Propri´ et´ es optiques d’un guide segment´ e

a la lumi`ere de s’y propager sans pertes. La probl´ematique a ´et´e abord´ee grˆace `a un solveur 1D d´evelopp´e sous Matlab. Le mod`ele 1D nous a permis de comprendre la physique du composant et de dimensionner des guides passifs qui seront utilis´es plus tard pour les modulateurs.

2. La seconde section pr´esente les difficult´es associ´ees aux simulations ´electro-optiques du modulateur CGS dans le cas 3D, puis d´etaille la m´ethode num´erique 2D mise en place pour les contourner.

3. Enfin, la derni`ere section pr´esente les r´esultats d’une ´etude param´etrique permettant d’optimi-ser les performances ´electro-optiques de la r´egion active. L’´etude se focalise principalement sur l’efficacit´e de modulation que le composant peut atteindre.

5.1 Guides segment´es pour modulateur CGS

Dans cette partie, seul l’aspect optique du guide segment´e est consid´er´e pour d´eterminer les condi-tions de propagation. Bien que l’approche 1D ne refl`ete pas exactement le comportement de la lumi`ere par rapport `a un dispositif r´eel 3D, son utilisation pour ´etudier une nouvelle structure reste perti-nente. En effet, un mod`ele 1D permet facilement : 1) de comprendre le principe et la physique du dispositif, 2) de d´egager des tendances cl´es, 3) d’obtenir un gain de temps non n´egligeable, et surtout 4) permet d’obtenir un premier dimensionnement permettant de r´ealiser des composants passifs. De plus, le d´eveloppement d’un solveur 1D d´edi´e apporte la flexibilit´e permettant de s’adapter ra-pidement au probl`eme.

5.1.1 Propri´et´es optiques d’un guide segment´e

Pr´esentation du mod`ele 1D

Consid´erons dans un premier temps une structure p´eriodique ayant pour motif ´el´ementaire1 une succession de deux mat´eriaux d’indice n1 et n2, d’´epaisseur respective e1 et e2 (voir Figure 5.4).

1. Un motif ´el´ementaire d’une structure p´eriodique est d´efini comme ´etant la plus petite structure permettant de g´en´erer la structure p´eriodique

La p´eriode ´el´ementaire associ´ee `a ce motif est not´ee Λ et vaut ici e<sub>1</sub>+ e<sub>2</sub>. Pour la suite de l’´etude, on d´efinit le param`etre de maille r´eciproque K, et le vecteur d’onde du mode kz par la relation :

K = ^2π

Λ ^{et kz =}

2π

λ ^{nef f = k0nef f (5.1)}

Les indices optiques ´etant fix´es lors de la conception d’un composant (couple Si/SiO₂), on s’int´ e-resse ici `a d´eterminer les ´epaisseurs e1 et e2 permettant `a la lumi`ere de se propager dans la structure sans pertes optiques.

𝑒

𝑒

𝑛

𝑛

Figure 5.4 – Vue sch´ematique d’une structure 1D p´eriodique suivant l’axe de propagation. Pour une configuration p´eriodique donn´ee {e1, e2, n1, n2}, d´eterminer les valeurs admissibles du vecteur d’onde k_z(et donc de n_{ef f}) `a la longueur d’onde λ revient `a r´esoudre les ´equations de Maxwell en consid´erant que le champ optique est lui aussi p´eriodique (appel´e par la suite mode de Bloch). Il est possible de montrer que la r´esolution de ce probl`eme am`ene `a la recherche de valeurs propres d’un syst`eme lin´eaire `a trois variables {λ, Λ, k_z}, se mettant sous forme matricielle :

[A(λ, Λ)] [X] + kz[X] = 0 (5.2)

Avec [A(λ, Λ)] une matrice comportant des termes d´ependant de la longueur d’onde λ, et de la dimension du motif ´el´ementaire Λ, [X] le vecteur comportant les diff´erentes composantes du mode de Bloch, et k_z la valeur propre associ´ee `a [X].

Pour r´esoudre le syst`eme d’´equations (5.2), deux approches sont possibles :

1. Faire varier la longueur d’onde λ (et/ou la p´eriode Λ) puis r´esoudre le syst`eme et obtenir la courbe de dispersion n_{ef f} = f (λ, Λ).

2. Fixer le vecteur d’onde k_z (donc n_{ef f}) pour d´eterminer les couples associ´es {λ; Λ}.

D’un point de vue pratique, la premi`ere approche est la plus adapt´ee pour un modulateur optique puisque la longueur d’onde est fix´ee `a 1.31 µm ou 1.55 µm, et c’est la p´eriode ´el´ementaire Λ qui joue le rˆole de variable pour le concepteur. Pour cette raison, c’est cette approche qui a ´et´e choisie pour l’´etude 1D. Le principe de l’algorithme permettant de r´esoudre le syst`eme (5.2) est pr´esent´e par P.Lalanne [8], et a ´et´e impl´ement´e sous Matlab. Le programme permet d’obtenir les courbes de dispersion nef f pour une structure p´eriodique quelconque en moins d’une minute, mais ne calcule pas le profil du champ se propageant dans la structure.

