dont on a prolongé le côté AC en un point D, accompagnées d’un tableau. Une figure contient une

marque de codage d’un angle droit et les autres figures montrent chacune une donnée numérique. La propriété dont on souhaite la formulation est : l’angle extérieur d’un triangle est congru à la somme des angles intérieurs non adjacents. Tel que rédigé, le problème n’offre pas de nuance entre des observations successives d’un phénomène géométrique, susceptibles d’être traduites en conjecture nécessitant d’être démontrée, et une propriété démontrée pour laquelle faire des applications, donner des exemples. Par ailleurs, étant donné que le problème montre des valeurs d’angles sur les figures et qu’il suggère d’en trouver d’autres, il est à prévoir que des élèves se servent du rapporteur d’angles pour le résoudre.

Pour chacun des six problèmes, il est demandé avec justifications d’indiquer s’il est jugé tel que conçu intéressant ou non, s’il pourrait être donné aux élèves tel quel ou modifié, s’il pourrait faire l’objet de modifications et, le cas échéant, les préciser. Dans l’éventualité où le problème serait proposé à ses élèves, l’enseignant doit spécifier la solution qu’il souhaiterait que ses élèves fournissent et celle qu’il pense que ses élèves vont effectivement produire. Ajoutons que la désignation du lieu pour compléter le questionnaire a été laissée à la discrétion de l’enseignant.