3.3 Comparaison entre un modulateur ` a jonction PN lat´ erale et un modulateur ` a jonction
4.1.1 Mod` eles physiques ´ electriques
etape de simulation de mani`ere `a minimiser les incertitudes num´eriques, tout en faisant un compromis entre le temps de calcul, la pr´ecision, et l’espace de stockage mis `a disposition. Cette section donne quelques exemples de param`etres `a r´egler pour ces simulations.
4.1.1 Mod`eles physiques ´electriques
Le logiciel DEVICE de Lumerical permet d’´etudier le comportement ´electrique de composants semi-conducteurs. La simulation va d´ependre de plusieurs param`etres et de mod`eles se basant sur plusieurs hypoth`eses. On peut citer la distribution des dopages actifs, la mobilit´e des ´electrons ou des trous, les ph´enom`enes de recombinaisons, ou le type de statistique utilis´ee. `A noter que les mod`eles sont choisis suivant le degr´e de pr´ecision que l’on souhaite atteindre, mais d´ependent aussi des possibilit´es offertes par le logiciel.
Profil de dopage
Dans toute la suite, nous supposerons au premier ordre que la concentration des dopants est uniforme dans la structure. En pratique ce n’est pas tout `a fait vrai puisque lors de la fabrication, l’implantation de dopants introduit des profils gaussiens plus ou moins marqu´es en fonction des condi-tions de dopage, et les ´etapes thermiques une diffusion des dopants (recuit d’activation par exemple). Une ´etude plus fine tenant compte des effets de fabrication dans les simulations pourra ˆetre faite dans un second temps apr`es la validation et la caract´erisation de ces dispositifs.
Mobilit´e des ´electrons/trous
La mobilit´e traduit la capacit´e des ´electrons ou des trous `a se d´eplacer sous un champ ´electrique, elle d´epend de plusieurs ph´enom`enes physiques microscopiques complexes (effet de collisions, phonons, etc.). Il existe un nombre important de mod`eles qui estiment la mobilit´e des porteurs dans le silicium, avec un degr´e de finesse plus ou moins ´elev´ee : certains prennent en compte les effets de la temp´erature, du dopage, ou des effets de saturation sous fort champ ´electrique. Un des mod`eles propos´es par le logiciel DEVICE est le mod`ele de Masetti `a 300 K qui tient compte des effets de dopage donn´e par la relation (4.1), les valeurs des diff´erents param`etres ´etant donn´es dans le Tableau (4.1) :
µn,p= µminn,p + µ L n,p− µmin n,p 1 + (N/Cr)α − µ (2) n,p 1 + (CS/N )β (4.1)
C’est ce mod`ele qui a ´et´e choisi pour les simulations de r´epartition spatiale des por-teurs en fonction de la tension, et le calcul de r´esistivit´e.
Param`etres Type de porteur du mod`ele ´electrons trous
Cr [cm−3] 9.68 × 1016 2.23 × 1017 CS [cm−3] 3.43 × 1020 6.10 × 1020 α 0.68 0.719 β 2 2 µmin [cm2/V.s] 52.2 44.9 µ(2)n,p [cm2/V.s] 43.4 29 µLn,p [cm2/V.s] 1471 470.5
Tableau 4.1 – Valeurs des param`etres du mod`ele num´erique pour calculer la mobilit´e des porteurs donn´ee par l’´equation (4.1), avec N = NA++ ND−.
Pi`eges d’interfaces dans l’oxyde
L’oxyde est suppos´e parfait. C’est une hypoth`ese forte, car les proc´ed´es de fabrication peuvent introduire des d´efauts, des charges ou des pi`eges aux interfaces. De par la pr´esence de ces d´efauts, le comportement ´electrique de la structure peut ˆetre alt´er´e et peut produire des effets parasites. Ce probl`eme est d´ecrit en d´etail dans la litt´erature [91], et ne sera pas abord´e dans la suite de ce manuscrit : il pourra ˆetre trait´e dans un second temps apr`es une premi`ere confrontation entre les r´esultats exp´erimentaux et les simulations.