Exemple d’une courbe de dispersion n_{ef f} = f (λ, Λ)

Illustrons le principe de fonctionnement d’un guide segment´e `a partir d’un exemple. Pour mieux repr´esenter un dispositif r´eel, les indices de r´efraction choisis sont n1= nSi,ef f = 2.8, et n2 = nSiO2= 1.44. Le choix de n1 correspond `a l’indice effectif du mode fondamental d’un guide SOI ruban de 400 nm de large pour une hauteur de 300 nm `a 1310 nm.

La Figure (5.5) montre la courbe de dispersion n_{ef f} = f (λ, Λ) obtenue apr`es avoir r´esolu le syst`eme d’´equations (5.2) pour une ´epaisseur de mat´eriau d’indice nSi,ef f fix´ee `a 150 nm, avec une ´epaisseur de mat´eriau eox variable d’indice nSiO2. `A ´epaisseur d’oxyde nulle, la partie r´eelle de l’indice effectif n_{ef f,Bloch}du mode se propageant dans la structure prend la valeur de 2.8 qui diminue progressivement et tendre vers la valeur limite de 1.44 lorsque e_ox >> e_{Si,ef f}. Il ne s’agit plus d’une structure p´eriodique, mais d’un guide form´e uniquement du mat´eriau d’indice nSi,ef f.

Figure 5.5 – ´Evolution de l’indice effectif du mode de Bloch se propageant dans la structure en fonction de l’´epaisseur d’oxyde e_SiO2 `a 1.31 µm, pour une ´epaisseur e_Si de 150 nmn.

Deux types de r´egions sont `a distinguer. Le premier type de r´egion correspond au cas o`u l’indice effectif du mode de Bloch est r´eel. Cela signifie qu’il se propage dans la structure p´eriodique sans pertes optiques, malgr´e les diff´erentes interfaces entre les deux mat´eriaux. Le mode de Bloch se propage dans la structure comme si elle ´etait assimil´ee `a un milieu d’indice optique ´equivalent. En fonction du facteur de remplissage en oxyde, toute une gamme d’indices effectifs est balay´ee.

Le second type de r´egion correspond au cas o`u la partie imaginaire de l’indice effectif est non nulle et d´epasse rapidement 0.01. Les pertes optiques du mode sont alors sup´erieures `a 500 dB/cm bien que les mat´eriaux soient sans pertes. Le mode optique ne se propage donc pas dans la structure, mais est r´efl´echi. Les ondes r´efl´echies par les diff´erentes interfaces interf`erent de mani`ere constructive et la structure forme l’´equivalent d’un miroir de Bragg.

Ces zones correspondent aux bandes interdites de la structure p´eriodique. Dans ces r´egions, la partie r´eelle du mode optique nef f(λ, Λ) est caract´eris´ee par la condition de Bragg donn´ee par (5.3).

n_{ef f}(λ, Λ) = m ^λ

2Λ ^(5.3)

m ´etant un entier naturel associ´e `a la premi`ere bande interdite pour m = 1, `a la seconde pour m = 2, etc... Par rapport `a la relation pr´ec´edente plusieurs points importants sont `a relever. Tout d’abord, la relation (5.3) n’est valable qu’en consid´erant uniquement le motif ´el´ementaire Λ. En effet, il est possible d’obtenir la mˆeme valeur d’indice effectif pour un multiple de Λ car le pro-bl`eme num´erique se borne `a simuler une structure p´eriodique virtuellement inf inie. La d´efinition arbitraire faite par l’utilisateur de la p´eriode qui g´en`ere la structure n’a donc pas d’influence sur le comportement optique du composant.

Le second point `a noter est que la condition de Bragg permet d’identifier les bandes interdites, mais ne permet pas de donner `a l’avance la localisation de ces bandes en fonction des ´epaisseurs eox ou e_{Si,ef f}. Il est n´ecessaire de r´esoudre le syst`eme (5.2) avant pour pouvoir trancher.

Enfin, la r´egion situ´ee sous la premi`ere bande interdite est usuellement appel´ee r´egion sub-longueur d’onde. Pour atteindre le r´egime sub-longueur d’onde, il faut une p´eriode ´

el´ementaire Λ relativement faible, ce qui impose une contrainte forte lors du dimensionnement du guide et pour la fabrication pratique du guide. D’apr`es la relation (5.3), ces contraintes peuvent ˆetre relˆach´ees en consid´erant des longueurs d’onde plus grandes. Ainsi, travailler `a 1.55 µm est toujours plus favorable qu’`a 1.31 µm pour atteindre cette r´egion.