Ph´enom`enes de recombinaisons
En r´egime statique le composant est en ´equilibre thermodynamique, ce qui se traduit pour un mat´eriau semiconducteur par l’´egalit´e NeNt= n2i = cst, avec Ne et Nt la concentration des ´electrons et des trous, et ni la concentration intrins`eque du semiconducteur. En cons´equence, en supposant un oxyde parfait (pas de recombinaison de surface), lorsque le r´egime statique est ´etabli les ph´enom`enes de recombinaisons sont compl`etement n´egligeables.1 Ces ph´enom`enes ne sont donc pas pris en compte dans les simulations statiques, car ils n’ont pas d’influence sur les performances calcul´ees pour les modulateurs capacitifs.
Statistique des porteurs
La concentration des ´electrons ou des trous peut ˆetre estim´ee par le logiciel DEVICE en utilisant deux types de statistiques diff´erents : la statistique de Boltzmann et la statistique de Fermi. La statistique de Boltzmann ´etant une approximation de la statistique de Fermi [91].
L’utilisation des formules d´ecrivant ces statistiques permettent de montrer que la statistique de Boltzmann d´ecrit la concentration d’´electrons et de trous avec une erreur inf´erieure `a 5% par rapport `a celle de Fermi pour des concentrations inf´erieures `a 3.7 × 1018cm−3 pour le silicium. Cette statistique est souvent utilis´ee, car elle est permet d’obtenir un mod`ele analytique des concentrations de porteurs libres dans les semi-conducteurs. Dans le cas d’une structure capacitive, la statistique de Boltzmann est insuffisante, car l’accumulation des porteurs peut d´epasser localement des densit´es sup´erieures `a 1019 cm3 (soit une erreur sup´erieure `a 15%).
Il est donc n´ecessaire de recourir `a la statistique de Fermi qui d´ecrit le profil de la concentration des porteurs sans approximation, `a savoir :
Ne= NC ˆ ∞ η=0 η1/2 1 + exp(η − ηF)dη avec ηF = EF − EC kBT (4.2)
1. Les recombinaisons radiatives et Auger sont proportionnelles `a NeNt− n2
i, et les recombinaisons SRH sont propor-tionnelles `a une diff´erence de charges ∆N2
eNt ou ∆NeN2 t.
Avec Nc(silicium) = 2.7×1019cm−3la densit´e ´equivalente d’´etats de la bande de conduction, EF le niveau de Fermi, EC le niveau d’´energie de la bande de conduction, et kB la constante de Boltzmann. Comme le montre la Figure (4.2), la tendance exponentielle de l’approximation de Boltzmann est corrig´e par la statistique de Fermi lorsque le semiconducteur est localement d´eg´en´er´e.
Un effet additionnel et plus fin de nature quantique modifie aussi la distribution des porteurs, propre `a une structure capacitive. `A cause de la barri`ere de potentiel du SiO2, la fonction d’onde associ´ee des porteurs a en r´ealit´e une valeur proche de z´ero `a l’interface Si/SiO2. Il en r´esulte une “zone morte”, o`u la densit´e de porteurs chute pour tendre vers z´ero [138]. Comme le montre la Figure (4.2), cet effet modifie la distribution de la concentration de porteurs sur quelques nanom`etres, et reste prononc´e pour des ´epaisseurs d’oxyde de 5 - 10 nm.
+3 V 𝑒𝑜𝑥 N = 5.1018 Structure simulée P = 5.1018 Statistique de : Boltzmann Fermi Quantique
Figure 4.2 – Courbes issues de simulations num´eriques donnant le profil de la concentration des ´
electrons pour diff´erentes ´epaisseurs d’oxyde `a 3 V, avec la statistique de Boltzmann (en bleu), de Fermi (en vert), et quantique (en rouge).
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A ce stade de la discussion, la question est de savoir dans quelle mesure il faut tenir compte de cet effet, dans la mesure o`u le logiciel ne propose pas cette option. Pour r´epondre `a cette question, c’est en utilisant des simulations 1D entre le logiciel Silvaco et Lumerical que les effets quantiques pr`es de l’interface ont ´et´e estim´es. Ces effets ont ´et´e estim´es comme n´egligeables pour une ´epaisseur d’oxyde sup´erieure `a 4 nm : une diff´erence de moins de 5% est observ´ee sur l’efficacit´e de modulation (seulement de 2% pour un oxyde de 10 nm `a 2 V). En effet, pour cette gamme d’´epaisseur d’oxyde l’int´egration de la concentration des porteurs sur une distance de quelques nanom`etres est relativement similaire. En cons´equence, la statistique de Fermi constitue une bonne approximation pour les simulations ´electriques.